Semaine 5

TEST T SUR DEUX MOYENNES (PARTIE 2) : VARIANCES INÉGALES ET DONNÉES PAIRÉES

P valeur

• La p valeur est liée aux données et donne des informations sur la vraisemblance de l’hypothèse nulle.

• Elle représente la probabilité d'observer une ressemblance de moyenne, indiquant

  • Peu de chances d'observer cette critique

• Seidy Noemy Cornejo

PLAN DE LA PRÉSENTATION

• Wooclap sur le test t pour deux moyennes indépendantes

• Cas 1 : Le test t pour deux moyennes avec variances inégales

• Test t de Welch avec JAMOVI

• Cas 2 : Le test t de Student pour deux moyennes pairées

• Test t pairé avec JAMOVI

• Choisir le bon test t

• Exercices MAT-1904

RAPPELS SUR LE TEST T SUR UNE MOYENNE

• Wooclap sur le test t de Student pour deux moyennes indépendantes :

  • #1 variance et moyenne des deux échantillons

  • #2 quel énoncé est vrai ?

  • La différence de la moyenne peut être positive ou négative.

  • La variance d’une différence de moyenne est égale à la variance d’une somme de moyenne.

  • #3 l’unité de mesure : nombre de nuits d’insomnie

• Seidy Noemy Cornejo

LE PROBLÈME DES VARIANCES INÉGALES

• Université Laval

INTRODUCTION

• Les logiciels utilisent par défaut une approche combinatoire pour les écart-types de deux échantillons basés sur leurs poids respectifs en degrés de liberté (ddl), ce qui permet de gérer les tailles d’échantillons égales ou inégales.

$S<em>{COMB} = rac{n</em>1 - 1 s<em>1^2 + n</em>2 - 1 s<em>2^2}{n</em>1 + n<em>2 - 2}$ $t</em>{COMB} = rac{\bar{X}<em>1 - \bar{X}</em>2}{S<em>{COMB} \bigg( rac{1}{n</em>1} + rac{1}{n_2} \bigg)}$

• Le problème se situe autour de la différence des écarts-types combinés, une estimation que les logiciels utilisent.

IMPLICATIONS SUR LES VARIANCES

• Cette formule est valable uniquement si les écarts-types ne sont pas fondamentalement distincts (i.e. les différences proviennent de l'erreur d'échantillonnage).

• ~~$S<em>1^2, S</em>2^2$~~

• Les différences entre les écarts-types des échantillons sont dues à des erreurs d'échantillonnage (écart aléatoire).

• Implications significatives :

  • Hypothèses :

  • ~~$au<em>1^2 = au</em>2^2 = au^2$~~

  • Donc, le calcul d’un écart-type $ S $ combiné permet d’estimer la variance "commune" de la population.

ÉGALITÉ DES VARIANCES

• IMPORTANT : il n’existe pas de relation entre les hypothèses (nulle ou alternative) sur les moyennes et l’égalité des variances/écarts-types.

• Situations :

  • Même population d’origine

  • $au<em>1 = au</em>2$

  • Cas

  • $au<em>1^2 = au</em>2^2$

  • $au<em>1^2 e au</em>2^2$

• Confusion parmi les étudiants concernant l’identification des moyennes et des variances.

IMPACT DES VARIANCES INÉGALES

Scénario

• Impact selon la variabilité :

  • Test t, $n<em>1 = n</em>2$ et $au<em>1^2 e au</em>2^2$

  • Aucun impact sur l’approche SSEP ou SCOMB; produit la même statistique de test.

  • Grande variance dans le petit groupe :

  • Sous-estime l’erreur standard;

  • Plus facile de rejeter H0; le test t est plus souvent significatif (test trop "libéral").

  • Grande variance dans le grand groupe :

  • Surestime l’erreur standard;

  • Plus difficile de rejeter H0; le test t est plus rarement significatif (test trop "conservateur").

TESTER L’ÉGALITÉ DES VARIANCES

1) Si les tailles d’échantillons sont inégales, vérifier si le problème d’inégalité des variances est présent :

• Hypothèses pour les tests :

  • $H<em>0: au</em>1^2 = au_2^2$ (homogénéité des variances)

  • $H<em>1: au</em>1^2 <br>e au_2^2$ (hétérogénéité des variances)

• Pour le cours, on utilise le test de Levene (1960), disponible dans JAMOVI.

