Deret Aritmetika dan Geometri

Pertemuan 2

Deret Aritmetika

• Definisi: Barisan aritmetika adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya.

• Beda/Selisih (b): Bilangan tetap yang ditambahkan disebut beda dan dilambangkan dengan b.

• Suku Pertama (U1): Dilambangkan dengan a.

• Rumus Suku ke-n: Dinyatakan dengan rumus: $U_n = a + (n - 1)b$

• Beda: Dapat ditentukan dengan: $b = U_n - U_{n - 1}$

Contoh Soal:

• Diketahui barisan aritmetika: 3, 8, 13, …
    - a. Tentukan Suku ke-10 dan Rumus Suku ke-n:
      - Suku pertama: $a = 3$
      - Beda: $b = 8 - 3 = 5$
      - Rumus: $U_n = a + (n - 1)b$
      - Suku ke-10:
        $U_{10} = 3 + (10 - 1)5 = 3 + 9 imes 5 = 3 + 45 = 48$
      - Rumus Suku ke-n:
        $U_n = 3 + (n - 1)5 = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$
    - b. Tentukan Suku yang Nilainya 198:
      - Misalkan $U_n = 198$
        $5n - 2 = 198$
        $5n = 200$
        $n = 40$
      - Jadi, 198 adalah suku ke-40.

Deret Aritmetika (Penjumlahan)

• Deret aritmetika disebut juga deret hitung.

• Jika suku-suku barisan aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret aritmetika.

• Bentuk Baku Deret Aritmetika:
    $a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + (a + (n - 1)b)$

• Rumus Jumlah n Suku Deret Aritmetika (Sn):
     $S_n = rac{n}{2} imes (U_1 + U_n)$

Contoh Soal:

• Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret aritmetika 3 + 5 + 7 + …
    - Diketahui:
      - $a = 3$
      - $b = 5 - 3 = 2$
      - $n = 20$
    - Rumus jumlah:
      $S_n = rac{n}{2} imes (2a + (n - 1)b)$
      $S_{20} = 10 imes (6 + 19 imes 2)$
      $= 10 imes 44$
      $= 440$

Soal-Soal

1. Tentukan Beda Setiap Barisan Aritmetika Berikut:
      - a. 2, 7, 12, 17,…
      - b. 71, 58, 45, 32…..
      - c. 1, 3, 7, -11,…
      - d. -10, -7, -4, -1,…

2. Tulislah Lima Suku Pertama Barisan Aritmetika:
      - a. Suku ke-1 = 3 dan beda 6
      - b. U₁ = 9 dan b = -4
      - c. U6 = 7 dan b = 4
      - d. U₁5 dan U7 = 41
      - e. U19 = 91 dan U91 = 19

3. Barisan Aritmetika Diketahui:
      - U5 = 14, U8 + U11 = 55, tentukan U20.

4. Suku Keberapakah Merupakan Bilangan Positif Terkecil:
      - Dari barisan aritmetika 172, 166, 160,…

5. Tentukan Nilai x untuk Barisan Aritmetika Berikut:
      - a. 2x + 1, 5x - 3, 4x + 3
      - b. x - 3, x + 3, 3x
      - c. 3x² + x + 1, 2x² + x, 4x² - 6x + 1
      - d. 2x² + 1, x², 3x² - 7x - 1

6. Sisipkan 6 Bilangan di Antara Dua Suku dari Barisan Aritmetika di Bawah Ini:
      - a. 1, 50, 99, 148.
      - b. 3, 8, 13, …, 58.
      - c. 19, 12, 5, -48.
      - d. 3, 6, 9, 36.

7. Suku Pertama dan Suku Kelima Deret Aritmetika 5 dan 11. Hitunglah jumlah 20 suku pertama.

8. Carilah Nilai x jika Diketahui Jumlah Suku-suku Deret:
      - a. 5 + 7 + 9 + x = 192
      - b. 4 + 11 + 18 + … + x = 280
      - c. 10096 + 92 + … + x = 0

9. Karyawan di Perusahaan Menerima Tambahan Gaji Setiap Tahun yang Besarnya Tetap:
      - Pada tahun ke-3 gaji Rp. 900.000,00 dan pada tahun ke-5 gaji Rp. 1.000.000,00.
        - a. Besar gaji pada tahun ke-10.
        - b. Jumlah gaji selama 10 tahun.

