Cours complet : Les nombres complexes (Mathématiques expertes)

Définition de l'ensemble $\mathbb{C}$ :
- Il existe un ensemble appelé $\mathbb{C}$ (l'ensemble des nombres complexes).
- Dans $\mathbb{C}$, il existe un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$.
La forme algébrique :
- Tout élément $z$ de l'ensemble $\mathbb{C}$ s'écrit sous la forme : $z = a + ib$
- Dans cette expression :
  - $a$ représente la partie réelle de $z$.
  - $b$ représente la partie imaginaire de $z$.
Cas particuliers de la forme algébrique :
- Si $b = 0$, alors $z = a$. Dans ce cas, $z$ est un nombre réel.
- Si $a = 0$ (et $b \neq 0$), alors $z = ib$. Dans ce cas, $z$ est un imaginaire pur.

Représentation dans le plan complexe :
- Le plan complexe est constitué de deux axes :
  - L'axe des réels (horizontal), correspondant à la partie $a$.
  - L'axe des imaginaires (vertical), correspondant à la partie $ib$.
- Un point $M$ du plan est défini par son affixe $z = a + ib$.
Notations et Propriétés de l'affixe :
- Définition : L'affixe est le nombre complexe qui définit les coordonnées d'un point ou d'un vecteur.
- Soient $M(z_M)$ et $N(z_N)$ deux points du plan complexe.
- Soient $\vec{u}(z)$ et $\vec{v}(z')$ deux vecteurs du plan complexe.
- Le vecteur $\vec{MN}$ : Son affixe est donnée par la formule : $z_{\vec{MN}} = z_N - z_M$
- Somme de vecteurs : Le vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ a pour affixe : $z + z'$
- Multiplication par un scalaire : Le vecteur $k\vec{u}$ ($k$ étant un réel) a pour affixe : $kz$
- Milieu d'un segment : Le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe : $z_I = \frac{z_M + z_N}{2}$

Définition :
- Soit un nombre complexe $z = a + ib$.
- On appelle nombre complexe conjugué de $z$, noté $\bar{z}$, le nombre : $\bar{z} = a - ib$
- La règle de construction consiste à conserver la partie réelle et à changer le signe de la partie imaginaire.
Interprétation géométrique :
- Le point d'affixe $\bar{z}$ est l'opposé symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des réels.
Exemple numérique :
- Soit $z = 6 + 7i$.
- Son conjugué est $\bar{z} = 6 - 7i$.
Propriétés du conjugué :
1. $z$ est un réel si et seulement si $\bar{z} = z$.
  - Démonstration simplifiée : Si $z = a$, alors $\bar{z} = a$, donc $\bar{z} = z$.
2. $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\bar{z} = -z$.
  - Démonstration simplifiée : Si $z = ib$, alors $\bar{z} = -ib$, donc $\bar{z} = -z$.
3. Le conjugué du conjugué redonne le nombre initial : $\bar{\bar{z}} = z$.
4. Conjugué d'une somme : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$.
5. Conjugué d'une puissance ($n \in \mathbb{N}$) : $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$.
6. Conjugué d'un produit : $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$.
7. Conjugué d'un inverse ($z' \neq 0$) : $\overline{(\frac{1}{z'})} = \frac{1}{\bar{z'}}$.
8. Conjugué d'un quotient ($z' \neq 0$) : $\overline{(\frac{z}{z'})} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$.
Note sur le zéro :
- Ici, $z$ et $\bar{z}$ peuvent être égaux à 0.
- Si $z = 0 + 0i$, alors $\bar{z} = 0 - 0i = 0$.

On peut calculer l'affixe d'une autre manière en utilisant le module et l'argument.

Le Module :
- Définition : Le module d'un nombre complexe $z$ est la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et l'origine $O$ dans le plan complexe. Il se note $|z|$.
- Formule : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Propriétés du module : a) $|z|^2 = z \times \bar{z}$ b) $|z| = |\bar{z}| = |-z| = |-\bar{z}|$ c) $|z \times z'| = |z| \times |z'|$ d) $|z^n| = |z|^n$ e) $|\frac{1}{z'}| = \frac{1}{|z'|}$ (avec $z' \neq 0$) f) $|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$ (avec $z' \neq 0$) g) Inégalité triangulaire : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$
L'Argument :
- Définition : L'argument d'un nombre complexe non nul est l'angle orienté entre l'axe des réels positifs et le vecteur $\vec{OM}$.
- Il se note $\theta$ ou $\text{arg}(z)$. On écrit $\theta = \text{arg}(z)$.
- Attention : Si $z = 0$, l'argument n'existe pas.
Propriétés de l'argument :
1. Si $z$ est un nombre réel, alors $\text{arg}(z) = 0 \pmod{\pi}$.
2. Si $z$ est un imaginaire pur, alors $\text{arg}(z) = \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$.
3. Lien avec le conjugué : $\text{arg}(\bar{z}) = -\text{arg}(z)$.
4. Lien avec l'opposé : $\text{arg}(-z) = \text{arg}(z) + \pi$.

L'objectif de ces trois formes est de pouvoir passer de l'une à l'autre.

Passage à la forme trigonométrique :
- Soit $\theta$ l'angle $\text{arg}(z)$.
- On établit les relations :
  - $\cos(\theta) = \frac{a}{|z|} \Rightarrow a = |z| \times \cos(\theta)$
  - $\sin(\theta) = \frac{b}{|z|} \Rightarrow b = |z| \times \sin(\theta)$
- Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe $z$ non nul l'écriture : $z = |z|(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$
La Forme Exponentielle :
- On utilise la notation d'Euler : $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$.
- Définition : On appelle forme exponentielle d'un nombre complexe $z$ non nul l'écriture : $z = |z|e^{i\theta}$
- Où $\theta = \text{arg}(z)$.
- Tip : L'écriture $z = |z|e^{i\theta}$ est une notation dite inversée.
Formules de l'exponentielle complexe : A) $e^{ia} \times e^{ib} = e^{i(a+b)}$ B) $\frac{e^{ia}}{e^{ib}} = e^{i(a-b)}$ C) $e^{-i\theta} = \frac{1}{e^{i\theta}}$ D) $(e^{ia})^n = e^{ina}$

Soient $A, B, C$ et $D$ quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives $z_A, z_B, z_C, z_D$.

Angle de vecteurs :
- $(\vec{AB}, \vec{CD}) = \text{arg}(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A})$
- $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \text{arg}(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A})$
Distance :
- La distance $AB$ est égale au module de la différence de leurs affixes : $AB = |z_B - z_A|$

L'équation est de la forme $az^2 + bz + c = 0$ (où $a \neq 0$). On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Si $\Delta > 0$ :
- Il existe deux solutions réelles distinctes : $z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta = 0$ :
- Il existe une solution unique réelle : $z_0 = -\frac{b}{2a}$
Si $\Delta < 0$ :
- Il existe deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$