TESTER L’ÉGALITÉ DES VARIANCES (suite)

• Le test de Levene produit une p-valeur (p) pour conclure si H0 peut être rejetée.

• $H<em>0: au</em>1^2 = au_2^2$

• $H<em>1: au</em>1^2 <br>e au_2^2$

• Si p ≤ alpha critique, on rejette H0 et conclut que les variances ne sont pas "homogènes".

• Sinon, on accepte H0, signifiant que les variances sont équilibrées (égales).

LE TEST T DE WELCH POUR VARIANCES INÉGALES

2) Lorsque les variances sont différentes, le test t de Welch est utilisé.

• Test t de Welch (S séparés) :

$t<em>{SEP} = rac{\bar{X</em>1} - \bar{X<em>2}}{ rac{s</em>1^2}{n<em>1} + rac{s</em>2^2}{n_2}}$

• Différent du test t standard (S combinés).

• Valeur critique basée sur t avec ddl ajustés.

- La correction doit être laissée aux logiciels pour éviter la complexité.

Test t selon variances :

Valeur critique selon :

• $S<em>{COMB} = rac{n</em>1 - 1 s<em>1^2 + n</em>2 - 1 s<em>2^2}{n</em>1 + n_2 - 2}$

Valeur critique selon :

• $t<em>{COMB} = rac{\bar{X</em>1} - \bar{X<em>2}}{S</em>{COMB} \bigg( rac{1}{n<em>1} + rac{1}{n</em>2} \bigg)}$

TEST / DE WELCH AVEC JAMOVI

• Université Laval.

EXEMPLE DE TEST T DE WELCH AVEC JAMOVI

• Un chercheur mesure le nombre de cigarettes consommées par deux groupes d'âge différents.

Participants :

• 32 participants âgés de 30 ans et moins.

• 20 participants âgés de 65 ans et plus.

• Les données sont analysées en utilisant un niveau alpha de 0.01.

TEST T AVEC N INÉGAUX

Hypothèses statistiques :

• $H<em>0 : \bar{X</em>{30}} ext{≤} \bar{X_{65}}$ (les jeunes fumeurs consomment un nombre moyen de cigarettes inférieur ou égal aux fumeurs plus âgés)

• H1 : ar{X{30}} > ar{X_{65}} (les jeunes fumeurs consomment un nombre moyen de cigarettes supérieur aux fumeurs âgés)

Calcul des statistiques :

Statistique t avec formula pour écarts-types séparés :

t{SEP} = rac{ar{X{30}} - ar{X{65}}}{ rac{s{30}^2}{n{30}} + rac{s{65}^2}{n_{65}}} \

• $n<em>{30} = 32, \bar{X</em>{30}} = 18.44, s<em>{30} = 7.95, s</em>{30}^2 = 63.22$

• $n<em>{65} = 20, \bar{X</em>{65}} = 13.20, s<em>{65} = 6.93, s</em>{65}^2 = 47.96$

TEST T DE WELCH AVEC JAMOVI (SUITE)

• Les calculs avec le logiciel doivent respecter les étapes déjà définies pour un test t sur deux moyennes indépendantes.

CHOISIR LE BON TEST T

En pratique, considérations nécessaires :

• Ai-je une ou deux moyennes à comparer ?

Si deux moyennes :

• Proviennent-elles du même échantillon ou deux échantillons indépendants ?

Additionnel :

• Varie la taille de mes échantillons ?

• Est-ce que la variance de mes deux échantillons est égale ?

RÉSUMÉ DE LA DÉMARCHE INFÉRENTIELLE POUR UN TEST T POUR ÉCHANTILLONS DÉPENDANTS

1) $H<em>0 : \bar{\boldsymbol{X}}</em>1 ext{≤} \bar{\boldsymbol{X}}<em>2$ ou $D = ext{μ}</em>1 - ext{μ}_2 ext{≤} 0$
2) Seuil de signification $α = .05$ unilatéral à droite.
3) Conditions d’utilisation :
a) On a deux échantillons dépendants.
b) On assume la normalité de la variable dépendante continue.

MOT DE LA FIN

• Exercices de la semaine 5

• Quiz #2 à compléter pour lundi 6 octobre

• Prochain cours aborde : Erreurs dans les décisions statistiques, puissance statistique, taille d’échantillon

• Session de dépannage : mercredi PM de 13h à 15h, actuellement en ligne.