Mathe

2.5.4 Betriebsoptimum, Preisuntergrenzen und Kostenfunktionen

Gesamtkosten

  • Gesamtkosten eines polypolischen Betriebes:

    • K(x) = -x³ + 9x² + 30x + 25

    • Gültiger Bereich: Dok(K) = [0; 8]

    • Produktionsmenge (x) wird in ME (Mengeneinheit) und Gesamtkosten (K) in GE (Geld Einheiten) angegeben.

Aufgabe a: Stückkosten, variable Stückkosten und Grenzkosten

  • Stückkosten:

    • k(x) = K(x) / x = (-x³ + 9x² + 30x + 25) / x

  • Variable Stückkosten:

    • Ky(x) ist die Kostenfunktion ohne fixe Kosten.

    • Ky(x) = K(x) - Fixkosten

  • Grenzkosten:

    • K'(x) = d(K(x))/dx = -3x² + 18x + 30

Aufgabe b: Diskussion und Graphen

  • Analyse der Funktionen:

    • Stückkosten: zeigen bei extremen Werten das Verhalten der Kosten.

    • Grenzkosten schneiden die Stückkosten und variablen Stückkosten in ihren Minimumpunkten.

  • Graphen:

    • Die Graphen der Funktionen müssen in ein gemeinsames Koordinatensystem eingekreuzt werden.

Aufgabe c: Schnittpunkte der Funktionen

  • Grenzkostenfunktion (K') schneidet die anderen Graphen in tiefsten Punkten.

  • Berechnung der Koordinaten dieser Punkte:

      1. Möglichkeit: Schnittpunktberechnung mittels Setzen der Funktionen gleich.

      1. Möglichkeit: Berechnung der Tiefpunkte durch Ableitungen (K'(x) = 0).

2.5.5 Differenzialrechnung und Marktbedingungen

Polypol-Marktform

  • Definition: In einer Marktform Polypol gibt es viele Anbieter und viele Nachfrager.

  • Ein Anbieter hat keinen Einfluss auf den Marktpreis, sondern ist Mengenanpasser.

Gewinnmaximierung

  • Gewinn G(x) ist definiert als G(x) = E(x) - K(x)

    • E(x): Erlösfunktion, E'(x) = p (Marktpreis).

  • Bedingung für maximale Gewinne:

    • G‘(x) = E‘(x) - K‘(x) = 0

    • Dies ergibt den Punkt, an dem Marktpreis gleich Grenzkosten ist: P = K‘(x).

2.5 Funktionsanalyse der Preisuntergrenzen

Langfristige und kurzfristige Preisuntergrenze

  • Betriebsoptimum: Punkt, an dem Stückkosten minimal sind.

  • Langfristige Preisuntergrenze (PLPU): Preis, bei dem Stückkosten gedeckt sind, sodass der Stückgewinn gleich 0 ist.

  • Kurzfristige Preisuntergrenze (PKPU): Preis, bei dem nur die variablen Kosten gedeckt sind; eine kurzfristige Möglichkeit.

Marktpreise und deren Auswirkungen

  • Produktionsmenge und Marktpreise:

    • Wenn der Marktpreis über dem Stückkosten liegt, generiert der Polypol-Anbieter Gewinn.

    • Bei Preisen entsprechend PLPU (z.B. P2) sind die Kosten gedeckt.

    • Bei Preisen unterhalb PLPU (z.B. P3), werden Kosten nicht mehr gedeckt; Betrieb macht Verluste.

Interpretation der abgebildeten Punkte

Beispiel P(5,38/20)

  • Bei einem Marktpreis von p = 20 GE/ME:

    • Polypolist bietet 5,38 ME an um Gewinn zu maximieren.

Beispiel Tk (5/15)

  • Produktionsmenge x = 5 ME:

    • Minimale Stückkosten betragen 15 GE/ME, was der langfristigen Preisuntergrenze entspricht.

Beispiel Tk (4,5/9,75)

  • Bei x = 4,5 ME:

    • Stückkosten betragen 9,75 GE/ME, jedoch nur kurzfristig tragbar, da die variablen Kosten gedeckt werden.

2.5.6 Beispiele zur Funktionsanalyse

Übungsaufgaben

  • Beispiel für einen polypolistischen Betrieb:

    • Gesamtkostengleichung K(x) = 0,01x³ - 9x² + 3000x + 250000

    • Betriebsoptimum und Preisuntergrenzen bestimmen, um Verhalten bei unterschiedlichem Marktverhalten zu analysieren.

  • Die Produktion von Gütern muss auf der Grundlage des Marktes kontinuierlich evaluiert werden.