Note de Studiu detaliate

Numere Raționale și Fracții

• Menționări și Paranteze: Reamintește regulile de aplicare a operațiilor.
• Suma Dintre Numere Întregi:
  • Cel mai mare număr întreg negativ este -1.
  • Cel mai mic număr întreg pozitiv de două cifre este 10.
  • Suma lor este $(-1 + 10 = 9)$.
• Produsul Valoarea Absolută și Opusul:
  • Valoarea absolută a lui -3 este $|-3| = 3$.
  • Opusul lui $a = -1 - 2 - 3 = -6$ este +6.
  • Produsul este $3 "." 6 = 18$.

Mulțimea Numerelor Raționale

• Fracții Ordinare:
  • O fracție ordinară este o pereche de numere întregi $a$ și $b$, cu $b <br /> eq 0$, scrisă sub forma $\frac{a}{b}$, unde $a$ este numărătorul și $b$ este numitorul.
  • Reprezintă operația $a : b$.
  • Exemplu: Două cincimi = $\frac{2}{5}$.
  • Trei optimi = $\frac{3}{8}$, nouă șesimi = $\frac{9}{6}$.
• Clasificarea Fracțiilor Ordinare:
  • Fracții Subunitare: Numărătorul < Numitorul (Ex: \frac{a}{b}, a < b).
  • Fracții Echiunitare: Numărătorul = Numitorul (Ex: $\frac{3}{3} = 1$).
  • Fracții Supraunitare: Numărătorul > Numitorul (Ex: \frac{a}{b}, a > b).
• Scoate Întregii din Fracție:
  • Pentru o fracție supraunitară $\frac{a}{b}$, împărțim $a$ la $b$.
  • Obținem un cât $c$ și un rest $r$.
  • Scriem $\frac{a}{b} = c \frac{r}{b}$. Exemplu: $\frac{13}{5}$, $13 : 5 = 2$ rest $3$, deci $\frac{13}{5} = 2 \frac{3}{5}$.
• Introducerea Întregilor în Fracție:
  • Pentru a introduce întregul în fracția $c \frac{r}{b}$, scriem $\frac{c \cdot b + r}{b}$.
  • Exemplu: $4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.
• Aflarea unei Fracții dintr-un Număr Natural:
  • Înmulțim numărătorul fracției cu numărul natural și împărțim rezultatul la numitor.
  • Exemplu: $\frac{3}{4}$ din $40 = \frac{3 \cdot 40}{4} = \frac{120}{4} = 30$.
• Compararea Fracțiilor. Fracții Echivalente:
  • Caz 1: Același numitor → mai mare este cea cu numărătorul mai mare (Ex: \frac{5}{7} > \frac{3}{7}).
  • Caz 2: Același numărător → mai mare este cea cu numitorul mai mic (Ex: \frac{5}{6} > \frac{5}{8}).
  • Caz 3: Numărători și numitori diferiți → aducem la același numitor. Exemplu: \frac{1}{3} < \frac{2}{5} deoarece \frac{5}{15} < \frac{6}{15}).
  • Pentru a aduna sau scădea fracții cu numitori diferiți, căutăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor.
  • Amplificăm fiecare fracție cu câtul dintre multiplul comun găsit și numitorul fracției respective.
  • Exemplu: $\frac{5}{6} - \frac{7}{8}$. Multiplii lui 6: 0, 6, 12, 18, 24,… Multiplii lui 8: 0, 8, 16, 24, 32,… Numitorul comun este 24.
  • $\frac{5}{6}$ o amplificăm cu $\frac{24}{6} = 4$, $\frac{7}{8}$ o amplificăm cu $\frac{24}{8} = 3$.
  • În final, $\frac{5}{6} - \frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} - \frac{21}{24} = \frac{41}{24}$.
  • Fracții echivalente: două fracții sunt echivalente dacă în urma comparării ajungem la concluzia că sunt egale.
  • Exemplu: $\frac{2}{3}$ și $\frac{4}{6}$ sunt echivalente deoarece $2 \cdot 6 = 4 \cdot 3 (12 = 12)$.
• Amplificarea și Simplificarea:
  • A amplifica o fracție cu un număr natural nenul $n$ înseamnă a înmulți atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu $n$. O fracție echivalentă cu cea inițială se obține.
  • Notăm: $\frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{n \cdot b}$. Exemplu: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$.
  • A simplifica o fracție cu un număr natural nenul $n$ înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul fracției la $n$. O fracție echivalentă cu cea inițială se obține.
  • Notăm: $\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$. Exemplu: $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$.
  • O fracție este ireductibilă dacă cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului este 1.
  • Nu există niciun număr (în afară de 1) prin care o putem simplifica. Exemplu: $\frac{7}{12}$ este ireductibilă.
• Adunarea și Scăderea:
  • Pentru a aduna sau scădea două fracții, acestea trebuie să aibă același numitor. Când au același numitor, copiem numitorul și adunăm sau scădem numărătorii.
  • Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, se înmulțește numărătorul fracției cu numărul natural și se copiază numitorul. Exemplu: $\frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{14}{3}$.
  • Pentru a înmulți două fracții ordinare, înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei. Exemplu: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$.
  • Observații: Este util să efectuăm simplificări (dacă pot fi făcute) înainte de înmulțire.
  • Proprietățile înmulțirii a două fracții coincid cu proprietățile înmulțirii a două numere naturale.
• Împărțirea:
  • Pentru a împărți două fracții, înmulțim prima fracție cu inversa celei de a doua. Exemplu: $\frac{2}{3} : \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$.
• Ridicarea la Putere:
  • Pentru a ridica o fracție la o putere, vom ridica atât numărătorul, cât și numitorul fracției la puterea respectivă. Exemplu: $(\frac{4}{5})^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{64}{125}$.

