Mechanica van 1 deeltje

Beginpunt: De lijnintegraal voor arbeid

De arbeid W wordt gedefinieerd als:

Uit de tweede wet van Newton weten we dat kracht F gelijk is aan de massa m keer de versnelling (de afgeleide van de snelheid):

Als we dit invullen in de arbeid-integratie:

2. Gebruik van de kettingregel

De vector v² (de grootte van de snelheid in het kwadraat) kan geschreven worden als:

Dit is een toepassing van de productregel, omdat dit differentiëren neerkomt op:

slide 16, de gradiënt van de functie maal de afgeleide van de functie

Dat betekent dat:

Nu kunnen we dit vervangen in de integraal:

3. Antiderivatie (integreren in tijd)

De factor ½ m komt naar buiten

Dit herkennen we als het verschil in kinetische energie

Arbeid-energie theorema: De arbeid verricht door de kracht op het deeltje, tussen twee punten van zijn baan, is gelijk aan het verschil in kinetische energie van het deeltje tussen de twee punten.

Behoudswetten

Een conservatief systeem is een systeem waarin de verrichte arbeid onafhankelijk is van het pad dat het deeltje volgt. Dit betekent dat de arbeid tussen twee punten alleen afhangt van de begin- en eindpositie, niet van de route ertussen.

Dit betekent dat als een deeltje een gesloten pad aflegt (dus terugkeert naar zijn beginpunt), de totale verrichte arbeid nul is. Dit kan alleen als de kracht F een gradiëntveld is van een scalaire functie V(r)

een niet-conservatief systeem, zoals een systeem met wrijving, wordt energie omgezet in warmte of een andere vorm van energie. De kracht door wrijving is vaak van de vorm:

𝐹=𝛼𝑣

Omdat dit altijd negatief is, betekent dit dat de energie afneemt door wrijving → energie gaat verloren als warmte.

Als wrijving aanwezig is kan dus een kringintegraal nooit verdwijnen, vermits de wrijvingskrachten altijd een negatieve bijdrage leveren. Een conservatief systeem is dus noodzakelijk een geïdealiseerd systeem zonder wrijving.

We definiëren dus een conservatief systeem voor 1 deeltje als een systeem met 1 deeltje onderworpen aan een gradiënt krachtveld F (r ) = −∇V (r). De scalaire functie V wordt de potentiële energie genoemd.