Коллоквиумм
1. Понятие функции
Функция определяет соответствие между элементами множеств X и Y.
Способы задания функции:
Аналитический: выражение с определёнными переменными и операциями.
Табличный: таблица соответствий между аргументами и значениями.
Графический: график, показывающий зависимость.
Словесный: описание словами.
2. Основные элементарные функции
Степенные: y = x^r (r ∈ R)
Показательные: y = a^x (a > 0, a ≠ 1)
Логарифмические: y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)
Тригонометрические: y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x), y = ctg(x)
Обратные тригонометрические: y = arсsin(x), y = arccos(x), y = arctg(x), y = arectg(x)
3. Свойства функций
Монотонность: функция может быть возрастающей или убывающей.
Ограниченность: функция может быть ограничена сверху или снизу.
Четность: функция четная (f(-x) = f(x)) или нечетная (f(-x) = -f(x)).
Периодичность: существует число T, при котором f(x + T) = f(x) для всех x.
4. Числовая последовательность и ее предел
Числовая последовательность: функция x_n = f(n), где n ∈ N.
Члены последовательности: элементы числовой последовательности.
Предел последовательности: число a ∈ R есть предел последовательности {x_n}, если для любого ε > 0 найдется N ∈ N такое, что для любого n > N выполняется |x_n - a| < ε.
Запись: lim(n→∞) x_n = a, x_n → a.
Сходящаяся последовательность: имеет предел.
Расходящаяся последовательность: не имеет предела.
5. Предел функции
Число A ∈ R называется пределом f(x) при x стремящимся к x_0, если для любого ε > 0 существует b > 0, такое что, если 0 < |x - x_0|, то |f(x) - A| < ε.
Обозначение: lim(x → x_0) f(x) = A.
6. Односторонние пределы
Предел f(x) при x, стремящимся к x_0 слева: lim(x → x_0 - 0) f(x).
Предел f(x) при x, стремящимся к x_0 справа: lim(x → x_0 + 0) f(x).
7. Бесконечно большие и бесконечно малые величины
Функция a(x) бесконечно мала при x → x_0, если lim(x → x_0) a(x) = 0.
Функция f(x) бесконечно большая при x → x_0, если |f(x)| > M для любого M > 0 в окрестности точки x_0.
8. Эквивалентные бесконечно малые
Применение в вычислении предела.
Первый замечательный предел: lim(x → 0) (sin x/x) = 1.
9. Второй замечательный предел
lim(x → +∞) (1 + 1/x)^x = e;
lim(x → 0) (1 + x)^(1/x) = e.
10. Непрерывность функции
Функция f(x) непрерывна в точке x_0, если lim(x → x_0) f(x) = f(x_0).
Непрерывна на интервале (a; b) и на отрезке [a; b].
11. Классификация точек разрыва
Точка x_0 устранимого разрыва: finite limits exist.
Точка x_0 1 рода: finite limits exist from both sides.
Точка x_0 2 рода: at least one limit is infinite.
12. Производная функции
Производная функции y = f(x) в точке x_0 - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0.
13. Основные правила дифференцирования
Применяются для нахождения производных элементарных функций.
14. Производная сложной функции
Если функция φ(t) имеет производную в t, а f(u) в u = φ(t), то f(φ(t)) имеет производную, y' = f'(u) * u'.
15. Теорема о производной обратной функции
Если f(x) имеет производную в точке x_0, f'(x_0) ≠ 0, то обратная функция φ(u) также имеет производную: φ'(u_0) = 1/f'(x_0).
16. Производные элементарных функций
17. Логарифмическое дифференцирование
18. Производные высших порядков
n-я производная функции - это производная от произведенной функции (n-1).
19. Дифференциал. Определение, свойства.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_0 если её приращение записывается как A * Δx + β(Δx).
Свойства дифференциала выражают поведение функции.
20. Применение дифференциала
В приближенных вычислениях.
21. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ролля: при условиях непрерывности и равенства f(a) = f(b), существует c ∈ (a, b) с f'(c) = 0.
Теорема Лагранжа: f(b) - f(a) / (b - a) = f'(c).
Теорема Коши: для функций f(x) и φ(x) с условиями дифференцируемости.
22. Правило Лопиталя
Для пределов вида 0/0 и ∞/∞.
23. Экстремумы функции
Находятся при помощи анализа критических точек и условиями необходимыми и достаточными для экстремума.
24. Наименьшие и наибольшие значения функции
Определяются сравнением значений функции в точках экстремума и на концах отрезка.
25. Направление выпуклости графика функции
Дано точками перегиба и анализом касательных.
26. Асимптоты
Вертикальные и наклонные асимптоты, определяющие поведение функции на бесконечности.
27. Функции двух переменных
Определяются как z = f(x, y) в области D.