Fundamentos de Matemática Elementar - Volume 2: Logaritmos (Notas de Estudo Completas)

Capítulo I — Potências e Raízes

• Definição de Potência de Expoente Natural: Seja $a$ um número real e $n$ um número natural. Potência de base $a$ e expoente $n$ é o número $a^n$ tal que:
  • $a^0 = 1$, para $a \neq 0$;
  • $a^n = a^{n-1} \cdot a$, para todo $n \geq 1$.
• Decorre da Definição:
  • $a^1 = a^0 \cdot a = 1 \cdot a = a$
  • $a^2 = a^1 \cdot a = a \cdot a$
  • $a^3 = a^2 \cdot a = (a \cdot a) \cdot a$
  • Para $p$ natural e $p \geq 2$, $a^p$ é o produto de $p$ fatores iguais a $a$.
• Exemplos Notáveis:
  • $3^0 = 1$;
  • $(-2)^0 = 1$;
  • $(0,1)^5 = -0,00001$;
  • $0^3 = 0$;
  • $0^1 = 0$.
• Propriedades das Potências ($P$) (para $a \in \mathbb{R}$, $b \in \mathbb{R}$, $m \in \mathbb{N}$, $n \in \mathbb{N}$, com $a \neq 0$ ou $n \neq 0$):
  • [P1] $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  • [P2] $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, com $a \neq 0$ e $m \geq n$
  • [P3] $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, com $b \neq 0$ ou $n \neq 0$
  • [P4] $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, para $b \neq 0$
  • [P5] $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Influência da Base $a$ no Resultado:
  • 1º Caso ($a = 0$): $0^n = 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 1$.
  • 2º Caso ($a > 0$): $a^n > 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
  • 3º Caso ($a < 0$): $a^{2n} > 0$ (expoente par resulta em positivo) e $a^{2n+1} < 0$ (expoente ímpar resulta em negativo) para todo $n \in \mathbb{N}$.
• Definição de Potência de Expoente Inteiro Negativo: Dado um número real $a$ não nulo e $n$ natural, define-se $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. A potência de base real não nula e expoente negativo é o inverso da potência correspondente de expoente positivo. Exemplo: $2^{-3} = \frac{1}{8}$; $(\frac{2}{3})^{-2} = \frac{9}{4}$.
• Símbolo sem Significado: Se $a = 0$ e $n \in \mathbb{N}^*$, o símbolo $0^{-n}$ não possui significado matemático.
• Raiz Enésima Aritmética: Dado um número real $a \geq 0$ e um número natural $n \geq 1$, existe sempre um número real positivo ou nulo $b$ tal que $b^n = a$. Este $b$ é a raiz enésima aritmética, denotada por $\sqrt[n]{a}$. Exemplos: $\sqrt[5]{32} = 2$; $\sqrt[3]{8} = 2$.
• Observação de Radicais e Sinais: $\sqrt{36} = 6$ (e não $\pm 6$). Entretanto, $\sqrt{a^2} = |a|$. Portanto, $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.
• Propriedades de Radicais: Se $a, b \in \mathbb{R}_+$, $m \in \mathbb{Z}$, $n, p \in \mathbb{N}^*$:
  • [R1] $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$
  • [R2] $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
  • [R3] $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
  • [R4] $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
  • [R5] $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[p \cdot n]{a}$
• Potência de Expoente Racional: Se $a \in \mathbb{R}^*_+$ e $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ ($q \in \mathbb{N}^*$), define-se $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.
• Potência de Expoente Irracional: Construída como o limite de potências de expoentes racionais que se aproximam do valor irracional $\alpha$. Exemplo: $3^{\sqrt{2}}$.
• Potência de Expoente Real: Para $a > 0$, define-se $a^b$ para qualquer $b \in \mathbb{R}$, mantendo as propriedades (P1 a P5).

Capítulo II — Função Exponencial

• Definição: Dado um número real $a$ tal que $0 < a \neq 1$, a função exponencial de base $a$ é a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que associa cada $x$ real ao número $a^x$.
• Propriedades Atributivas:
  • O par ordenado $(0, 1)$ sempre pertence à função, ou seja, o gráfico sempre corta o eixo $y$ em $1$.
  • Crescimento/Decrescimento: A função é crescente se $a > 1$ e decrescente se $0 < a < 1$.
  • Injetividade: A função é injetora; se $x_1 \neq x_2$, então $a^{x_1} \neq a^{x_2}$.
• Imagem: O conjunto imagem da função exponencial é $Im = \mathbb{R}^*_+$, significando que $a^x$ é sempre estritamente positivo.
• Aspectos Gráficos:
  • A curva está totalmente acima do eixo $x$.
  • O eixo $x$ é uma assíntota horizontal.
• O Número $e$: Definido por $e = \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$. Valor aproximado: $e \approx 2,7183$.
• Equações Exponenciais: Equações com incógnita no expoente. O método principal é a redução a uma base comum: $a^b = a^c \iff b = c$ ($0 < a \neq 1$).
• Inequações Exponenciais:
  • Se $a > 1$, mantém-se o sentido da desigualdade: $a^b > a^c \iff b > c$.
  • Se $0 < a < 1$, inverte-se o sentido da desigualdade: $a^b > a^c \iff b < c$.

