MafI2-Zusammenfassung: Analysis Grundlagen

Mathematik für Informatik 2 – Analysis Grundlagen

Einführung

• Die Vorlesung konzentriert sich auf die Kernaspekte der Analysis und mathematische Beweisführung.
• Orientierung an "Analysis 1" und "Analysis 2" von Otto Forster.
• Inhalte basieren auf Skripten von Dr. R. Busam, Prof. Dr. Peter Buchholz und Prof. Dr. Günter Rudolph.
• Empfohlenes Lehrbuch: "Konkrete Mathematik" von Prof. Dr. Edmund Weitz.
• Onlineformat ermöglicht interaktive Demos und ein-/ausblendbare Elemente.
• Feedback zu Fehlern und Erweiterungsideen ist erwünscht.

1 Grundlagen

• Analysis ist die Wissenschaft der Beziehungen zwischen Zahlen.
• Grundlegende Definitionen zu Aussagen und Mengen (Kapitel 1.1).
• Wichtige Beweistechniken (Kapitel 1.2).

1.1 Aussagen und Mengen

• Definition 1.1 (Aussage): (Schrift)sprachliche Gebilde mit Wahrheitswert wahr oder falsch.
• Definitionen benötigen keinen Beweis.
• Beispiele für Aussagen:
  • Delfine sind Fische (falsch).
  • Fünf ist eine ungerade Zahl (wahr).
  • Es gibt unendlich viele Primzahlen (wahr).
  • Goldbachsche Vermutung: Jede gerade natürliche Zahl größer als zwei ist Summe zweier Primzahlen (Wahrheitswert unbekannt).
• Keine Aussagen:
  • Guten Tag!
  • Diese Aussage ist falsch.
• Definition 1.3 (Operationen für Aussagen): Neue Aussagen durch Operationen:
  • Negation ($\neg A$): wahr, wenn A falsch ist.
  • Disjunktion ($A \lor B$): wahr, wenn mindestens eine Aussage wahr ist.
  • Konjunktion ($A \land B$): wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
  • Implikation ($A \Rightarrow B$): wahr, wenn A falsch oder B wahr ist.
  • Äquivalenz ($A \Leftrightarrow B$): wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben.
• Rangfolge durch Klammern, z.B. $A \lor (B \land C)$.
• Wahrheitstafeln zur Bestimmung des Wahrheitswertes kombinierter Aussagen.
• Äquivalenz zweier Aussagen: gleiche Spalte in der Wahrheitstafel.
• Satz 1.4 (äquivalente Aussagen): Äquivalenzen wie doppelte Negation, Absorption, Kommutativität usw.
  • Beweis über Wahrheitstafeln.

Mengen

• Definition 1.5 (Menge, Elemente der Menge, leere Menge): Zusammenfassung von wohlunterscheidbaren Objekten.
  • Schreibweise: $x \in M$ (x ist Element von M), $x \notin M$ (x ist nicht Element von M).
  • Leere Menge: $\emptyset$.
• Beispiel 1.6 (Mengen, Mengenangabe):
  • Menge der Wochentage.
  • Menge der Farben der Olympiaringe.
  • Menge der Ziffern im Dezimalsystem.
• Mengen können durch Aufzählung oder Aussage über ihre Elemente angegeben werden.
• Definition 1.7 (Aussage mit Variable): Aussage, die von einer freien Variable $x$ abhängt: $A(x)$.
• Beispiel 1.8 (Aussagen mit Variable):
  • Mittwoch hat mehr als x Buchstaben.
  • x ist eine ungerade Zahl.
• Definition 1.9 (Allquantor und Existenzquantor):
  • Allquantor: "Für alle $x$ aus $M$ gilt: $A(x)$". Schreibweise: $\forall x \in M : A(x)$.
  • Existenzquantor: "Es existiert ein $x$ aus $M$, für das gilt: $A(x)$". Schreibweise: $\exists x \in M : A(x)$.
• Definition 1.11 (Mengenrelationen): Seien M und N Mengen, dann gilt
  $\bullet M = N$, wenn $\forall x: (x \in M \Leftrightarrow x \in N)$.
  $\bullet M \subseteq N$, wenn $\forall x: (x \in M \Rightarrow x \in N)$.
  $\bullet M \subsetneq N$, wenn $M \subseteq N$ und $M \neq N$.
• Definition 1.12 (Verknüpfung von Mengen):
  • Vereinigung: $M \cup N = {x : x \in M \lor x \in N}$.
  • Schnitt: $M \cap N = {x : x \in M \land x \in N}$.
  • Differenz: $M \setminus N = {x : x \in M \land x \notin N}$.
  • Kartesisches Produkt: $M \times N = {(x, y) : x \in M \land y \in N}$.
  • Komplement: $\overline{M} = U \setminus M$.
• Beispiel 1.13 (Verknüpfung von Mengen): Verknüpfungen von Mengen.
• Venn-Diagramme zur Veranschaulichung von Mengenverknüpfungen.

