Appendice matematica e utilità

### A3. La funzione di utilità

Se le preferenze del consumatore soddisfano il principio dell'ordinamento delle preferenze, queste possono essere rappresentate numericamente da una funzione matematica chiamata funzione di utilità, indicata con il simbolo U.

• Il dominio della funzione U è costituito dall'insieme C dei panieri di beni di consumo, mentre il suo codominio è l'insieme dei numeri reali R → U: C
  ightarrow R.

• Nel caso in cui i panieri contengano due soli beni (X e Y), i panieri sono rappresentati da coppie di numeri reali non negativi, cioè da elementi dell'insieme R. La funzione di utilità è quindi una funzione di due variabili definita da R² → R, cioè U: R^2
  ightarrow R. La funzione di utilità per panieri costituiti da due beni ha la forma U(X,Y).

A3.2 Derivate parziali e utilità marginali

• Nel caso di funzioni con due variabili, la derivata parziale rispetto a una variabile (ad esempio X) esprime la variazione della variabile dipendente (U) causata da una variazione infinitesimale della variabile indipendente, mantenendo fissa l'altra variabile (Y).

• Nel caso della funzione di utilità U(X,Y), la derivata parziale rispetto al bene X indicata come rac{∂U}{∂X}, esprime la variazione di utilità generata da una variazione infinitesimale della quantità consumata del bene X.

• Analogamente, la derivata parziale rispetto al bene Y è rac{∂U}{∂Y}, esprime la variazione di utilità generata da una variazione infinitesimale della quantità consumata del bene Y.

• Da un punto di vista matematico, l'utilità marginale di X non è altro che la derivata parziale della funzione di utilità U rispetto al bene X: MUX. L'utilità marginale di Y è MUY. A livello matematico:
  MUX = rac{∂U}{∂X} ext{ e } MUY = rac{∂U}{∂Y}.

A3.3 Calcolo delle derivate parziali

• La derivata parziale di una funzione rispetto a una certa variabile è ottenuta derivando la funzione rispetto alla variabile in questione e trattando le altre variabili come costanti.

• Per esempio, se la funzione di utilità ha equazione U(X,Y) = 4X + 3X^2 + Y - 2XY,

  • la derivata parziale rispetto a X è rac{∂U}{∂X} = 4 + 6XY.

  • Analogamente, la derivata parziale di U(X,Y) rispetto a Y è rac{∂U}{∂Y} = 1 - 2X.

• Consideriamo un altro esempio, con funzione di utilità data da U(X,Y) = 3X^2Y^3,

  • rac{∂U}{∂X} = 6XY^3

  • rac{∂U}{∂Y} = 9X^2Y^2.

A3.4 MRS come rapporto tra derivate parziali

• È stato dimostrato che il saggio marginale di sostituzione MRS è uguale al rapporto tra l'utilità marginale di X e l'utilità marginale di Y: $MRS = rac{MUX}{MUY}$.

• Da un punto di vista matematico, l'utilità marginale di X è data dalla derivata parziale della funzione U rispetto a X, cioè MUX = rac{∂U}{∂X}, e l'utilità marginale di Y è data dalla derivata parziale di U rispetto a Y, cioè MUY = rac{∂U}{∂Y}.

• Pertanto, l'MRS può essere trovato calcolando il rapporto tra le derivate parziali di U rispetto a X e Y: MRS = rac{MUX}{MUY}.

• Nel caso delle due funzioni di utilità considerate sopra, quando U(X,Y) = 4X + 3X^2 - 2XY, MRS è dato da: rac{4 + 6X - 2Y}{1 - 2X}

• Per U(X,Y) = 3X^2Y^3, MRS è rac{6XY^3}{9X^2Y^2}, cioè, con le opportune semplificazioni: MRS = rac{2Y}{3X}.

A3.5 Funzioni di utilità per beni perfetti sostituti

• Le funzioni di utilità per beni perfetti sostituti hanno la forma: U(X,Y) = AX + BY, dove A e B sono due numeri positivi.

