Circuits RLC en Régime Sinusoïdal Forcé - Recueil d'Exercices et Corrigés (Bac 2018)

Rappels et Fondamentaux du Circuit RLC en Régime Permanent Sinusoïdal

• Définition du circuit : Un circuit RLC série est composé d'un résistor de résistance $R$, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$, et d'un condensateur de capacité $C$.
• Excitation : Le circuit est alimenté par un Générateur Basse Fréquence (GBF) qui impose une tension sinusoïdale $u(t) = U_m \sin(2\pi Nt)$, où $U_m$ est l'amplitude (tension maximale) et $N$ la fréquence.
• Réponse en courant : L'intensité du courant électrique est de la forme $i(t) = I_m \sin(2\pi Nt + \varphi_i)$.
• Impédance totale : L'impédance $Z$ du circuit est définie par :     $Z = \sqrt{(R+r)^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}$     où $\omega = 2\pi N$ est la pulsation.
• Relation d'amplitude : $U_m = Z \times I_m$.

Étude de Cas : Exercice n°1 (Contrôle 2011/2018)

• Caractéristiques du montage :     * Résistance interne de la bobine : $r = 10\,\Omega$.     * Capacité du condensateur : $C = 2\,\mu F$.     * Tension du GBF : $u(t) = U_m \sin(2\pi Nt)$.
• Visualisation à l'oscilloscope :     * Voie X : Tension aux bornes du résistor $u_R(t) = R \cdot i(t)$.     * Voie Y : Tension aux bornes du circuit $u(t)$.
• Exploitation des oscillogrammes (Figure 4) :     * L'amplitude de la tension du générateur est $U_m = 4.5\,V$.     * L'amplitude de la tension du résistor est $U_{Rm} = 2\,V$.     * Déphasage : On observe que $u_R(t)$ (et donc $i(t)$) est en avance de phase par rapport à $u(t)$.     * Calcul du déphasage : $\Delta\varphi = \varphi_u - \varphi_{uR} = -\frac{2\pi \times T}{T \times 6} = -\frac{\pi}{3}\,\text{rad}$.     * Puisque $\varphi_u = 0$, alors $\varphi_i = \varphi_{uR} = \frac{\pi}{3}\,\text{rad}$.
• Détermination de la résistance R :     * En utilisant la relation $\cos(\varphi) = \frac{R+r}{Z}$, avec $Z = \frac{U_m}{I_m}$ et $I_m = \frac{U_{Rm}}{R}$.     * La formule démontrée est : $R = \frac{r \times U_{Rm} \times 2}{U_m - 2 \times U_{Rm}}$.     * Application numérique : $R = 80\,\Omega$.
• Intensité efficace : L'ampèremètre indique la valeur efficace $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{U_{Rm}}{R\sqrt{2}} = 17.68\,mA$.
• Équation différentielle :$L\frac{di}{dt} + (R+r)i + \frac{1}{C}\int i(t)dt = u(t)$
• Construction de Fresnel :     * Vecteur associé à $\frac{1}{C}\int idt$ : de norme $U_{Cm} = \frac{I_m}{C\omega}$.     * Vecteur associé à $(R+r)i$ : de norme $(R+r)I_m$.     * Vecteur associé à $L\frac{di}{dt}$ : de norme $L\omega I_m$.     * Résultats déduits : Fréquence $N = 223\,Hz$ et Inductance $L = 0.143\,H$.

Étude de Cas : Exercice n°2 (Principale 2020 Maths)

• Nature des oscillations : Les oscillations sont forcées car leur fréquence est imposée par le générateur externe (GBF).
• Données expérimentales ($N_1 = 360\,Hz$) :     * $U_m = 8\,V$.     * $I_{efficace} = I_1 = 66\,mA$.     * Amplitude de $u_R(t)$ relevée : $U_{Rm} = R \cdot I_1 \cdot \sqrt{2} = 4.2\,V$.     * Résistance du conducteur ohmique : $R = \frac{4.2}{0.066 \times \sqrt{2}} = 45\,\Omega$.
• Phase initiale de l'intensité :     * Décalage temporel $\Delta t = \frac{T_1}{8}$.     * $|\varphi_u - \varphi_{uR}| = \frac{2\pi}{T_1} \times \frac{T_1}{8} = \frac{\pi}{4}\,\text{rad}$.     * Comme $u(t)$ est en retard sur $u_R(t)$, $\varphi_i = \frac{\pi}{4}\,\text{rad}$.
• Analyse de la construction de Fresnel :     * Résistance interne de la bobine : $r = 15\,\Omega$.     * Réactance globale : $(\frac{1}{2\pi N_1 C} - 2\pi N_1 L) \approx 60\,\Omega$.
• Résonance d'intensité ($N_2 = 365\,Hz$) :     * À la résonance, $u(t)$ et $u_R(t)$ sont en phase.     * L'intensité efficace maximale est $I_2 = \frac{U_m}{(R+r)\sqrt{2}} = 94.2\,mA$.