Exerciții și Atenționări

• Ordinea efectuării operațiilor este aceeași cu cea prezentată la pagina 14.
• Exerciții Tip Grilă:
  • Triplul numărului $\frac{4}{7}$ este $\frac{12}{7}$.
  • Atenție! Cea mai comună greseală este să zicem ca triplul numărului $\frac{4}{7}$ este $\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21}$. Varianta corectă este $3 \cdot \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7}$.
  • Numerele naturale $x$ pentru care fracția $\frac{x}{4}$ este supraunitară sunt: ${0, 1, 2, 3}$.
  • Suma dintre inversul lui $\frac{2}{5}$ și opusul său este: $\frac{29}{10}$.

Fracții Zecimale

• Introducere:
  • O fracție zecimală este formată din partea întreagă și partea zecimală, despărțite prin virgulă. (Ex: În fracția zecimală $2,71$; 2 = partea întreagă și $0,71$ = partea zecimală).
• Clasificarea Fractiilor Zecimale:
  • Fracții zecimale finite: au un număr finit de zecimale după virgulă. Ex: $2,84$, $21,3$.
  • Fracții zecimale periodice simple: după virgulă urmează perioada. Ex: $3,(7)$, $43,(82)$.
  • Fracții zecimale periodice mixte: după virgulă urmează cel puțin o cifră și după aceea urmează perioada. Ex: $3,2(4)$, $7,24(3)$.
• Adunarea și Scăderea:
  • Așezăm fracțiile una sub alta, astfel încât să fie partea întreagă sub partea întreagă, virgula sub virgulă, partea zecimală sub partea zecimală, apoi se adună sau se scad după regulile de la numere naturale, iar când ajungem la virgulă, trecem virgula la rezultat.

