Notes de révision : factorisation des polynômes (A, B, C et GCF)

A. Décomposition de x^2 + bx + c en facteurs (cas où a = 1)

• Forme générale: x^2 + b x + c = (x + m)(x + n) si et seulement si m + n = b et m n = c.
• Conditions privilégiées:
  • Le discriminant D = b^2 - 4c doit être un carré parfait pour pouvoir factoriser sur les entiers: si D = k^2, alors les racines sont r1 = (-b - k)/2 et r2 = (-b + k)/2 et on peut écrire x^2 + bx + c = (x - r1)(x - r2).
• Cas des signes:
  • Si c > 0 et b > 0, on cherche deux nombres positifs dont le produit est c et la somme est b.
  • Si c < 0, les deux facteurs auront des signes opposés.
• Vérification:
  • On peut multiplier les facteurs pour retrouver le trinôme initial: (x + m)(x + n) = x^2 + (m+n)x + mn.
• Astuces utiles:
  • Si le polynôme contient un signe négatif placé devant x^2, on peut le sortir et écrire le besoin sous une forme équivalente avec un coefficient positif:
  • Par exemple, -x^2 + 6x - 9 = - ( x^2 - 6x + 9 ) = - (x - 3)^2.
  • Si b^2 - 4c n’est pas un carré parfait, le polynôme ne se factorise pas sur les entiers; on peut alors écrire sous forme irréductible sur les entiers ou utiliser la décomposition avec des racines réelles/complexes.
• Exemples explicites (issus du transcript):
  • x^2 + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4). (car m = 4 et n = 4, car 4 + 4 = 8 et 4×4 = 16)
  • x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2. (car m = n = 2)
• Remarque pratique:
  • Vérifier par multiplication: ((x + m)(x + n)) = x^2 + (m+n)x + mn, puis comparer avec le trinôme initial.

B. Décomposition de ax^2 + bx + c en facteurs (cas général, a ≠ 1)

• Objectif: factoriser ax^2 + bx + c en produits de binômes à coefficients entiers lorsque c’est possible.
• Méthode standard (réduction par regroupement): 1) Calculer le produit ac. Rechercher deux nombres p et q tels que p + q = b et p q = a c. 2) Réécrire le terme bx sous la forme px + qx et regrouper:
  • $a x^2 + b x + c = a x^2 + p x + q x + c$.
  • Puis factoriser par regroupement: $= x (a x + p) + ? (x)$ selon le cas jusqu’à obtenir un facteur commun, aboutissant à $(dx + e)(fx + g)$ ou à une forme équivalente.
• Exemple 1 (issus du transcript):
  • 2x^2 + 7x + 3
  • ac = 2·3 = 6, on cherche p et q tels que p+q = 7 et p q = 6. On prend p = 1, q = 6.
  • Réécriture: 2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3).
• Exemple 2:
  • 4x^2 + 4x + 1
  • ac = 4, b = 4, on cherche p et q tels que p+q = 4 et p q = 4. On prend p = q = 2.
  • Réécriture: 4x^2 + 2x + 2x + 1 = (2x + 1)(2x + 1) = (2x + 1)^2.
• Exemples variés (issus du transcript):
  • 5x^2 - 10x + 6x - 12 = (5x^2 - 10x) + (6x - 12) = 5x(x - 2) + 6(x - 2) = (5x + 6)(x - 2).
  • 4h^2 + 20h + 9 = (2h + 1)(2h + 9).
  • 2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5).
  • 2x^2 + 3x - 10x - 15 = x(2x + 3) - 5(2x + 3) = (x - 5)(2x + 3).
  • 8a^2 - 24a + 18 = 2(4a^2 - 12a + 9) = 2(2a - 3)^2.
  • 100a^2 - 1 = (10a - 1)(10a + 1).
  • 2x^2 - 50y^2 z^2 = 2(x^2 - 25y^2 z^2) = 2(x - 5yz)(x + 5yz).
  • 9x^2 - 16y^2 = (3x - 4y)(3x + 4y).
  • 25a^2 - 16b^2 = (5a - 4b)(5a + 4b).
  • x^3 - 32x = 2x(x^2 - 16) = 2x(x - 4)(x + 4).
  • $a^2 b^2 - 81 = (ab - 9)(ab + 9)$.
  • 100a^2 - 1, 16x^2 - 9, 3x^2 + 9x^2y - 12xy etc. illustrent d’autres applications du même principe (regroupement, produits ac, et différence de carrés lorsque c n’est pas premier).
• Remarques pratiques:
  • Si le trinôme ne se décompose pas sur les entiers, on peut conclure à l’irréductible sur les entiers ou utiliser la méthode du discriminant et les racines réelles/complexes.
  • Pour vérifier une factorisation, on peut multiplier les facteurs obtenus et vérifier que le produit est bien le trinôme initial.
• Exemples supplémentaires (tirés du transcript):
  • 2x^2 + 3x - 10x - 15 = (x - 5)(2x + 3).
  • 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2.
  • 2x^2 - 50 y^2 z^2 = 2(x - 5yz)(x + 5yz).
  • 9x^2 - 16y^2 = (3x - 4y)(3x + 4y).
  • 100a^2 - 1 = (10a - 1)(10a + 1).

