Elektrotechnika - Pomiar mocy w ukladach jedno i trojfazowych

Elektrotechnika Ćwiczenie 4: Pomiary Mocy w Układach Jedno i Trójfazowych

Cel Ćwiczenia

• Poznanie układów do pomiaru mocy czynnej i ich właściwości metrologicznych.

• Zakres ćwiczenia:

  • Wyznaczenie mocy w układzie trójfazowym skojarzonym w trójkąt dla obciążenia symetrycznego i niesymetrycznego.

  • Wyznaczenie wartości mocy czynnej, biernej, pozornej, cos φ oraz wykresy trójkątów mocy, dla różnych udziałów obciążenia indukcyjnego w całkowitej impedancji obciążenia w układzie jednofazowym.

  • Kompensacja mocy biernej w układzie jednofazowym.

Wiadomości Wstępne

• Znajomość wartości mocy oddawanej/pobieranej informuje o stanie obciążenia, pozwala określić sprawność energetyczną i wyznaczyć straty energii.

• Do bezpośredniego pomiaru mocy przy przebiegach sinusoidalnych lub nieznacznie odkształconych (do ok. 500Hz) stosuje się watomierze elektrodynamiczne lub ferrodynamiczne.

• Watomierze elektrodynamiczne: precyzyjne, klasy 0.1; 0.2; 0.5.

• Układ połączeń watomierza elektrodynamicznego wykorzystuje siły między przewodami (cewkami) z prądem.

• Cewka nieruchoma (prądowa): włączona szeregowo, przepływa przez nią prąd I1 kontrolowanego obiektu; wytwarza pole magnetyczne.

• Cewka ruchoma (napięciowa): rezystancja RW, połączona szeregowo z rezystorem dodatkowym Rd, włączona równolegle z badanym obiektem na napięcie U.

• Prąd do cewki ruchomej doprowadzany jest przez spiralne sprężyny (źródło momentu zwrotnego).

• Wskazówka watomierza obraca się wraz z osią cewki ruchomej.

• Moment napędowy jest wypadkową sił od obu cewek; wychylenie zależy od prądów w cewkach.

• Przy prądzie przemiennym, jednoczesna zmiana kierunków prądów w cewkach powoduje, że kierunek momentu napędowego się nie zmienia.

• Tor napięciowy: R = RW + Rd

• Rezystancja cewki napięciowej z rezystorem dodatkowym jest >> od reaktancji indukcyjnej cewki napięciowej ⇒ prąd w cewce napięciowej jest w fazie z napięciem.

• Watomierze laboratoryjne mają podziałkę w działkach; stała watomierza CW w W/dz: $C<em>W = \frac{U</em>n I<em>n cos \varphi</em>n}{\alpha_n}$ gdzie:

  • Un - napięcie znamionowe

  • I - prąd znamionowy

  • cos φn - znamionowy współczynnik mocy

  • αn - całkowita liczba działek

• Moc wskazywana przez watomierz:
  $P<em>W = C</em>W \alpha$

• Zwykle cosφ=1.

• Watomierze w wykonaniu specjalnym dają pełne wychylenie np. przy cosφ = 0.5; 0.2; 0.1 (do pomiaru mocy czynnej odbiorników o małym współczynniku mocy).

• Watomierze elektrodynamiczne są najczęściej wielozakresowe o niezależnej zmianie zakresów napięciowych i prądowych.

• Zakresy napięciowe zmienia się za pomocą rezystorów dodatkowych.

• Zakresy prądowe zmienia się przez dzielenie cewki nieruchomej na jednakowe sekcje i łączenie tych sekcji szeregowo lub równolegle.

• Najmniejszy zakres prądowy: 0.5A, największy: 10A.

• Kierunek wychylenia wskazówki zależy od kierunku prądów w cewkach.

• Początek cewki prądowej łączy się tak, aby był zwrócony w kierunku dopływu energii, a początek cewki napięciowej łączy się z początkiem lub końcem cewki prądowej.