Operații cu Fracții Zecimale

• Înmulțirea:
  • Înmulțirea unei fracții zecimale cu $10, 100, 1000, …$: Mutăm virgula la dreapta peste atâtea cifre câte zerouri avem la al doilea factor. Dacă nu mai avem peste ce cifre să mutăm virgula completăm cu zerouri.Ex: $2,423 \cdot 100 = 242,3$
  • Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural: Înmulțim numerele ca și cum ar fi numere naturale (ignorăm virgula), iar la rezultatul final numărăm de la dreapta la stânga atâtea cifre câte cifre are în partea zecimală numărul nostru zecimal de la începutul exercițiului și punem virgula.Ex: $2,43 \cdot 12 = 29,16$
  • Înmulțirea a două fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule: Înmulțim numerele ignorând virgula, iar la rezultat vom adăuga virgula de la dreapta la stânga peste atâtea cifre câte zecimale au împreună cele două numere pe care le înmulțim.Ex: $1,43 \cdot 2,6 = 3,718$
• Împărțirea:
  • Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală: Efectuăm împărțirea cum am fost învățați, iar când ne rămâne restul, îi adăugăm un zero,punem virgulă la rezultat şi continuăm împărțirea.Ex: $53 : 2 = 26,5$
  • Împărțirea unei fracții zecimale finite la $10, 100, 1000…$: Mutăm virgula la stânga peste atâtea cifre câte zerouri avem. Dacă nu mai avem peste ce cifre să mutăm virgula, adăugăm zerouri.Ex: $125,32 : 100 = 1,2532$
  • Împărțirea unei fracții zecimale finite la un număr natural: Efectuăm împărțirea în mod normal, iar când ajungem la virgulă, adăugăm virgula şi la rezultat şi continuăm împărțirea.Ex: $4,36 : 2 = 2,18$
  • Împărțirea unui numar natural la o fracție zecimală finită: Inmulțim deîmpărțitul şi împărțitorul cu $10, 100, 1000…$ (cu atâtea zerouri câte cifre avem după virgulă la împărțitor), apoi continuăm împărțirea ca la Exemplul 1.Ex: $43 : 1,5$ (se transformă în $430 : 15 = 28,(6)$
  • Împărțirea a două fracții zecimale finite: Inmulțim deîmpărțitul şi împărțitorul cu $10, 100, 1000…$ (cu atâtea zerouri câte cifre avem după virgulă la împărțitor), apoi continuăm împărțirea ca la Exemplul 1 sau 3, după caz.Ex: $7,24 : 0,5$ (se transformă în $72,4 : 5 = 14,48)$
• Ridicarea la Putere:
  • Ne amintim că ridicarea la putere înseamnă o înmulțire repetată.Ex: $3,2^3 = 3,2 \cdot 3,2 \cdot 3,2 = 32,768$
• Transformarea Fracțiilor Zecimale în Fracții Ordinare:
  • Transformarea fracțiilor zecimale finite: trasăm linia de fracție, copiem la numărător întreaga fracție zecimală fără virgulă, iar la numitor adaugăm prima cifră ”1” și atâtea zerouri câte cifre avem în partea zecimală a numărului. Exemplu: $2,45= \frac{245}{100}$
  • Transformarea fracțiilor zecimale periodice simple: trasăm linia de fracție, copiem la numărător întreaga fracție zecimală fără virgulă și scădem partea întreagă (numărul din fața virgulei), iar la numitor adăugăm atâtea cifre de 9 câte cifre avem în perioadă.Ex: $3,(25)= \frac{325-3}{99}$
  • Transformarea fracțiilor zecimale periodice mixte: trasăm linia de fracție, copiem la numărător întreaga fracție zecimală fără virgulă şi scădem numărul format în fața parantezei fără să ținem cont de virgulă,iar la numitor adăugăm atâtea cifre de 9 câte cifre avem în perioada şi atâtea cifre de 0 câte cifre sunt după virgulă, dar NU în perioadă.Ex: $3,2(46)= \frac{3246-32}{990}$
• Exercitii Tip Grilă
  • Ordinea crescătoare a numerelor $a=3,1(2)$, $b=3,12$, $c=3,(12)$, $d=3,122$ este: b<c<d<a.
  • A 9-a zecimală a numărului a=23,(14) este: 1

Rapoarte

• Prin raportul a două numere a si b cu $b \neq 0$ întelegem câtul $a:b$ pe care il notam $\frac{a}{b}$.

Probabilități

• Probabilitatea estimează dacă un eveniment se va întâmpla sau nu.
  • $P = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
  • Ex: Intr-un bol avem 8 bile roşii şi 3 bile negre. Află probabilitatea ca extrăgând o bila, aceasta să fie neagră.
    $P = \frac{3}{11}$

Procente

• Raport procentual un raport de forma $\frac{p}{100}$ pe care il notam p% şi citim ”p la sută”
  • Pentru a afla p% dintr-un număr ”a” vom efectua $\frac{p \cdot a}{100}$
  • Dacă un nr. ”a” creşte cu p%, noul nr. devine $(100+p)\% \cdot a$.
  • Dacă un nr. ”a” scade cu p%, noul nr. devine $(100-p)\% \cdot a$.

Proporții

• O proportie reprezintă o egalitate de doua rapoarte.O proportie are forma $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, cu $b, d \neq 0$. a,d-extremi şi b,c mezi.

  • PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORȚIEI: Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Dacă $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, atunci $a \cdot d = b \cdot c$.

• Mărimi Direct Proporționale:

• Două mărimi sunt invers proporționale dacă depind una de alta, astfel încât dacă una se mărește (sau se micșorează) de un anumit număr de ori și cealaltă se micșorează (sau se mărește) de același număr de ori.

