Curs10-MAE
Universitatea Babeş-Bolyai
Curs 10: Variabile aleatoare
Matematici aplicate în economie
Prof. dr. Gabriela Olteanu
Cuprins
Variabile aleatoare de tip discret
Variabile aleatoare de tip continuu
1. Variabile aleatoare de tip discret
Definiție
O variabilă aleatoare dă expresia cantitativă a unui fenomen aleator.
Valorile nu sunt certe, ci luate cu o anumită probabilitate.
Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate.
Variabilă aleatoare reală
O aplicație X : Ω → R, cu proprietatea X(ω) < x. Este un eveniment în K.
Exemple
Exemplul 1
Variabila aleatoare X: suma punctelor la aruncarea a două zaruri.
M = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2. Variabile aleatoare de tip continuu
Definiție
O variabilă aleatoare de tip continuu are imaginea M un interval din R, deschis sau închis.
Functia de probabilitate
Fie X o variabilă aleatoare de tip discret. Funcția de probabilitate fX este definită astfel: fX(xi) = P(X = xi).
Sistemul de evenimente este complet și, astfel, ( \sum_{i} pi = 1 ).
Repartiția (distribuția)
Tabelul de repartizare a variabilei aleatoare X:
X: {xi pi}
Exemplul 2: Repartiția variabilei X definită anterior.
Repartițiile clasice: binomială, hipergeometrică, Poisson, geometrică.
Operații cu variabile aleatoare
Adunarea: C + X
Înmulțirea: C · X
Ridicarea la putere: X^k
Suma a două v.a.: X + Y
Produsul: X · Y
Funcția de repartitie
Definiție
FX(x) = P({X ≤ x}) este funcția de repartire asociată variabilei X.
Dacă X este variabila aleatoare discretă, FX(x) are salturi la punctele de discontinuitate.
Exemplu
F(x) definită pe baza distribuției variabilei aleatoare X.
Proprietăți ale funcției de repartitie
0 ≤ F(x) ≤ 1 pentru orice x în R
F este crescătoare pe R
Limitele funcției F(x) la infinit.
3. Variabile aleatoare de tip continuu
Definiție
O variabilă aleatoare X este de tip continuu dacă funcția sa de repartitie F este continuă
F(x) = ( \int_{-∞}^x f(t)dt ) unde f este funcția densitate de probabilitate.
Proprietăți
Funcția densitate de probabilitate f(x) trebuie să satisfacă:
f(x) ≥ 0
Integrala pe întregul domeniu este 1.
4. Media și Momentele
Definiție
Media: M(X) = ( \sum_{i} (xi · pi) ) pentru variabile discrete.
Momentele de ordin superior: (νk = M(Xk)).
Exemplu
Calculul mediei pentru v.a. discrete și continue.
5. Dispersia
Definiție
Dispersia D(X)= M((X - M(X))^2).
Proprietăți ale dispersiei:
D(X) ≥ 0
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2.
Exemple
Calculul dispersiei pentru variabilele X1 și X2.
6. Abaterea medie pătratică
Definiție
Abaterea medie pătratică σ(X) = √D(X).
7. Momente centrate de ordin superior
Definiție
Momentul central de ordin k se definește prin M((X - M(X))^k).
Concluzie
Înțelegerea variabilelor aleatoare este fundamentală în statistică și economie.
Sfârșit
Sărbători fericite!