Unidad-V-Metodo-Matriz-Inversa

Matriz Inversa por Determinantes

Definición de Matriz Inversa

  • Sea A una matriz cuadrada no singular: |A| ≠ 0.

  • La matriz inversa A⁻¹ es tal que:

    • A * A⁻¹ = I, donde I es la matriz identidad.

  • La matriz inversa se calcula siguiendo pasos específicos.

Cálculo de la Inversa

Ejemplo 4.2.1: Calculo de la Inversa

  1. Verificar que el determinante de A es diferente de 0. Si |A| = 0, A no es invertible.

  • Dado |A| ≠ 0, se concluye que A es invertible.

  1. Calcular Adj(A):

    • La fórmula para calcular el adjunto de aij es:

      • aij = (-1)^(i+j) * (menor complementario de aij).

Cálculo del Menor Complementario

  • El menor complementario se obtiene eliminando la fila i y la columna j de A.

  • Se procederá a calcular Adj(A) de acuerdo a lo mencionado antes.

Transposición de la Matriz

  • La transposición se realiza cambiando filas por columnas:

    • La fila 1 se convierte en la columna 1 y así sucesivamente.

Multiplicación por el Determinante

Ejemplo 4.2.2: Encontrar la Inversa

  1. Calcular el determinante usando la regla de Sarrus para una matriz 3x3.

Cálculo del Determinante (Página 4)

  • |A| = || 2 3 -2 | | 1 4 1 | | 2 1 -3 |

  • Aplicando regla de Sarrus:

    • |A| = +(24(-3)) + (11(-2)) + (231) – (-242) – (112) – (-331)

    • |A| = -24 - 2 + 6 + 16 - 2 + 9 = 3

  • Dado que el determinante es diferente de 0, la matriz es invertible.

Hallar la Matriz Adjunta

  • Tras calcular el determinante, se procede a hallar Adj(A).

Transposición de la Matriz Adjunta

  • Realizar la trasposición de Adj(A) para continuar el cálculo de A⁻¹.

Sustitución de Valores para A⁻¹

  • Finalmente, se sustituyen los valores correspondientes en la fórmula para obtener la inversa de A.

Resolución de un Sistema de Ecuaciones con Matriz Inversa (Página 6)

Enfoque General

  1. Expresar un sistema de ecuaciones en forma matricial:

    • Se demuestra que esta representación matricial es equivalente al sistema de ecuaciones.

Nomenclatura para la Solución

  • Definir:

    • A: matriz de coeficientes de las incógnitas.

    • X: matriz columna con las incógnitas.

    • B: matriz columna con los términos independientes.

Propiedad Fundamental de Matrices Inversas

  • Cualquier matriz multiplicada por su inversa es igual a la matriz identidad I.

    Se despeja fácilmente la matriz incógnita al multiplicar ambos miembros por la inversa de A:

    A⁻¹AX = A⁻¹B

    • Esto lleva a: X = A⁻¹B

Aplicación Final

  • Al aplicar esta fórmula, se obtiene la solución del sistema de ecuaciones.