• Początki cewek oznaczane są zwykle przez “*”.

• Ze względu na możliwość przebicia między cewkami, różnica potencjałów między cewkami nie może być duża; rezystory dodatkowe łączy się zawsze z końcem cewki napięciowej.

• Watomierz może pracować w układzie poprawnie mierzonego prądu lub poprawnie mierzonego napięcia.

• Kontrola pracy watomierza: watomierz współpracuje z amperomierzem (mierzy ten sam prąd, co cewka prądowa) i woltomierzem (mierzy napięcie na zaciskach napięciowych watomierza).

Moc Czynna

• Przebieg napięcia w czasie:
  $u = U_m sin \omega t$

• Prąd opóźniony w fazie o kąt φ:
  $i = I_m sin(\omega t - \varphi)$

• Moc chwilowa:
  $p = ui = U<em>m I</em>m sin \omega t sin(\omega t - \varphi)$

• Przekształcenie:
  $p = U<em>m I</em>m sin \omega t sin(\omega t - \varphi) = \frac{U<em>m I</em>m}{2} [cos \varphi - cos(2\omega t - \varphi)]$

• Składowa niezależna od czasu: $\frac{U<em>m I</em>m}{2} cos \varphi$

• Składowa zmienna w czasie: $\frac{U<em>m I</em>m}{2} cos(2\omega t - \varphi)$

• Jeśli φ = 0 ⇒ cosφ = 1 ⇒ składowa stała jest największa i równa UI.

• Wartość średnia mocy chwilowej za okres (P) to moc czynna.
  $P = \frac{1}{T} \int_0^T p dt$

• Po podstawieniu i scałkowaniu:
  $P = UI cos \varphi$

Moc Bierna

• Moc bierna (Q) jest pobierana ze źródła przez odbiorniki o charakterze indukcyjnym. Odbiorniki rezystancyjne nie pobierają mocy biernej.

• Wraz ze wzrostem mocy biernej rośnie przesunięcie fazowe między prądem i napięciem, maleje cosφ (współczynnik mocy) i rośnie moc pozorna (S).

• Moc pozorna jest podstawą do rozliczeń za energię elektryczną, zwiększa koszty oraz wpływa na elementy instalacji elektrycznych (np. przekroje przewodów).

• Moc bierna nie zamienia się na ciepło, nie jest mocą użyteczną.

• Moc bierna przepływa cyklicznie między źródłem i odbiornikiem z częstotliwością 2x wyższą od częstotliwości napięcia źródła.

• Kompensacja mocy biernej: równoległe dołączenie do odbiorników indukcyjnych baterii kondensatorów statycznych (wprowadzają moc bierną o przeciwnym znaku).
  $Q<em>{ind} = -Q</em>{poj}$

• Prąd bierny indukcyjny = prądowi biernemu pojemnościowemu ⇒ reaktancja indukcyjna = reaktancji pojemnościowej.
  $X<em>L = X</em>C$
  $\omega L = \frac{1}{\omega C}$

• Stąd można obliczyć pojemność kondensatora kompensacyjnego.

Moc Pozorna

• Moc pozorna (S) jest największą wartością mocy czynnej w obwodzie przy cosφ = 1.

• Zależność między mocą czynną, bierną i pozorną:
  $S = U \cdot I [VA]$
  $S^2 = P^2 + Q^2$

• Graficzne przedstawienie zależności: trójkąt mocy.

Skojarzone Układy Trójfazowe

• Połączenie prądnicy trójfazowej z odbiornikami w postaci trzech niezależnych układów jednofazowych wymaga 6 przewodów.

• Aby zmniejszyć liczbę przewodów, stosuje się kojarzenie (łączenie) uzwojeń prądnicy i odbiorników trójfazowych w gwiazdę albo w trójkąt.

• Możliwość zastąpienia równolegle biegnących przewodów jednym przewodem wymaga odpowiedniego połączenia początków i końców zezwojów, zwanym kojarzeniem faz.

