Wes-Kaap Onderwysdepartement Graad 10 Wiskunde Kwartaal 2 Hersieningsgids

Trigonometrie - Basiese Verhoudings en Definisies

• Definisies van Trigonometriese Verhoudings in Reghoekige Driehoeke:

  • Die sinus van hoek $\theta$ word gedefinieer as die verhouding $\frac{\text{teenoorstaande aan } \theta}{\text{skuinssy}}$. Dit word geskryf as $\sin(\theta) = \frac{t}{s}$.
  • Die kosinus van hoek $\theta$ word gedefinieer as die verhouding $\frac{\text{aangrensend aan } \theta}{\text{skuinssy}}$. Dit word geskryf as $\cos(\theta) = \frac{a}{s}$.
  • Die tangens van hoek $\theta$ word gedefinieer as die verhouding $\frac{\text{teenoorstaande aan } \theta}{\text{aangrensend aan } \theta}$. Dit word geskryf as $\tan(\theta) = \frac{t}{a}$.

• Resiproke Verhoudings (Omgekeerdes):

  • Kotangens (cot): Die verhouding $\frac{\text{aangrensend aan } \theta}{\text{teenoorstaande aan } \theta}$. Formule: $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$.
  • Sekans (sec): Die verhouding $\frac{\text{skuinssy}}{\text{aangrensend aan } \theta}$. Formule: $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$.
  • Kosekans (cosec): Die verhouding $\frac{\text{skuinssy}}{\text{teenoorstaande aan } \theta}$. Formule: $\text{cosec}(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$.

• Spesiale Hoeke en Driehoeke:

  • $45^\circ$ Driehoek:
    • $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
    • $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
    • $\tan(45^\circ) = \frac{1}{1} = 1$
  • $30^\circ / 60^\circ$ Driehoek (Sye is $1, \sqrt{3}, 2$):
    • $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$
    • $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
  • $0^\circ / 90^\circ$ Verhoudings:
    • $\sin(0^\circ) = 0$, $\cos(0^\circ) = 1$, $\tan(0^\circ) = 0$
    • $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\tan(90^\circ) = \text{ongedefinieerd}$

• Algemene Reëls en Pythagoras:

  • In enige reghoekige $\Delta ABC$ met $\hat{C} = 90^\circ$ geld die stelling van Pythagoras: $c^2 = a^2 + b^2$.
  • Hoeke word dikwels aangedui met Griekse letters soos $\theta$, $\alpha$, of $\beta$.
  • $\theta$ en $(90^\circ - \theta)$ is komplementêre hoeke.

Trigonometrie in die Cartesiese Vlak

• Kwadrante en Hoekmeting:

  • Die vlak word verdeel in vier kwadrante met intervalle van $90^\circ$.
  • Hoeke word antikloksgewys gemeet vanaf die positiewe horisontale as ($0^\circ$).
    • 1ste Kwadrant: $0^\circ$ tot $90^\circ$.
    • 2de Kwadrant: $90^\circ$ tot $180^\circ$.
    • 3de Kwadrant: $180^\circ$ tot $270^\circ$.
    • 4de Kwadrant: $270^\circ$ tot $360^\circ$.
  • Negatiewe hoeke word kloksgewys gemeet.

• Definisies in terme van $x$, $y$, en $r$:

  • Beskou 'n punt $R(x; y)$ met radius $r$ vanaf die oorsprong: $r^2 = x^2 + y^2$.
  • $\sin(\theta) = \frac{y}{r}$
  • $\cos(\theta) = \frac{x}{r}$
  • $\tan(\theta) = \frac{y}{x}$

• Die CAST-diagram (All Stations To Capetown):

  • Hierdie diagram bepaal watter verhoudings positief is in elke kwadrant:
    • A (Kwadrant I): Alle verhoudings ($\sin, \cos, \tan$) is positief.
    • S (Kwadrant II): Slegs $\sin$ is positief.
    • T (Kwadrant III): Slegs $\tan$ is positief.
    • C (Kwadrant IV): Slegs $\cos$ is positief.

Trigonometriese Grafieke

• Sinu-grafiek ($y = \sin(x)$):

  • Amplitude: $1$ (maksimum hoogte vanaf die $x$-as).
  • Periode: $360^\circ$ (een volledige siklus).
  • Terrein (Waardeversameling): $y \in [-1; 1]$.
  • Gebied: $x \in [0^\circ; 360^\circ]$ (of soos gespesifiseer).

• Kosinus-grafiek ($y = \cos(x)$):

  • Amplitude: $1$.
  • Periode: $360^\circ$.
  • Terrein: $y \in [-1; 1]$.