1.2 Beweistechniken

• Beweis: Nachweis der Richtigkeit einer Aussage auf Basis bekannter wahrer Aussagen.
• Sätze: wichtige neue Aussagen.
• Axiome: Grundsätze, die als wahr akzeptiert werden.
• Direkter Beweis: Implikationen von Voraussetzungen zur Behauptung.
• Indirekter Beweis (Kontraposition): Ausnutzung der Äquivalenz $(\neg B \Rightarrow \neg A) \Leftrightarrow (A \Rightarrow B)$.
• Widerspruchsbeweis: Annahme, dass A nicht gilt, führt zu Widerspruch.
• Vollständige Induktion:
  1. Induktionsanfang: Beweis von $A(1)$.
  2. Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass $A(n)$ gilt.
  3. Induktionsschritt: Beweis der Implikation $A(n) \Rightarrow A(n+1)$.

2 Zahlenmengen

2.1 Historie der Zahlen

• Betrachtung der historischen Entwicklung der Zahlen.

2.2 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

• Axiome als Basis für alle weiteren Sätze.
• Axiomklassen:
  1. Grundregeln der Addition und Multiplikation (Körperaxiome).
  2. Grundregeln zum Größenvergleich zweier Zahlen (Ordnungsaxiome).
  3. Nachbar einer reellen Zahl ist wieder reelle Zahl (Vollständigkeitsaxiom).
• Definition 2.1 (Körper): Menge K mit Addition (+) und Multiplikation ($\cdot$) mit Eigenschaften K1-K9.
• Axiom 1: Die reellen Zahlen mit üblicher Addition und Multiplikation bilden einen Körper.
• Beispiel 2.2 (Der kleinste Körper): Der Körper ${0, 1}$ mit entsprechenden Operationen.
• Definition 2.3 (Geordneter Körper): Körper mit Teilmenge P ("positive Zahlen") mit Eigenschaften O1-O3.
• Definition 2.4 (Vergleichsoperatoren):
  • $a < b \Leftrightarrow b - a \in P$.
  • $a > b \Leftrightarrow a - b \in P$.
  • $a \le b \Leftrightarrow (a < b \lor a = b)$.
  • $a \ge b \Leftrightarrow (a > b \lor a = b)$.
• Axiom 2: Der Körper der reellen Zahlen ist ein geordneter Körper.
• Definition 2.5 (Minimum, Maximum): min(M), max(M), falls Element der Menge.
• Definition 2.6 (obere/untere Schranke, Beschränktheit): obere/untere Schranke von M.
• Definition 2.7 (Supremum/Infimum): kleinste obere Schranke (Supremum), größte untere Schranke (Infimum).
• Definition 2.8 (vollständiger Körper): geordneter Körper ist vollständig, wenn für jede nach oben beschränkte Teilmenge $M \subseteq K$ gilt: $\sup(M) \in K$.
  • Axiom 3: Der Körper der reellen Zahlen ist vollständig.

2.3 Folgerungen aus den Axiomen und aus den Körpereigenschaften

• Satz 2.9, 2.10, und 2.11: Folgerungen der Addition Formeln.
  *Merke: Jeder Schritt muss mit einem Axiom oder dem Satz begründet werden.
• Satz 2.12, 2.13: Folgerungen der Multiplikation.
• Formeln der Bruchrechnung.
• Satz 2.14, 2.15 Ableitungen aus den Distributivgesetzen und den Ungleichungen.
  *Merke: auch bei ungleich Ketten müssen die Schritte durch Axiome oder den Satz bewiesen werden.
  *
• Satz 2.17: Beträge berechnen; Dreiecksungleichung.
• Alle mit $|x - x<em>0| < \epsilon$ haben einen maximalen Abstand von $|x</em>0|$.
• Satz 2.19 Metriken berechnen.