Numere Reale

• Un număr $x$ este pătrat perfect dacă găsim un număr $a$ astfel încât $x=a^2$. $a$ se numește rădăcina pătrată a lui $x$ și se notează $\sqrt{x}$.
  • $\sqrt{x^2} = x$, pentru orice număr rațional $x$, iar dacă $x$ este pozitiv putem zice direct \[\sqrt{x^2} = x\
• Număr irațional un număr care are partea zecimală infinită şi neperiodică.
• Dacă a>0, nu este pătrat perfect, atunci \sqrt{a}$este un număr irațional.<ul> <li>Ex: Deoarece 3 nu este pătrat perfect, atunci$\sqrt{3}$este număr irațional.</li></ul></li> </ul> <h3 id="scoatereafactorilordesubradical">Scoaterea factorilor de sub radical</h3> <ul> <li>Pasul 1: Descompunem numărul de sub radical in factori primi.</li> <li>Pasul 2: Facem perechi (de două) din numerele care se repetă.</li> <li>Pasul 3: Din fiecare pereche scoatem un singur număr</li> <li>Pasul 4: Inmultim numerele scoase din fiecare pereche intre ele şi numerele fără pereche între ele. Rezultatul înmulțirii numerelor pereche se trece în fața radicalului, iar rezultatul înmulțirii numerelor nepereche in radical.<ul> <li>OBSERVAȚIE: Dacă avem doar perechi, înmulțim numerele scoase din fiecare pereche intre ele şi acela va fi şi rezultatul (nu mai avem radical).</li> <li>OBSERVAȚIE: Dacă după descompunere nu avem nicio pereche, înseamnă că nu avem factori de scos de sub acel radical.</li></ul></li> </ul> <h3 id="introducereafactorilorsubradical">Introducerea factorilor sub radical</h3> <ul> <li>Un termen din fața unui radical se introduce sub radical la puterea a doua, înmulţindu-l cu termenul care deja se află în radical.</li> </ul> <h3 id="modululunuinumrreal">Modulul unui număr real</h3> <ul> <li>Prin Modulul (sau Valoarea Absolută) a unui număr real ”a”, notat |a|, înțelegem un număr real pozitiv care este egal cu ”a” dacă ”a” este pozitiv, cu 0 dacă ”a=0” şi cu "-a” dacă ”a” este negativ.</li> <li>CAZUL 1: Când ambii termeni din modul sunt negativi vor ieşi ambii pozitivi.</li> <li>CAZUL 2: Când ambii termeni din modul sunt pozitivi vor ieşi ambii pozitivi.</li> </ul> <h3 id="adunareasiscderearadicalilor">Adunarea si scăderea radicalilor</h3> <ul> <li>Pentru a aduna sau scădea doi sau mai mulți radicali trebuie să avem aceeaşi cantitate sub ei. Dacă avem aceeaşi cantitate sub ei, copiem radicalul şi adunăm/scădem termenii din fața radicalului.</li> <li>NU PUTEM ADUNA/SCADEA DOI TERMENI CARE AU CANTITĂȚI DIFERITE SUB RADICAL.</li> </ul> <h3 id="nmulireaimprirearadicalilor">Înmulțirea și împărțirea radicalilor</h3> <ul> <li>Pentru a înmulți/împărți doi sau mai mulți radicali, înmulțim/împărțim numerele din fata radicalilor între ele şi numerele de sub radical între ele.</li> </ul> <h3 id="raionalizarea">Raționalizarea</h3> <ul> <li>RAŢIONALIZAREA Operația în urma căreia, prin amplificarea fracției cu un factor numitorul (care inițial este un număr irațional) se transformă într-un număr rațional.</li> </ul> <h3 id="ridicarealaputerentreagaradicalilor">Ridicarea la putere întreagă a radicalilor</h3> <ul> <li>Pentru a ridica un radical la o putere, ridicăm termenul din fata radicalului la putere şi termenul din radical la acea putere.</li> </ul> <h3 id="formuledecalculprescurtat">Formule de calcul prescurtat</h3> <ul> <li>$(a+b)^2=a^2+2 \cdot a \cdot b+b^2$</li> <li>$(a - b)^2=a^2-2 \cdot a \cdot b+b^2$</li> <li>$(a+b)(a - b) = a^2 - b^2$</li> </ul> <h3 id="mediaaritmeticigeometric">Media Aritmetică și Geometrică</h3> <ul> <li>Media aritmetică a două numere nenegative: ma =$\frac{a+b}{2}$</li> <li>Media geometrică a două numere nenegative: mg =$\sqrt{a \cdot b}$$

Intervale

• Intervale Mărginite:
  • Notăm [a,b] şi citim ”interval închis a, b” mulțimea care cuprinde toate numerele reale x cu proprietatea că a≤x≤b.
  • Notăm (a,b) și citim ”interval deschis a, b” mulțimea care cuprinde toate numerele reale x cu proprietatea că aNumeroase exemple, atenționări și exerciții detaliază fiecare concept.