Elementary Mathematics Practice Flashcards

LOGIKA I SUDOVI

Sud je smislena deklarativna rečenica koja je istinita ili lažna.

Primjer suda:

• Aritmetika je grana matematike.

Operacije sa sudovima:

1. Negacija suda $A$: Složeni sud koji negira ono što sud $A$ tvrdi.

   • Primjer: Pravokutnik nije paralelogram.

2. Konjunkcija sudova $A$ i $B$: Složeni sud koji je istinit točno onda kada su oba suda, $A$ i $B$, istinita.

   • Primjer: Pitagora i Tales su poznati grčki matematičari.

3. Disjunkcija (inkluživna) sudova $A$ i $B$: Složeni sud koji je lažan točno onda kada su oba suda, $A$ i $B$, lažna.

   • Primjer: Kvadrat je geometrijski lik ili je kvadrat geometrijsko tijelo.

4. Ekskluzivna disjunkcija sudova $A$ i $B$: Složeni sud koji je istinit točno onda kada je istinit samo jedan od sudova $A$ i $B$.

   • Primjer: Dva pravca u ravnini su paralelna ili se sijeku u jednoj točki.

5. Implikacija sudova $A$ i $B$: Složeni sud koji je lažan točno onda kada je sud $A$ istinit, a sud $B$ lažan.

   • Primjer: Ako je x < -3, onda je $x$ negativan broj.

6. Ekvivalencija sudova $A$ i $B$: Složeni sud koji je istinit točno onda kada su oba suda, $A$ i $B$, istinita ili kada su oba suda lažna.

   • Primjer: Dani i noći se smjenjuju ako i samo ako se Zemlja okreće oko zamišljene osi.

Jednakost složenih sudova: Dva složena suda $A$ i $B$ su jednaka kada im se pripadne semantičke tablice podudaraju.

Tautologija: Složeni sud je tautologija ukoliko je istinit bez obzira na istinitost sudova od kojih je sastavljen.

POJMOVI I MATEMATIČKI SUDOVI

Uz implikaciju $A \rightarrow B$ vežemo sljedeće sudove:

• Obrat suda: $B \rightarrow A$

• Obrat po kontrapoziciji: $\neg B \rightarrow \neg A$

• Suprotni sud ili inverzija: $\neg A \rightarrow \neg B$

Vrste pojmova:

1. Osnovni pojam: Pojam koji se smatra poznatim pa se ne definira, tj. ne opisuje se uz pomoć drugih pojmova. Primjeri: točka, pravac, skup, prostor, ravnina.

2. Izvedeni pojam: Pojam koji se definira, tj. čije se značenje opisuje pomoću osnovnih pojmova ili ranije definiranih izvedenih pojmova.

Definiranje pojma: To je navođenje nužnih i dovoljnih obilježja pojma povezanih logičkom rečenicom ili simboličkim zapisom.

• Primjer: Kružnica je skup svih točaka ravnine udaljenih od jedne čvrste točke te ravnine. Tu čvrstu točku nazivamo središte kružnice.

Vrste matematičkih sudova:

1. Aksiom (prva istina): Osnovna tvrdnja koja se u okviru neke teorije smatra istinitom i ne dokazuje se.

   • Primjer: Cjelina je veća od dijela. Ako se jednakim stvarima dodaju jednake stvari, i cjeline su jednake.

2. Postulat: Polazna tvrdnja koja se također uzima bez dokaza. Obično izražava neki uvjet koji treba zadovoljiti neki pojam ili odnos među pojmovima.

3. Teorem (poučak, stavak): Matematička izjava čija se istinitost utvrđuje dokazom. Sastoji se od:

   • Pretpostavke ($P$): Jedna ili više izjava koje se smatraju istinitima.

   • Tvrdnje ($Q$): Izjava koju treba dokazati.

   • Simbolički: $P \rightarrow Q$

TEORIJA SKUPOVA

Skup je osnovni matematički pojam i kao takav se ne definira (čine ga elementi s nekim zajedničkim svojstvom).

• Kardinalni broj skupa: Broj elemenata skupa.

• Prazan skup ($\emptyset$): Skup bez ijednog elementa.

• Vrste skupova: Prazan, konačan i beskonačan.

• Univerzalni skup ($U$): Širi skup iz kojeg uzimamo elemente (relativan pojam). Primjer: $\mathbb{N}, \mathbb{R}$, skup svih točaka u ravnini.

Podskup skupa: Za skup $A$ kažemo da je podskup skupa $B$ i pišemo $A \trianglelefteq B$ ako je svaki element skupa $A$ ujedno i element skupa $B$. $A \trianglelefteq B \trianglelefteq (a ∈ A) \rightarrow (a ∈ A \rightarrow a ∈ B)$ Vrijedi: $\emptyset \trianglelefteq A$ i $A \trianglelefteq A$.

