Probabilité conditionnelle

L’arbre pondéré

On enchaîne plusieurs expériences aléatoire. Soit A un évènement de la première expérience, et B un évènement de la deuxième expérience. On peut construire l’arbre pondéré suivant : 

$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

$P_{A}\left(B\right)$  se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ».

⚠︎ Règles à respecter ദ്ദി(˵ •̀ ᴗ - ˵ ) ✧ 

• La somme des probabilités inscrites sur chaque branche issue d’un nœud vaut $1$.

  • Exemple : $P_{A}\left(B\right)+P_{A}\left(\overline{B}\right)=1$

• La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur ce chemin.

  • Exemple : $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P_{A}\left(B\right)$

Propriété ꩜ .ᐟ : Soit $A$ et $B$ deux évènements d’une expérience aléatoire, avec $P\left(A\right)\ne0$. La probabilité que l’évènement se réalise sachant que $A$ est réalisé vaut : $P_{A}\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$.

Exemple : Une entreprise possède $40\%$ de véhicules français & électriques. $50\%$ des véhicules sont électriques.

Soit $E$ , l’évènement : « le véhicule est électrique ».

Soit $F$ , l’évènement : « le véhicule est français ».

Alors, calculons $P_{E}\left(F\right)$ :

Il y a équiprobabilité si on choisit un véhicule au hasard.

$P_{E}\left(F\right)=\frac{P\left(E\cap F\right)}{P\left(E\right)}$

$P_{E}\left(F\right)=\frac{0,4}{0,5}$

$P_{E}\left(F\right)=\frac45$

Donc, sachant qu’un véhicule est électrique, la probabilité qu’il soit français est de $\frac45$ (ou $0,8$ ou $80\%$).

Évènements indépendants

On considère deux évènementd d’une expérience aléatoire : $A$ et $B$ sont indépendants si :

$P_{A}\left(B\right)=P\left(B\right)$