Untitled

MECHANIKA KWANTOWA

Związek de Broglie'a

• Przyjęto: $p = rac{h}{ au}$

• Wyraża się przez liczbę falową $k = rac{2 ext{π}}{ au}$

• Specjalne oznaczenie: $p = rac{h}{ au} = h k$

Cząstka poruszająca się wzdłuż osi x

• Długość fali cząstki: $au_0$

• Liczba falowa: $k_0 = rac{2 ext{π}}{ au_0}$

• Funkcja falowa:
    - Nie przyjmujemy formy $A ext{cos}(kx - vt)$
    - Przyjmujemy postać: $ext{e}^{i(kx - vt)}$

Zastosowanie zespolonej funkcji falowej

• Rozwiązuje trudności związane z równomiernym rozkładem prawdopodobieństwa na osi x.

• Z wzoru Eulera:
    - Część rzeczywista: $ext{Re}(A ext{cos}(kx - vt))$
    - Część urojona: $ext{Im}(A ext{sin}(kx - vt))$

• Jeżeli pęd cząstki ma określoną wartość:
    - Cząstkę można znaleźć z jednakowym prawdopodobieństwem w dowolnym punkcie przestrzeni.
    - Jeżeli pęd cząstki jest znany, nie wiadomo nic o jej położeniu.
  
  

Rozkład Gaussa

• Przykład funkcji falowej w chwili $t = 0$:
    - $ext{e}^{ikx}$
    - $ext{A} ext{e}^{- rac{x^2}{2 au^2}}$

• Rozkład prawdopodobieństwa:
    - $| ext{A} ext{e}^{- rac{x^2}{2 au^2}}|^2$

• Odchylenie średnio-kwadratowe:
    - $au$ (nieokreśloność pozycji x)

• Tego typu funkcja nazywana jest paczką falową.

Złożenie fal monochromatycznych

• Paczkę falową w czasie $t = 0$ można przedstawić jako superpozycję fal monochromatycznych:
    - $ext{e}^{ikx}$
    - $ext{B} ext{e}^{-x^2 / 2<br>ho^2}$
    - $ext{cR} rac{x}{ ext{L}} o ext{e}^{ikx}$

• Przechodzimy od sumowania do całkowania: $rac{1}{<br>ho^2} ext{d}k ext{e}^{ikx}$

• Z tożsamości matematycznej:
    - $rac{1}{<br>ho^2} = ext{e}^{ikx}$

Zasada nieoznaczoności

• Cechuje paczkę falową: $ext{σ}_x ext{σ}_p ext{≥} rac{h}{2}$

• Im mniejsza paczka falowa $ext{σ}_x$ tym szerszy rozkład $ext{σ}_p$

• Prawdopodobieństwo wartości pędu opisane funkcją: $B(p) = ext{exp}\bigg(- rac{p^2}{2 ext{σ}_p^2}\bigg)$
  
  

Rozkład Gaussa

• $B(p)$:
    - Skoro $ext{σ}_x ext{σ}_p ext{≥} rac{h}{2}$

• Zasada nieoznaczoności uwidacznia, że
    - Jeżeli cząstka jest zlokalizowana w przestrzeni z $σ_x$, jej pęd charakteryzuje się rozkładem.

• Im dokładniej znamy położenie cząstki, tym mniej o jej pędzie.

• Jednakowe $p = 0$ dla spoczywającej cząstki

Mikroskopia - niepewność

• Przy obserwacji cząstki dokładność położenia związana z długością fali; x < 0

• $p = 0$ sugeruję: $x_p = 0$

• Zasada nieoznaczoności w świetle:
    - $E = p= rac{h}{ ext{λ}}$

Prędkość paczki falowej

• Propagacja paczki falowej z prędkością grupową: $v_g = rac{ ext{d}k}{m}$

• Dla $E = rac{p^2}{2m}$
    - $h = rac{E}{p} = rac{h^2}{m}$

Czas rozprzestrzeniania się paczki falowej

• Dla dwóch cząstek $v_g$: $t = h x$

• Na przykład $x_0 = 10^{-10} m$

• Po upływie 1 sekundy może rozproszyć się nawet na 1100 km.

• Zjawisko zjawisk kwantowych.

Cząstka w studni potencjału

• Cząstka odbijająca się od ścianki studni o długości L:
    $ext{e}^{-ikx} ext{e}^{it}$

• Zmiany funkcji falowej: $ext{e}^{-ikL} = 0$

• Liczby falowej: $kL = n ext{π}$

Stany energetyczne cząstek w studni

• $n$ to liczba całkowita; $p_n = rac{h}{L} ext{n}$

• Energia kinetyczna: $ext{E}_n = rac{p_n^2}{2m} = rac{h^2}{2mL} n^2$

• Najniższa możliwa energia: $rac{h^2}{2mL}$

• System stacyjny wewnętrzny.

Równanie Schrödingera

• Cząstce działają siły zewnętrzne z energią potencjalną $U(x)$.

• Równanie dla stanu stacjonarnego:

• $U(x) + rac{p^2}{2m} = E$

• Równanie Schrödingera: $ext{[U(x)]} rac{d^2 ext{Ψ}}{dx^2} + rac{ ext{dU}}{ ext{dx}} = 0$

• Rozwiązywanie stanu stacjonarnego wymaga funkcji……

Bariera potencjału i efekt tunelowy

• Elementarny przypadek skoku potencjału: E < U_o

• Dla zewnętrznej partii: $ext{A}_1 + ext{B}_1 = ext{A}_2$

• Równanie Schrödingera w efekcie tunelowym.

Oscylator harmoniczny

• Energia potencjalna: $U(x) = rac{1}{2}k x^2$

• Cząstka wykonuje drgania harmoniczne: $k = rac{2 ext{m}}{h}$

• Kwanty energii: $E_n = (n + rac{1}{2})h k$

• Po wielokrotnym przejściu, oscylator harmoniczny emituje: $h k$

Podsumowanie

• Oscylator kwantowy nie może mieć energii równej zeru; najniższa energia $ext{E}_{min}= rac{h}{2}k$ jest warunkiem nieoznaczoności.

• Wnioski kwantowe dotyczące woli.