Étude de Cas : Exercice n°3 (Principale 2020 Sciences)

• Identification du circuit :     * Fréquence $N_1 = 318.3\,Hz$.     * Amplitude de la tension aux bornes du résistor : $U_{Rm} = 4.6\,V$.     * Amplitude du générateur : $U_m = 9.9\,V$.
• Déphasage et nature :     * $\Delta\varphi = \varphi_u - \varphi_i = \frac{\pi}{3}\,\text{rad} > 0$ : Le circuit est inductif.
• Paramètres électriques :     * Intensité efficace : $I_1 = \frac{U_{Rm}}{R\sqrt{2}} = 25\,mA$.     * Impédance : $Z_1 = \frac{U_m}{I_1\sqrt{2}} = 280\,\Omega$.     * Résistance interne : $r = \frac{Z_1}{2} - R = 10\,\Omega$ (via $r = Z_1 \cos(\Delta\varphi) - R$).
• Composants déduits : $C \approx 2.5\,\mu F$ et $L \approx 0.22\,H$.
• Résonance d'intensité (à $N_2$) :     * $\Delta\varphi = 0$.     * $I_2 = \frac{U_m}{(R+r)\sqrt{2}} = 50\,mA$.     * Tension efficace aux bornes de l'ensemble {bobine, condensateur} à la résonance : $U_2 = r \cdot I_2 = 0.5\,V$.

Phénomène de Résonance et Facteur de Qualité (Exercice n°4)

• Intensité maximale : $I$ est maximale quand $2\pi NL - \frac{1}{2\pi NC} = 0$.
• Fréquence de résonance : $N_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 500\,Hz$.
• Résistance totale : $R+r = \frac{U}{I_0} = \frac{8/\sqrt{2}}{28.28 \times 10^{-3}} = 200\,\Omega$.
• Facteur de qualité (Coefficient de surtension) :     * $Q = \frac{2\pi N_0 L}{R+r}$.     * Relation avec la bande passante $\Delta N = N_2 - N_1$ : $Q = \frac{N_0}{\Delta N}$.     * Valeur calculée : $Q = 3.23$.
• Valeurs des composants : $L = 0.2\,H$ et $C = 0.5\,\mu F$.
• Énergie à la résonance :     * L'énergie totale $W_T = \frac{1}{2}Li^2 + \frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$ est constante à la résonance.     * $W_T = \frac{1}{2} L I_{m0}^2 = 1.6 \times 10^{-4}\,J$.

Étude de la Puissance et de l'Impédance (Exercice n°5)

• Données : $R = 50\,\Omega$, $P = 182\,mW$, $U_{Cm} = 8\,V$, $U_m = 5.6\,V$, $N_1 = 83.33\,Hz$.
• Amplitude de courant : $I_m = U_{Cm} \cdot (2\pi N_1 C)$.
• Relation de phase : L'intensité $i(t)$ est en avance de $\frac{\pi}{6}\,\text{rad}$ sur $u(t)$. Le circuit est donc capacitif.
• Calcul de r : En utilisant la puissance moyenne $P = (R+r)I^2$, on trouve $r = 14.4\,\Omega$.
• Inductance : Déterminée par $\tan(\varphi_u - φ_i)$, $L = 0.13\,H$.

Identification de Dipôles Inconnus (Exercice n°9)

• Expériences : Comparaison des déphasages entre différentes tensions ($u_{NM}$, $u_{PM}$, $u_{QM}$).
• Dipôle $D_1$ : Est une bobine car $u_{PM}(t)$ est en avance sur $u_{NM}(t)$.
• Dipôle $D_2$ : Est un condensateur car $u_{QM}(t)$ est en retard sur $u_{NM}(t)$.
• Valeurs déduites :     * $L = 6.2 \times 10^{-2}\,H$.     * $C = 12.9\,\mu F$.

Comportement Fréquentiel (Exercice n°10)

• Expérience 2 (Capacitif) : $N_2 = 62.5\,Hz$, $U_m = 12\,V$, $U_{Cm} = 13.6\,V$.     * Le circuit est capacitif car $\varphi_u - φ_i = -\frac{\pi}{4}\,\text{rad} < 0$.     * $I_m = 0.42\,A$, $L = 0.0315\,H$, $C = 78.7\,\mu F$.
• Surtension :     * À la résonance, la tension aux bornes du condensateur est $U_c = \frac{U}{(R+r)\sqrt{LC}\omega_0}$.     * Si $U_c > U_{nominale}$, il y a risque de claquage.
• Comparaison de courbes de résonance :     * Si $R$ augmente, l'amplitude à la résonance ($I_0 = U/R_{tot}$) diminue et la courbe s'aplatit.     * Si $L$ diminue, la fréquence de résonance $N_0$ augmente.