Capítulo III — Logaritmos

• Conceito e Definição: Sendo $a$ e $b$ números reais positivos e $a \neq 1$, o logaritmo de $b$ na base $a$ é o expoente $x$ tal que $a^x = b$. Símbolo: $\log_a b = x \iff a^x = b$.
  • $a$: base do logaritmo.
  • $b$: logaritmando.
  • $x$: logaritmo.
• Antilogaritmo: Se $\log_a b = x$, então $b$ é o antilogaritmo de $x$ na base $a$. Símbolo: $b = antilog_a x$.
• Consequências Imediatas da Definição:
  • $\log_a 1 = 0$.
  • $\log_a a = 1$.
  • $a^{\log_a b} = b$.
  • $\log_a b = \log_a c \iff b = c$.
• Sistemas de Logaritmos Importantes:
  • Sistema de Logaritmos Decimais: Base $10$, também conhecidos como logaritmos de Briggs. Notação: $\log_{10} x$ ou apenas $\log x$.
  • Sistema de Logaritmos Neperianos: Base $e$ ($2,71828...$), também chamados de logaritmos naturais. Notação: $\log_e x$ ou $ln(x)$.
• Propriedades Operatórias:
  • Logaritmo do Produto: $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$.
  • Logaritmo do Quociente: $\log_a (\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$.
  • Cologaritmo: $colog_a b = -\log_a b = \log_a (\frac{1}{b})$.
  • Logaritmo da Potência: $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$.
  • Logaritmo da Raiz: $\log_a \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_a b$.
• Mudança de Base: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Consequências: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ e $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$.

Capítulo IV — Função Logarítmica

• Definição: Dado $a \in \mathbb{R}$ ($0 < a \neq 1$), a função logarítmica é $f: \mathbb{R}^*_+ \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \log_a x$.
• Relação com a Exponencial: As funções $f(x) = \log_a x$ e $g(x) = a^x$ são inversas uma da outra. Isso implica que:
  • $f(g(x)) = \log_a a^x = x$
  • $g(f(x)) = a^{\log_a x} = x$
• Propriedades:
  • É crescente se $a > 1$ e decrescente se $0 < a < 1$.
  • A imagem é $Im = \mathbb{R}$.
  • O domínio é $D = \mathbb{R}^*_+$, ou seja, o logaritmando deve ser sempre maior que zero.
• Gráfico:
  • Está todo à direita do eixo $y$.
  • Corta o eixo $x$ no ponto de abscissa $1$.
  • É simétrico ao gráfico da função exponencial correspondente em relação à reta $y = x$.

Capítulo VII — Logaritmos Decimais

• Representação: Todo logaritmo decimal pode ser expresso como a soma de um número inteiro $c$ (característica) e um decimal $m$ ($0 \leq m < 1$, mantissa). $\log x = c + m$.
• Regras da Característica:
  • Regra I ($x > 1$): A característica é igual ao número de algarismos da parte inteira de $x$ menos $1$. Ex: $\log 314,2$ tem característica $2$.
  • Regra II ($0 < x < 1$): A característica é o oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. Ex: $\log 0,00405$ tem característica $-3$.
• Mantissa: Obtida através de tábuas de logaritmos. Propriedade fundamental: A mantissa de $\log x$ não se altera se $x$ for multiplicado por uma potência de $10$ de expoente inteiro. Isso significa que números com os mesmos algarismos em ordens diferentes (apenas mudando a vírgula) possuem a mesma mantissa.
• Forma Mista: Usada para logaritmos de números entre $0$ e $1$. Exemplo: $\log 0,042 = \bar{2},6232$, onde o traço sobre o $2$ indica que apenas a característica é negativa.
• Interpolação Linear: Processo de aproximação para determinar logaritmos de números com mais algarismos do que o previsto na tábua, assumindo que a variação da função logarítmica é aproximadamente linear em pequenos intervalos.

Contexto Histórico e Leituras

• Stifel, Bürgi e a Criação: Michael Stifel (1544) publicou a Arithmetica integra, onde apareceu o triângulo aritmético e a associação entre PG e PA, embrião dos logaritmos. Joost Bürgi contribuiu independentemente por volta de 1610, chamando os valores de números negros (PG) e vermelhos (PA).
• John Napier (1550-1617): Publicou Mirifice logarithmorum canonis descriptio em 1614. Criou o termo "logaritmo" (logos + arithmos = razão + número). Napier utilizou uma abordagem geométrica e cinemática para definir logaritmos, visando facilitar cálculos astronômicos e de navegação.
• Joseph-Louis Lagrange (1736-1813): Conhecido como a "grande pirâmide da Matemática", contribuiu para a análise, álgebra e mecânica analítica. Lagrange aprimorou o conceito de função derivada e rigor matemático.
• Carl Friedrich Gauss (1777-1855): O "príncipe dos matemáticos", prodígio desde os 10 anos (soma de 1 a 100). Suas contribuições vão da teoria dos números (Disquisitiones arithmeticae) à astronomia (cálculo da órbita de Ceres) e geodésia. Publicou tábuas de logaritmos em 1812 para fins de navegação.
• Charles Babbage (1792-1871): Idealizou a "máquina diferencial" e a "máquina analítica", preceptoras do computador moderno. Seu objetivo era automatizar a criação de tábuas logarítmicas e trigonométricas para eliminar erros humanos.