• Tangens-grafiek ($y = \tan(x)$):

  • Periode: $180^\circ$.
  • Asimptote: Lyne wat die grafiek nooit raak nie, geleë by $x = 90^\circ + k \times 180^\circ$ (waar $k$ 'n heelgetal is).
  • Terrein: $y \in (-\infty; \infty)$.

• Effek van Parameters $a$ en $q$ op $y = a \sin(x) + q$:

  • $a$ (Vertikale rek): Beïnvloed die amplitude. As $a < 0$, word die grafiek gereflekteer in die $x$-as.
  • $q$ (Vertikale skuif): Skuif die grafiek opwaarts ($q > 0$) of afwaarts ($q < 0$).

Analitiese Meetkunde

• Gradiënt van 'n Lyn ($m$):

  • Formule: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
  • Parallelle lyne: Gradiënte is gelyk ($m_1 = m_2$).
  • Loodregte lyne: Produk van gradiënte is $-1$ ($m_1 \times m_2 = -1$).
  • Kolineêre punte: Punte wat op dieselfde reguit lyn lê het dieselfde gradiënt tussen enige twee punte.

• Eienskappe van Vierhoeke:

  • Parallelogram: Teenoorstaande sye is parallel en gelyk; teenoorstaande hoeke is gelyk; hoeklyne halveer mekaar.
  • Ruit (Rhombus): Alle sye is gelyk; hoeklyne halveer mekaar loodreg ($90^\circ$) en halveer binnehoeke.
  • Reghoek: Parallelogram met hoeke van $90^\circ$; hoeklyne is gelyk en halveer mekaar.
  • Vierkant: Reghoek met alle sye gelyk; hoeklyne is gelyk en halveer mekaar loodreg.
  • Vlieër: Twee pare aanliggende sye gelyk; hoeklyne sny loodreg; een hoeklyn word halveer deur die ander.
  • Trapesium: Een paar teenoorstaande sye is parallel.

Getalpatrone

• Lineêre Patrone:
  • Gekenmerk deur 'n konstante verskil ($d$) tussen opeenvolgende terme.
  • Algemene term ($T_n$) kan dikwels geskryf word as $T_n = a + (n - 1)d$.
• Algemene Formules vir Spesifieke Reekse:
  • Veelvoude van $2$: $T_n = 2n$.
  • Ewe getalle: $T_n = 2n$.
  • Onewe getalle: $T_n = 2n - 1$.
  • Vierkante van getalle: $T_n = n^2$.
  • Derdemagte van getalle: $T_n = n^3$.
  • Magte van $2$: $T_n = 2^n$.

Algebraïese Funksies

• Parabool ($y = ax^2 + q$):

  • Vorm: 'Smiley face' (konkaaf opwaarts) as $a > 0$; 'Sad face' (konkaaf afwaarts) as $a < 0$.
  • Draaipunt: Gelyk aan $(0; q)$.
  • Asimmetriese as: Die $y$-as ($x = 0$).
  • $q$: Bepaal die vertikale skuif vanaf die oorsprong.

• Hiperbool ($y = \frac{a}{x} + q$):

  • Asimptote: Die vertikale asimptoot is $x = 0$; die horisontale asimptoot is $y = q$.
  • Kwadrante: As $a > 0$, lê die grafiek in Kwadrant 1 en 3; as $a < 0$, lê dit in Kwadrant 2 en 4.
  • Gebied: $x \in \mathbb{R}, x \neq 0$.
  • Terrein: $y \in \mathbb{R}, y \neq q$.

• Eksponensiële Funksie ($y = a \cdot b^x + q$):

  • Asimptoot: Die horisontale lyn $y = q$.
  • Vorm:
    • Stygend as $b > 1$.
    • Dalend as $0 < b < 1$.
  • $a$: Beïnvloed die steilte en rigting (refleksie as $a < 0$).

Vrae en Oefeninge Wisselwerking

• Vraag oor 4 cot 𝜃 + 3 = 0: Vereis die skryf van die vergelyking in standaardvorm ($\cot(\theta) = -\frac{3}{4}$), identifisering van die kwadrant (gegewe $0^\circ < \theta < 180^\circ$, dus Kwadrant 2), en gebruik van Pythagoras om $x, y, r$ te vind.
• Vraag oor Vierhoeke (PQRS): Sluit punte $P(7; 4)$, $Q(6; 6)$, $R(0; 3)$ in. Gebruik afstandformule ($d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$) en die middelpuntformule om sye en hoekpunte te analiseer.
• Vraag oor Teëls: Patrone met donker ($D$) en ligte ($L$) teëls. Vereis die afleiding van 'n algemene formule vir $D_n$ en $L_n$ gebaseer op die rangskikking in die diagramme.