Material de Apoyo de Estudio K11

Kayla quiere medir la concordancia entre dos jueces en una competición de gimnasia.
Cada juez clasificó a siete competidoras, donde 1 es la clasificación más alta y 7 la más baja.
(a) Calcular el coeficiente de correlación de Spearman para estos datos.
(b) Indicar la conclusión que Kayla puede sacar de la respuesta de la parte (a).

Lucy vende bebidas de chocolate caliente y nota que vende más en días fríos.
Registra la temperatura máxima diaria ( $T$ en °C) y el número de chocolates calientes vendidos ( $H$ ) en seis días diferentes.
La relación entre $H$ y $T$ se modela mediante la recta de regresión: $H = aT + b$
(a.i) Encontrar los valores de $a$ y $b$ .
(a.ii) Anotar el coeficiente de correlación.
(b) Estimar la cantidad de chocolates calientes que Lucy venderá en un día donde la temperatura máxima sea de 12°C, usando la ecuación de regresión.

Jing visita la Universidad de Surrey Hills para estudiar estilos de vida saludables.
Registra la posición de una persona en la universidad y la frecuencia con la que come ensalada.
Realiza una prueba χ² de independencia con un nivel de significación del 5%.
(a) Enunciar la hipótesis nula.
(b) Calcular el p-valor de esta prueba.
(c) Justificar si se debe aceptar la hipótesis nula.

Celeste calienta una taza de café y deja que se enfríe hasta la temperatura ambiente.
La temperatura del café ( $T$ en °C) se modeliza mediante: $T = 21 + 68e^{-0.08t}$ , donde $t$ es el tiempo en minutos.
(a) Hallar la temperatura del café transcurridos 16 minutos.
(b) Escribir la ecuación de la asíntota horizontal del gráfico de $T$ .
(c) Escribir la temperatura ambiente a la cual llegará la taza de café.
(d) Sabiendo que $50 = T(k)$ , hallar el valor de $k$ .

Un deportista golpea una bola en un campo horizontal.
La altura de la bola ( $f(x)$ en metros) se modeliza mediante: $f(x) = ax^2 + bx + c$ , donde $x$ es la distancia horizontal en metros.
La cámara detecta que la bola pasa por los puntos: $(3; 2.36)$ , $(10; 5)$ y $(17; 7.16)$ .
(a) Utilizar las coordenadas $(3; 2.36)$ para escribir una ecuación en función de $a$ , $b$ y $c$ .
(b) Utilizar la respuesta en (a) y dos ecuaciones similares para hallar la ecuación del modelo cuadrático.
(c) Mostrar que el modelo predice que la bola pasará por encima de una valla de 4 metros de altura situada a 80 metros del jugador.
(d) Hallar la distancia horizontal que recorrerá la bola hasta que toque el suelo, según este modelo.

Sergio quiere averiguar si la preferencia de fruta del bosque en el desayuno depende del nivel de ingresos.
Obtiene datos de 341 adultos y realiza una prueba χ² con un nivel de significación del 10%.
(a) Escribir la hipótesis nula.
(b) Hallar el valor del estadístico $χ²$ y el p-valor.
(c) Escribir la conclusión a la que llega Sergio, justificando la respuesta. El valor crítico es 7.78.

Xavier estudia la relación entre el precio de un apartamento ( $y$ ) y su distancia ( $x$ ) al centro de Melbourne.
Toma una muestra de seis apartamentos típicos.
(a) Escribir el valor del coeficiente de correlación rango de Spearman, $r_s$ .
(b.i) Hallar el coeficiente de correlación producto-momento de Pearson, $r$ .
(b.ii) Indicar cuál de las dos opciones describe mejor la correlación entre las variables.
La relación se modeliza mediante la ecuación de regresión: $y = ax + b$
(c.i) Escribir el valor de $a$ .
(c.ii) Escribir el valor de $b$ .
(c.iii) Indicar qué representa el valor de $b$ en el contexto.
(d) Estimar el precio de un apartamento a 19.6 km del centro, usando la ecuación de regresión.

20,000 expatriados responden a una encuesta sobre los mejores países para vivir.
Se compara con el Informe sobre la Felicidad en el Mundo 2022.
(a.i) Hallar el Q3 (tercer cuartil) para la puntuación de felicidad.
(a.ii) Hallar el rango intercuartílico.
(b) Demostrar que la puntuación de felicidad de Suiza no es un valor atípico.
(c.i) Escribe el valor de 𝑎
(c.ii) Escribe el valor de 𝑏
(c.iii) Escribe el valor de 𝑐
(d.i) Hallar $r_s$ (coeficiente de correlación de Spearman).
(d.ii) Explicar por qué el valor de $r_s$ no cambia si la puntuación de felicidad de Francia cambia a 6.9.
(e) Razonar si la conclusión de José (altos índices de felicidad implican ser un país favorito para expatriados) es adecuada.

Thurston investiga si los artistas musicales más populares venden más discos.
Recopila datos sobre el número de seguidores en redes sociales y las ventas de álbumes en la primera semana para ocho artistas.
(a) Completar la Tabla 2 (no proporcionada en el extracto).
(b) Calcular el valor del coeficiente de correlación rango de Spearman, $r_s$ .
(c) Escribir la hipótesis alternativa de Thurston.
(d) Indicar la conclusión de la prueba de hipótesis, justificándola. El valor crítico de $r_s$ es 0.643 y el nivel de significación es del 10%.

Se registra la velocidad ( $s$ en m/s) y la distancia de frenado ( $d$ en m) de un camión.
Modelo A: $d(s) = ps^2 + qs$ , donde $p, q ∈ ℤ$
(a.i) Escribir una segunda ecuación para representar el Modelo A cuando $s = 10$ m/s (se da una ecuación para $s = 6$ m/s).
(a.ii) Hallar los valores de $p$ y $q$ .
(b) Hallar las coordenadas del vértice de la gráfica $y = d(s)$ .
(c) Dibujar la gráfica de $y = d(s)$ para $0 ≤ s ≤ 10$ y $-10 ≤ d ≤ 60$ , mostrando el vértice.
(d) Identificar por qué el Modelo A puede no ser apropiado a velocidades más bajas.
Modelo B: $d(s) = 0.95s^2 - 3.92s$
(e) Calcular una estimación de la distancia de frenado a $s = 20$ m/s usando el Modelo B.

Un fabricante afirma que para un dado novedoso, las probabilidades de los números 1 a 5 son iguales, y la probabilidad de 6 es el doble.
(a) Hallar la probabilidad de sacar un seis.
(b) Hallar la probabilidad de sacar más de 2 seises al tirar el dado 5 veces.
(c.i) Calcular la frecuencia esperada para cada número si la afirmación del fabricante es cierta.
(c.ii) Anotar las hipótesis nula y alternativa.
(c.iii) Indicar los grados de libertad de la prueba.
(c.iv) Determinar la conclusión de la prueba, justificando la respuesta. Se utiliza una prueba de bondad de ajuste χ² con un nivel de significancia del 5%.