10. Dari Gedung Pertemuan, Baris Pertama Terdiri dari 10 Kursi:
       - Baris berikutnya bertambah 5 kursi dibandingkan dengan baris sebelumnya.
         - a. Tentukan banyaknya baris kursi dalam gedung tersebut.
         - b. Tentukan banyaknya kursi dalam gedung tersebut.

Deret Geometri

• Definisi: Barisan geometri atau barisan ukur adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan.

• Rasio: Hasil bagi suku yang berdekatan disebut dengan rasio barisan geometri (r).

• Rumus Suku ke-n dari Barisan Geometri:
     $U_n = ar^{n-1}$
     - Dengan:
       - a = suku awal
       - r = rasio barisan geometri.

Contoh Soal:

• Tentukan Jumlah 6 Suku Pertama dari Barisan 1, 3, 9,…:
    - $a = 1$
    - $r = 3$
    - $n = 6$
    - $S_n = rac{a(1 - r^n)}{1 - r} = 1 imes rac{(1 - 3^6)}{(1 - 3)} = 1 imes rac{(1 - 729)}{-2} = -728 / -2 = 364$

Deret Geometri (Jumlah)

• Rumus Jumlah n Suku Pertama:
     $S_n = a imes rac{(r^n - 1)}{(r - 1)}$ (jika r > 1)
     $S_n = a imes rac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$ (jika r < 1)

Contoh Soal:

• Tentukan Suku ke-10 dari Barisan 1/8, 1/4, 1/2,…:
    - $r = rac{1/4}{1/8} = 2$
    - $a = 1/8$
    - $U_n = ar^{n-1} = 1/8 imes 2^{10-1} = 1/8 imes 2^9 = 2^{1 - 3 + 9} = 2^{7} = 128$

Contoh Soal Lain:

• Sebuah Amoeba:
     - Dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Jika pada awalnya terdapat 2 amoeba, berapa jumlah amoeba setelah satu jam?
     - $a = 2, r = 2, n = rac{1 ext{ jam}}{6 ext{ menit}} = 10$
     - $U_{10} = 2 imes 2^{10-1} = 2 imes 2^{9} = 1024 ext{ amoeba.}$

Soal-Soal Geometri

1. Tiga Bilangan Geometri dengan Hasil Kali 1000:
      - Jika dijumlahkan = 35. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

2. Jumlah Penduduk Daerah pada 2008:
      - Terdapat 24 orang dan tiap tahunnya bertambah dua kali lipat. Tentukan jumlah penduduk pada 2012.

3. Barisan Geometri:
      - -192, 96, -48, 24,… Tentukan nilai suku ke-delapan.

4. Rumus Jumlah Suatu Deret Geometri:
      - $S_n = 2n^2 + 4n$. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut.

5. Barisan Geometri:
      - $4p, 2q, r,…$ Tentukan nilai dari $q^2 - pr$.

6. Barisan Geometri:
      - $a,b,c,…$ jika $a imes b imes c = 1728$ dan $a + b + c = 36$.

7. Jika $U_n$ suku ke-n dari barisan geometri:
      - Dengan $U_1 = x^{1/3}$ dan $U_2 = x^{1/2}$, tentukan suku ke-lima.

8. Suku Pertama dan Suku Kedua:
      - Suatu deret geometri berturut-turut adalah $a-4$ dan $ax$. Jika suku kedelapan adalah $a^{52}$, berapa nilai $x$?

9. Suku ke-n suatu deret geometri:
      - $= 4^{-n}$. Apa jumlah tak hingga deret tersebut?

10. Suku-suku Barisan Geometri Tak Hingga:
       - Positif, jumlah suku $U_1 + U_2 = 45$ dan $U_3 + U_4 = 20$. Berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?