• Kojarzenie faz w gwiazdę: przewody równoległe tworzą wspólny przewód zerowy; sieć czteroprzewodowa.

• Kojarzenie w trójkąt: przewody fazowe; sieć trójprzewodowa.

• Skojarzenie w gwiazdę: połączenie końców uzwojeń fazowych (X, Y, Z) w jeden wspólny punkt (punkt zerowy); połączenie początków uzwojeń (U, V, W) z trzema przewodami sieci trójfazowej (R, S, T).

• Napięcie między punktem zerowym a każdym z przewodów fazowych: napięcie fazowe Uf.

• W układzie symetrycznym wszystkie napięcia fazowe są jednakowe: $U<em>f = U</em>R = U<em>S = U</em>T$

• Napięcia między przewodami fazowymi (R, S, T): napięcia międzyprzewodowe (URS, UST, UTR).

• Z wykresu wektorowego napięć symetrycznego połączenia w gwiazdę wynika:

• Napięcia międzyprzewodowe są √3 razy większe od napięć fazowych.

$\frac{U<em>{RS}}{U</em>f} = \frac{\sqrt{3}U<em>f}{U</em>f} = 2cos30^\circ = \sqrt{3}$

• Przy połączeniu w gwiazdę prądy fazowe są równe prądom przewodowym:
  $I<em>f = I</em>R = I<em>S = I</em>T = I$

• Skojarzenie w trójkąt: połączenie każdego końca jednej fazy z początkiem drugiej fazy.

• Uzwojenie trójfazowe połączone w trójkąt tworzy zamknięty obwód, w którym działa suma wektorowa napięć:
  $U<em>R + U</em>S + U_T = 0$

• W układzie trójfazowym symetrycznym:
  $U<em>R + U</em>S + U_T = 0$

• Prąd wewnątrz uzwojenia nie płynie, mimo zamknięcia obwodu.

• Napięcia międzyprzewodowe równają się napięciom fazowym:
  $U<em>{RS} = U</em>R, U<em>{ST} = U</em>S, U<em>{TR} = U</em>T$

• Ogólnie: U = Uf

• Wierzchołki trójkąta tworzą węzły, w których zbiegają się trzy przewody: dwa przewody fazowe i przewód sieciowy.

• Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, geometryczna suma prądów w węźle równa się zeru.

• Prąd w przewodzie sieciowym równa się różnicy wektorowej prądów fazowych (jeden dopływa, drugi odpływa).

• Z wykresu wektorowego wynika zależność między prądami przewodowymi a fazowymi
  $I = \sqrt{3}I<em>f$ $\frac{I}{I</em>f} = \frac{\sqrt{3}I<em>f}{I</em>f} = 2cos30^\circ = \sqrt{3}$

Pomiar Mocy Czynnej Metodami Bezpośrednimi

• Moc czynna układu trójfazowego jest sumą mocy czynnych wszystkich jego faz.

• Metoda pomiaru zależy od symetrii obciążenia, rodzaju sieci (trój- czy czteroprzewodowa) i dostępności punktu zerowego.

Pomiar Mocy Czynnej Trzema Watomierzami

• Może być wykonywany w sieci trójfazowej czteroprzewodowej i trójprzewodowej.

• Moc czynna w sieci trójfazowej czteroprzewodowej: $P = U<em>{L1}I</em>{L1} cos \varphi<em>{L1} + U</em>{L2}I<em>{L2} cos \varphi</em>{L2} + U<em>{L3}I</em>{L3} cos \varphi<em>{L3} = P</em>{L1} + P<em>{L2} + P</em>{L3}$

  • UL1, UL2, UL3 - napięcia fazowe

  • IL1, IL2, IL3 - prądy przewodowe

  • φL1, φL2, φL3 - kąty między napięciami i prądami w fazach

  • PL1, PL2, PL3 - moce fazowe

• Moc pobierana przez odbiornik równa się sumie wskazań watomierzy: $P = P<em>{W1} + P</em>{W2} + P_{W3}$

  • PW1, PW2, PW3 - moce wskazywane przez watomierze

• Pomiar daje prawidłowy wynik bez względu na symetrię zasilania i obciążenia.

