Vektorprojektion

Plan for i dag

• Tavlegennemgang og opgaver: Vektorprojektion
• Bevis for projektionsformel

Projektion af en vektor på en vektor

• Ved vektorprojektion nedfældes en egentlig vektor vinkelret på en anden egentlig vektor.
• Konstruktionen foretages lettest ved at:
  • Først tegne de to vektorer med samme begyndelsespunkt.
  • Derefter projicere den ene vektors slutpunkt vinkelret på den anden vektor.
• I figurene projiceres vektoren b på vektoren ā, og resultatet er vektoren ba, vist med rødt.
• Denne vektor kaldes for b's projektion på ā.
• De relevante vinkler mellem vektorerne:
  • Spids vinkel mellem ā og b
  • Stump vinkel mellem ā og b

Eksempler på projektion

• Vinkler og deres relationer mellem vektorerne a og b.

Opgave 1

• Tegn a's projektion på b.
• Tegn b's projektion på ā.

Opgave 2

(i) givne værdier:

• a = (3)
• b = (-5, -9)
• a. Tegn ā og b fra samme startpunkt og tegn a's projektion på b.
• b. Tegn ā og b fra samme startpunkt og tegn b's projektion på ā.

Udregning af koordinater

• Projektionen ã, af en vektor à på en vektor b kan beregnes:
  • $ext{Proj}_{b}(a) = \frac{a \bullet b}{\boldsymbol{b} \bullet \boldsymbol{b}} \boldsymbol{b}$
• Eksempel på beregning:
  1. $a_1 = …$
  2. $b^2 = (3) \bullet (y) = 24 + 50 = 8$
  3. $|b| = ext{√}(b<em>x^2 + b</em>y^2) = ext{√}(4^2 + 0^2) = ext{√}(16) = 4$

Opgave 1

• To vektorer givet ved:
  • ā = (2)
  • b = (2).
• Bestem koordinaterne til projektionen af ā på b:
  • $a \bullet b = (2) \bullet (3)$
  • $b = ext{√}(2^2 + 1^2)$
  • Resultaterne vises.

Opgave 2

• To vektorer givet ved:
  • ā = (3)
  • b = (4).
• Bestem koordinaterne til b:
• Beregningerne laves på følgende måde.

Opgave 3

• To vektorer givet ved:
  • ā = (2)
  • b = (23).
• Bestem koordinaterne til projektionen:
• Beregningen er givet ved: $\frac{(2)(3)}{√(2^2 + 3^2)}$

Opgave 4

• Fire punkter givet ved:
  • A(0, 0)
  • B(3, 2)
  • C(1, 1)
  • D(4, 1).
• Bestem koordinaterne til vektor AB, CD.

Opgave 5

• Fire punkter givet ved:
  • A(0, 1)
  • B(2, 2)
  • C(1, 0)
  • D(4, 2).
• Bestem koordinaterne til vektor CD.
• Beregn AB vektor: $AB = (2-0) = (2)$
• Generel opgave med transport af data: $AB = √(3^2 - 4^2)$