• La derivata parziale di U rispetto a X, cioè l'utilità marginale di X, è costante e pari a A: rac{∂U}{∂X} = A.

• Analogamente, la derivata parziale di U rispetto a Y, cioè l'utilità marginale di Y, è costante e pari a B: rac{∂U}{∂Y} = B.

• Di conseguenza, anche l'MRS, che è dato dal rapporto tra le derivate parziali, è costante e pari a rac{A}{B}.

• Poiché l'MRS è pari all'opposto della pendenza delle curve di indifferenza, anche tale pendenza è costante e uguale a - rac{A}{B}.

• Geometricamente, la circostanza che l'MRS sia costante si esprime nel fatto che le curve di indifferenza dei beni perfetti sostituti sono lineari.

A3.6 Funzioni di utilità per beni perfetti complementi

• Le funzioni di utilità per beni perfetti complementi hanno la forma: U(X,Y) = ext{min}(AX,BY), dove min indica la funzione di minimo e A e B sono due numeri positivi.

• Per esempio, se X è il numero di telai di bicicletta e Y il numero di ruote disponibili, avremo U(X,Y) = ext{min}(X, rac{Y}{2}), dove min (X,Y) indica la quantità massima di biciclette che possono essere costruite con X telai e Y ruote, dato che ogni bicicletta richiede 1 telaio e 2 ruote.

A3.7 Funzioni di utilità Cobb-Douglas

• Introdotte dal matematico Charles Cobb e dall'economista Paul Douglas nel 1928, le funzioni di utilità della forma: U(X,Y) = AX^{ ext{a}}Y^{ ext{b}}.

• Le funzioni di utilità Cobb-Douglas sono ampiamente utilizzate in economia.

• Quando la funzione è Cobb-Douglas, la derivata parziale di U rispetto a X è data da: MUX = rac{∂U}{∂X} = A ext{a} imes Y^{ ext{b}} e per Y: MUY = rac{∂U}{∂Y} = A ext{b} imes X^{ ext{a-1}}.

• Da questa equazione si vede che all'aumentare di X (e al diminuire di Y), l'MRS decresce. Geometricamente, la circostanza che l'MRS decresca si esprime nel fatto che le curve di indifferenza corrispondenti a funzioni di utilità Cobb-Douglas sono convesse.

A4.

Vincoli, scelte e domanda

• Obiettivi di apprendimento:

  • Comprendere come il prezzo e il reddito influenzano la retta di bilancio di un consumatore, costruendo un modello complesso che dimostri l'interazione tra le variabili economiche.

  • Determinare la scelta ottima di un consumatore in base alle sue preferenze e alla sua retta di bilancio, analizzando le diverse tecniche di massimizzazione della utilità e come siano influenzate dai variabili esogene.

  • Capire come trovare la scelta ottima di un consumatore massimizzando una funzione di utilità, utilizzando metodi matematici e grafici per illustrare il comportamento del consumatore in vari scenari economici.

  • Analizzare gli effetti delle variazioni dei prezzi e del reddito sulla domanda di un consumatore, discutendo le reazioni diverse dei consumatori a variazioni temporanee e permanenti.

• Esempio di Fiat Panda:

  • La Fiat Panda, sebbene non possa essere considerata un'auto di lusso, ha avuto un notevole successo commerciale in Italia grazie al suo prezzo accessibile, ai costi di manutenzione contenuti e alla sua praticità. Questo serve come case study per comprendere le dinamiche del comportamento del consumatore.

  • Questo esempio illustra come i fattori economici, le campagne pubblicitarie e le preferenze individuali contribuiscano a formare la scelta di acquisto dei consumatori. La Fiat Panda attrae nella sua categoria utenti con un budget limitato, mostrando così l'importanza dell'equazione prezzo-valore.