• Za pomocą trzech watomierzy można dokonać pomiaru mocy w obwodzie trójfazowym trójprzewodowym symetrycznym lub niesymetrycznym (tworząc sztuczny punkt zerowy przez połączenie obwodów napięciowych trzech watomierzy w gwiazdę).

• Moc pobieraną przez odbiornik wyznacza się z zależności:
  $P = P<em>{W1} + P</em>{W2} + P_{W3}$

• Błąd graniczny systematyczny pomiaru mocy wywołany błędami watomierzy: $\delta P = \pm \frac{|P<em>{W1}\delta</em>{W1}| + |P<em>{W2}\delta</em>{W2}| + |P<em>{W3}\delta</em>{W3}|}{P}$

  • δW1, δW2, δW3 - błędy względne pomiaru mocy za pomocą watomierzy

Pomiar Mocy Czynnej Jednym Watomierzem

• W układzie trójfazowym o symetrycznym zasilaniu i obciążeniu spełnione są zależności:
  $cos\varphi<em>1 = cos\varphi</em>2 = cos\varphi<em>3 = cos\varphi$ $I</em>{L1} = I<em>{L2} = I</em>{L3} = I<em>L$ $U</em>{L1} = U<em>{L2} = U</em>{L3} = U_L$

• Wskazania watomierzy w poszczególnych fazach są jednakowe.

• Do pomiaru mocy w obwodzie o symetrycznym zasilaniu i symetrycznym obciążeniu wystarczy jeden watomierz.

• W obwodach trójprzewodowych stosuje się sztuczny punkt zerowy (łączenie w gwiazdę obwodu napięciowego watomierza i dwóch pomocniczych rezystorów).

• Rezystancja rezystorów pomocniczych powinna być równa rezystancji obwodu napięciowego watomierza (przesunięcie punktu zerowego powoduje dodatkowe błędy pomiaru).

• Przy pomiarze mocy odbiornika połączonego w symetryczną gwiazdę, można wykorzystać jego punkt zerowy.

• Moc pobieraną przez odbiornik wyznacza się ze wzoru:
  $P = 3P_W$

• Ze względu na prostotę, pomiar mocy czynnej jednym watomierzem jest używany stosunkowo często.

• Metoda ta jest mało dokładna (założenie o równym poborze mocy przez poszczególne fazy).

• Nie stosuje się poprawek wynikających z poboru mocy przez przyrządy oraz nie oblicza się błędu systematycznego granicznego pomiaru mocy.

Pomiar Mocy Czynnej Dwoma Watomierzami

• Stosowany w symetrycznie i niesymetrycznie obciążonych obwodach trójprzewodowych (układ Arona).

• Pomiar jest prawidłowy, gdy suma geometryczna prądów fazowych (lub suma geometryczna napięć międzyfazowych) jest równa zeru; warunek spełniony w sieciach trójfazowych bez przewodu zerowego.

• Moc czynna odbiornika równa jest sumie mocy wskazywanych przez watomierze:
  $P = P<em>{W1} + P</em>{W2}$

• Błąd graniczny systematyczny spowodowany błędami watomierzy:
  $\delta P = \pm \frac{|P<em>{W1}\delta</em>{W1}| + |P<em>{W2}\delta</em>{W2}|}{P}$

• Stosując układ Arona w obwodach symetrycznych, można określić współczynnik mocy obciążenia.