C. Décomposer une différence de carré

• Définition: Une différence de carrés est un polynôme de la forme $A^2 - B^2$ qui se décompose en $(A - B)(A + B)$.
• Forme générale: si le premier terme est un carré parfait et le second aussi, alors on peut écrire:
  • $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
• Exemples:
  • x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
  • x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).
  • 4x^2 - 49 = (2x - 7)(2x + 7).
  • 25a^2 - 16b^2 = (5a - 4b)(5a + 4b).
  • 16x^2 - 9 = (4x - 3)(4x + 3).
  • a^2 b^2 - 81 = (ab - 9)(ab + 9).
  • 100a^2 - 1 = (10a - 1)(10a + 1).
• Autres formes liées: lorsque des puissances supérieures apparaissent, on peut reconnaître des différences de carrés imbriquées, par exemple
  • $a^4 - 16 b^4 = (a^2 - 4 b^2)(a^2 + 4 b^2) = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4 b^2).$
• Autres exemples tirés du transcript:
  • $2x^3 - 32x = 2x(x^2 - 16) = 2x(x - 4)(x + 4).$
  • $9x^2 - 16y^2 = (3x - 4y)(3x + 4y).$

D. Les facteurs communs d'un polynôme (PGFC / GCF)

• Définition: Trouver le facteur commun le plus grand (numérique et/ou algébrique) qui divise tous les termes d’un polynôme et le mettre en facteur en dehors des parenthèses.
• Règle: le PGFC est la multiplication du facteur le plus élevé commun à tous les termes. Pour les puissances des variables, prendre la plus petite puissance présente dans tous les termes.
• Exemples:
  • 18a^5 + 9a^3
  • PGFC: $9a^3$, donc 18a^5 + 9a^3 = 9a^3(2a^2 + 1).
  • 12abc ext{ et } 16abc^2
  • PGFC: $4abc$, donc 12abc + 16abc^2 = 4abc(3 + 4c).
  • 2x^2 + 4x
  • PGFC: $2x$, donc 2x(x + 2).
  • x^2 + x
  • PGFC: $x$, donc x(x + 1).
  • bx + cx
  • PGFC: $x$, donc x(b + c).
  • ax + bx + cx
  • PGFC: $x$, donc x(a + b + c).
• Rappel: après extraction du PGFC, il peut rester une expression que l’on peut soit laisser telle quelle, soit tenter de factoriser davantage si possible.
• Conseils pratiques:
  • Toujours écrire les termes dans l’ordre standard: le degré décroissant (par exemple $ax^2 + bx + c$).
  • Vérifier le produit des facteurs obtenus en les multipliant pour confirmer que l’expression initiale est bien reproduite.
  • L’utilisation du GCF peut simplifier les expressions et faciliter les étapes suivantes (factoring par groupes, etc.).

Rappels et conseils généraux d’étude

• Toujours vérifier les résultats par la multiplication (expansion) des facteurs trouvés.
• Quand le coefficient directeur est différent de 1 (cas ax^2 + bx + c avec a ≠ 1), privilégier la méthode ac pour trouver p et q afin de procéder par regroupement.
• Connaître les formules usuelles utiles:
  • Différence de carrés: A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).
  • Carré parfait: A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2,
    \, A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2.
• Comprendre quand une factorisation est possible dans les entiers et quand elle ne l’est pas (dépend du discriminant).
• Les exemples du transcript couvrent de nombreux cas typiques et illustrent les techniques de base: regroupement, facteur commun, différences de carrés, et produits ac.

Note: Les notations et les expressions ci-dessus suivent les exemples et les méthodes présentés dans le transcript. Utilisez ces règles comme base pour pratiquer sur des exercices variés et gagner en automatisme dans la factorisation.