  • Scelta dei consumatori: La scelta di un consumatore è caratterizzata da vincoli di budget e trade-off, dove razionalità e preferenze individuali devono adattarsi alle limitazioni economiche. Le decisioni non sono solo influenzate dal reddito e dai prezzi, ma anche dalle aspettative future e dalle esperienze pregresse.

A4.1 Panieri di consumo accessibili

• Un vincolo di bilancio definisce tutti i panieri di consumo accessibili a un consumatore in un dato intervallo di tempo. Ciò implica che un consumatore può utilizzare preferenze e disponibilità di reddito per decidere quali beni acquistare.

A4.1.1 Reddito, prezzi e retta di bilancio

• $M$ = Reddito disponibile per consumare beni.

• $P_z$ = prezzo unitario della zuppa.

• $P_p$ = prezzo unitario del pane.

• Il costo totale di ogni bene consumato è calcolato come $Pz * f(z) + Pp * f(p)$, dove $f(x)$ rappresenta le quantità effettive consumate dai beni.

• Il vincolo di bilancio consente al consumatore di identificare i panieri di consumo accessibili se il costo totale non supera il reddito disponibile, illustrando la frontiera di possibilità di consumo. In questo modo, il consumatore fa scelte ponderate economiche.

A4.2 Scelta del consumatore

• La scelta ottimale di un consumatore dipende dalle sue preferenze per i vari beni e dalla sua retta di bilancio, che rappresenta le combinazioni dei beni che può acquistare. L'ottimizzazione della scelta avviene dove l'utilità marginale per dollaro speso è uguale per tutti i beni.

A4.2.1 Regola di non-sovrapposizione

• Quando i beni sono perfettamente divisibili, l'applicazione del principio di scelta implica che il consumatore preferirà qualsiasi paniere lungo la retta di bilancio, piuttosto che uno situato sotto di essa. Questo significa che la scelta ottimale è sempre identificabile lungo il confine del budget, massimizzando il benessere del consumatore.

Esempio di utilità marginale

• L'utilità marginale variabile può essere espressa come rapporto tra le quantità richieste, dato da:

  MRS*ZP = rac{Pz}{Pp}

  dove $MRS$ rappresenta il saggio marginale di sostituzione.

Beni sostituti e complementi

• Effetti incrociati sono significativi nel modo in cui cambiano le scelte dei consumatori al variare dei prezzi dei beni complementari o sostituti; per esempio, un aumento del prezzo di un bene sostitutivo può portare un aumento della domanda del bene principale.

Curva di Engel:

• La relazione tra il reddito e la quantità consumata per diversi tipi di beni è fondamentale nella teoria economica. Per i beni normali, esiste una relazione positiva, mentre per i beni inferiori esiste una relazione negativa, il che significa che all’aumento del reddito il consumo di beni inferiori diminuisce.

Curva di domanda

• La curva di domanda mostra la relazione fondamentale tra il prezzo di un bene e la quantità richiesta dai consumatori. Quando il reddito varia, la curva di domanda per i beni normali si sposta verso destra a favore di una maggiore richiesta, mentre si sposta verso sinistra per i beni inferiori, evidenziando l'effetto delle variazioni di reddito.

A4.5.4 Variazioni del reddito e spostamenti della curva di domanda

• Un aumento del reddito ha una conseguenza diretta sull'aumento della domanda di beni normali, mentre tende a ridurre il consumo di beni inferiori, dimostrando come le preferenze dei consumatori cambiano in risposta ai cambiamenti economici.

Conclusioni

• Il comportamento dei consumatori è influenzato da molteplici fattori, compresi le preferenze individuali, i vincoli di bilancio, i cambiamenti nei prezzi e nel reddito. Queste variabili interagiscono in modo complesso e influenzano direttamente le scelte, sottolineando l'importanza della teoria della domanda e dell'utilità per comprendere il processo decisionale reale dei consumatori. Ulteriori analisi possono rivelare più dettagli sulle strategie di marketing e sul comportamento del mercato.