• Wskazania watomierzy:

  $P<em>{W1} = U</em>{L13}I<em>{L1} cos \alpha</em>1 = UI cos(30^\circ - \varphi)$

  $P<em>{W2} = U</em>{L23}I<em>{L2} cos \alpha</em>2 = UI cos(30^\circ + \varphi)$

  gdzie:

  • U - napięcie międzyfazowe

  • I - prąd fazowy

• Suma wskazań:
  $P<em>{W1} + P</em>{W2} = UI cos(30^\circ - \varphi) + UI cos(30^\circ + \varphi)$

• Różnica wskazań:
  $P<em>{W1} - P</em>{W2} = UI cos(30^\circ - \varphi) - UI cos(30^\circ + \varphi)$

• Dzieląc stronami i przekształcając:
  $tg\varphi = \sqrt{3} \frac{P<em>{W1} - P</em>{W2}}{P<em>{W1} + P</em>{W2}}$

• Ponieważ
  $cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2\varphi}}$

• Po podstawieniu i przekształceniu:
  $cos\varphi = \frac{P<em>{W1} + P</em>{W2}}{2\sqrt{P<em>{W1}^2 + P</em>{W2}^2 - P<em>{W1}P</em>{W2}}}$

• Wskazania watomierzy zależą od współczynnika mocy. Np. przy φ = 0 (cos φ = 1) wskazania są jednakowe i równe połowie mocy całkowitej.

• Jeżeli kąt fazowy jest > 60° (cos φ < 0.5), watomierz W2 ma wskazania ujemne (wskazówka odchyla się w niewłaściwą stronę).

  • Należy zmienić kierunek prądu w jego cewce napięciowej na przeciwny (zamienić miejscami przewody na zaciskach napięciowych), ale przy obliczaniu uwzględnić ujemny kierunek wskazań.

• Pomiar w układzie Arona jest mało dokładny dla małych wartości współczynnika mocy (odejmuje się od siebie dwie niewiele różniące się liczby).

  • W takim przypadku należy pomiar przeprowadzić w układzie trzech watomierzy i ewentualnie zastosować watomierz o małym cosφn.

Pomiar Mocy Czynnej Metodami Pośrednimi

• Wykorzystanie przekładników prądowych i napięciowych.

• Zastosowanie przekładników umożliwia:

  • Pomiar dużych prądów/wysokich napięć miernikami o niewielkich zakresach.

  • Umieszczenie mierników w pewnej odległości od obwodu.

  • Zwiększenie bezpieczeństwa obsługi.

• Rodzaje układów:

  1. Układ półpośredni: amperomierze i cewki prądowe watomierzy łącza się przez przekładniki prądowe, a woltomierze i obwody napięciowe watomierzy bezpośrednio. Stosowany przy niskich napięciach i dużych prądach (I > 10A, U < 700V).

  2. Układ pośredni: wszystkie mierniki łącza się przez przekładniki prądowe i napięciowe. Stosowany przy wysokich napięciach (U > 700V), niezależnie od prądów.

• Kryteria doboru układu (1, 2 lub 3 watomierze) są takie same jak w metodach bezpośrednich.

• Nie stosuje się poprawek na moc pobieraną przez przyrządy (duże wartości mierzonych mocy).

• Należy stosować układy poprawnie mierzonego napięcia (spadki napięć na uzwojeniach pierwotnych przekładników prądowych mogą nie być pomijalne).

• Najczęściej stosowany układ to układ z dwoma watomierzami (obwody wysokiego napięcia).

• Moc pobierana przez odbiornik: $P = \theta<em>I \theta</em>U (P<em>{W1} + P</em>{W2})$

  • PW1, PW2 - moc wskazywana przez watomierze

  • ΘI - przekładnia przekładników prądowych

  • ΘU - przekładnia przekładników napięciowych

• Dokładność pomiaru zależy od błędów watomierzy oraz przekładników.