2.4 Definition der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen

• Wirklich klar festgelegt , nämlich 0 und 1 (und evtl. noch -1 durch die Existenz des Inversen).
• Die Zeichen () folgen nicht aus unseren Axiomen.
• Definition 2.22 (Induktive Menge). Wir nennen eine Menge induktive Menge.
• Definition 2.23 (Natürliche Zahlen). Wir definieren die Menge der natürlichen Zahlen als: Satz 2.24 (Eigenschaften der natürlichen Zahlen).
  Für jede Zahl gilt . Summen und Produkte natürlicher Zahlen sind wieder natürliche Zahlen.
  *Summen und Produkte natürlicher Zahlen sind wieder natürliche Zahlen.
  *Für ist die Differenz genau dann eine natürliche Zahl, wenn .
  *Für alle existiert kein für das gilt .
  Beweise per vollständiger Induktion als Übung
• Satz 2.25 (Archimedische Eigenschaft von ).
• Definition 2.26 (Ganze Zahlen) =+ .
• Satz 2.27 (Jede reelle Zahl liegt zwischen zwei ganzen Zahlen).
  Modula Operator auf Satz 2.29.
• Definition 2.30 (Rationale Zahlen) / ℚ = {/ | ∈ ℤ, ∈ ℕ}.
• Wir bezeichnen als Zähler und als Nenner.
• Wir nennen alle irrational."
• Beispiel 2.31 (Irrationale Zahlen).
  Beweis Wurzel aus 2 ist nicht rational
  Beweis goldener Schnitt ist nicht rational.

2.5 Abzählbarkeit von Zahlenmengen.

Zählbarkeit von Zahlenmengen.
*Die Mächtigkeit einer Menge schreibt man als und für abzählbare Mengen entspricht diese der Anzahl der Elemente.
*Für Mengen mit unendlich vielen Elementen vergleicht man die Mächtigkeit der Menge mit der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen .
Menge der gerade Zahlen
Die Menge der Ganzen Zahlen
*Zählen der Rationalen zahlen in einem Gitter.
*Cantors Zweites Diagonalargument.
*Betrachtung der unterschiedlichen Fälle reeller Dezimalzahlen wird schnell klar, dass rationale Zahlen eher die Ausnahme sind.
**Konklusion: Es gibt deutlich mehr irrationale als rationale Zahlen.

2.6 Summen, Produkte und Kombinatorik

*Definition 2.33 (Summen- und Produktzeichen) Für und definieren wir
Faktultät Def 2. 37.
*Binomialkoeffizient Def 2.39
*Kombinationen Satz 2.41

2.7 Komplexe Zahlen.

*Definition 2.47 (Komplexe Zahlen) = {(, ) | , ∈ ℝ}. Für alle nennen wir den Realteil von und den Imaginärteil von .
Da wir dies zum Axiom erhoben haben, müssen wir hier nichts beweisen oder die Definition nachprüfen.

• Es gibt verschiedene Körper in der Mathematik.
• Beispielsweise sind auch die rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper. Und auch die komplexen Zahlen, die wir später einführen werden, sind ein Körper.
  Vorteil: Mit der imaginären Einheit lässt sich leichter rechnen, da sich hier die Multiplikation aus der reellen Multiplikation ergibt. Die --Schreibweise lässt uns die komplexen Zahlen als zweidimensionale Vektoren interpretieren, die sich besonders gut zur Visualisierung komplexer Zahlen eignet.
• Die komplexen Zahlen sind eine sehr nützliche Erweiterung der reellen Zahlen (also ), die in vielen Bereichen Anwendung findet.Man kann also eine beliebige komplexe Zahl über ihren Betrag (Abstand zum Ursprung) und eine andere komplexe Zahl ,
  Definition 2. 50 : (Komplexe Konjugation, komplexer Betrag)
• Mit Definition des Betrags kann nicht jedes element mit der Größe nach geordnet werden kann, so lässt sich zeigen, dass man in einigen Fällen eine Metrik definieren kann.
  Damit können wir trotzdem Sätze anwenden, in denen wir Abstände vergleichen.