• Błąd względny graniczny pomiaru mocy metodą pośrednią w układzie z dwoma watomierzami (dla obciążenia symetrycznego, jednakowe przyrządy):

$\delta P = \pm [|\Delta I| + |\Delta U| + |2k<em>l| \frac{P</em>W}{P<em>{W1} + P</em>{W2}} + [|\delta I| + |\delta U|] |\frac{P<em>{W2} - P</em>{W1}}{P<em>{W1} + P</em>{W2}}| 0,05]$

*   δP - błąd względny graniczny pomiaru mocy w %
*   PW - zakres pomiarowy watomierzy w W
*   kl - klasa watomierzy w %
*   PW1, PW2 - wskazania watomierzy w W
*   ΔI, ΔU - błąd względny graniczny prądowy i napięciowy przekładników w %
*   δI, δU - błąd graniczny kątowy przekładnika prądowego i napięciowego w minutach.

• Jeśli nie ma przekładników napięciowych, należy pominąć ich błędy.

• Nie trzeba zwracać obwodów napięciowych w stronę kontrolowanego obiektu (spadki napięcia na uzwojeniach pierwotnych przekładników prądowych są pomijalne).

• Uzwojenia wtórne i metalowe części przekładników muszą być uziemione (bezpieczeństwo obsługi).

Realizacja Ćwiczenia

Pomiar Mocy w Układzie Jednofazowym

• Zmontować układ pomiarowy zgodnie ze schematem.

• Przeprowadzić pomiary wartości mocy czynnej, prądu i napięcia w analizowanym obwodzie dla obciążenia o charakterze czysto rezystancyjnym oraz dla obciążenia w układzie z załączoną indukcyjnością oraz indukcyjnością i pojemnością (układ z kompensacją cosφ).

• Odczyty przyrządów zapisać w tabeli, a następnie przeprowadzić stosowne wyliczenia mocy biernej, pozornej oraz cosφ dla różnych udziałów obciążenia indukcyjnego w całkowitej impedancji obciążenia, korzystając z podanych zależności.

• Sporządzić rysunki trójkątów mocy dla każdego pomiaru na papierze milimetrowym.

• Zależności pomiędzy mocą czynną, bierną i pozorną:
  $P = U \cdot I \cdot cos\varphi [W]$
  $Q = U \cdot I \cdot sin\varphi [VAr]$
  $S = U \cdot I [VA]$
  $S^2 = P^2 + Q^2$

• U, I - wartości skuteczne napięcia i prądu.

• Moc czynna P jest zawsze dodatnia w elementach pobierających energię (odbiornikach).

Pomiar Mocy w Układzie Trójfazowym

• Połączyć układ pomiarowy Arona (z dwoma watomierzami).

• Przeprowadzić pomiary dla obciążenia rezystancyjnego oraz impedancyjnego symetrycznego i niesymetrycznego.

• Obliczyć moce czynne dla obydwu przypadków.

• Pomocne wzory do obliczeń oraz, dla obciążeń symetrycznych:
  $cos\varphi = \frac{P<em>{W1} + P</em>{W2}}{2\sqrt{P<em>{W1}^2 + P</em>{W2}^2 - P<em>{W1}P</em>{W2}}}$
  $P = P<em>{W1} + P</em>{W2}$

• Omówić sposoby pomiaru mocy czynnej w obwodach trójfazowych i zamieścić wyniki pomiarów w sprawozdaniu.

Pytania Kontrolne

1. Podać sposób obliczania stałej watomierza analogowego.

2. Podać definicje mocy czynnej, biernej oraz pozornej wraz ich zależnościami i opisem trójkąta mocy.

3. Na czym polega kompensacja mocy biernej. Narysować trójkąt mocy.

4. Podać sposoby łączenia watomierzy w sieci trójfazowej oraz wzory związane z tymi połączeniami przy pomiarze mocy czynnej.

5. Podać sposoby łączenia odbiorników w sieci trójfazowej oraz zależności pomiędzy wielkościami napięć i natężeń prądów fazowych i przewodowych w tych układach.

6. Co oznaczają pojęcia przekładni przekładnika prądowego, a co przekładni przekładnika napięciowego?