Jednakost skupova: Skupovi $A$ i $B$ su jednaki ako je svaki element skupa $A$ ujedno element skupa $B$ i obrnuto. $A = B \trianglelefteq A \trianglelefteq B \text{ i } B \trianglelefteq A$

Pravi podskup: Za skup $A$ kažemo da je pravi podskup skupa $B$ i pišemo $A \trianglelefteq B$ ako je svaki element skupa $A$ ujedno element skupa $B$, ali postoji barem jedan element skupa $B$ koji nije element skupa $A$. $A \trianglelefteq B \trianglelefteq A \trianglelefteq B \text{ i } A \neq B$

Partitivni skup ($P(A)$): Skup svih podskupova skupa $A$. $P(A) = \{x : x \trianglelefteq A\}$ Broj elemenata partitivnog skupa je $k(P(A)) = 2^n$, gdje je $n$ broj elemenata skupa $A$.

OPERACIJE SA SKUPOVIMA I SVOJSTVA

Neka su $A, B, C$ podskupovi univerzalnog skupa $U$:

1. Unija skupova: $A \bigcup B = \{x : x ∈ A \text{ ili } x ∈ B\}$

   • $A \bigcup ∅ = A$

   • $A \bigcup A = A$

2. Presjek skupova: $A \bigcap B = \{x : x ∈ A \text{ i } x ∈ B\}$

   • $A \bigcap ∅ = ∅$

   • $A \bigcap A = A$

   • Disjunktivni skupovi: Skupovi za koje vrijedi $A \bigcap B = ∅$.

3. Diferencija (razlika) skupova: $A \setminus B = \{x : x ∈ A \text{ i } x ∉ B\}$

   • Moguće diferencije: $A \setminus B$, $B \setminus A$, $U \setminus A$, $A \setminus A = ∅$, $U \setminus ∅ = U$.

4. Komplement skupa ($A^c$): Skup svih elemenata koji nisu u $A$, ali su u $U$.

   • $A^c = \{x : x ∈ U \text{ i } x ∉ A\}$

   • $(A^c)^c = A$

   • Primjer: Ako je $U = ℕ$ i $A = \{1, 3, 5, …\}$, onda je $A^c = \{2, 4, 6, …\}$.

Svojstva skupovnih operacija:

1. Asocijativnost:

   • $(A \bigcup B) \bigcup C = A \bigcup (B \bigcup C)$

   • $(A \bigcap B) \bigcap C = A \bigcap (B \bigcap C)$

2. Komutativnost:

   • $A \bigcup B = B \bigcup A$

   • $A \bigcap B = B \bigcap A$

3. Distributivnost:

   • $A \bigcap (B \bigcup C) = (A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)$

   • $A \bigcup (B \bigcap C) = (A \bigcup B) \bigcap (A \bigcup C)$

4. De Morganovi zakoni:

   • $(A \bigcup B)^c = A^c \bigcap B^c$

   • $(A \bigcap B)^c = A^c \bigcup B^c$

Kartezijev produkt ($A \times B$): Skup svih uređenih parova $(x, y)$ pri čemu je $x ∈ A$ i $y ∈ B$. $A \times B = \{(x, y) : x ∈ A, y ∈ B\}$

• Kardinalni broj: $k(A \times B) = m \times n$

• Općenito: $A \times B \neq B \times A$

• Kvadrat skupa: $A \times A = A^2$ (Kartezijev kvadrat).

BINARNE RELACIJE

Binarna relacija između skupova $X$ i $Y$ je bilo koji neprazan podskup Kartezijevog produkta $X \times Y$. $\rho \trianglelefteq X \times Y$ Ako je $(a, b) ∈ \rho$, pišemo $a \rho b$.

Primjer relacije: $X = \{1, 2, 3\}$ $\rho = \{(1, 2), (1, 3), (2, 3)\}$ Grafički prikaz: Elementi povezani strelicama ($1 \rightarrow 2$, $1 \rightarrow 3$, $2 \rightarrow 3$). Ova relacija predstavlja x < y.

Relacija ekvivalencije: Za relaciju $\rho$ na skupu $X$ kažemo da je relacija ekvivalencije ako su ispunjena tri uvjeta:

1. Refleksivnost: $a \rho a, \forall a ∈ X$

2. Simetričnost: $a \rho b \rightarrow b \rho a, \forall a, b ∈ X$

3. Tranzitivnost: $a \rho b \text{ i } b \rho c \rightarrow a \rho c, \forall a, b, c ∈ X$

Primjeri:

• Relacija ‘biti paralelan’ ($\|$): Jeste relacija ekvivalencije na skupu pravaca ravnine (pravac je paralelan sam sebi, simetrija vrijedi, tranzitivnost vrijedi).

• Relacija ‘biti okomit’ ($\perp$): Nije relacija ekvivalencije jer nije refleksivna (pravac nije okomit na samog sebe) niti tranzitivna (ako je $a ∄ b$ i $b ∄ c$, tada je $a \| c$).

Relacija parcijalnog (djelomičnog) uređaja: Relacija $\leq$ na skupu $X$ ako vrijedi:

1. Refleksivnost: $a \rho a$

2. Antisimetričnost: $a \rho b \text{ i } b \rho a \rightarrow a = b$

3. Tranzitivnost: $a \rho b \text{ i } b \rho c \rightarrow a \rho c$

Relacija totalnog (potpunog) uređaja: Sve gore navedeno uz dodatak uvjeta da su svaka dva elementa usporediva:

• $\forall a, b ∈ X, a \rho b \text{ ili } b \rho a$.

KONGRUENCIJA I KLASE EKVIVALENCIJE

Relacija ‘biti kongruentan modulo 3’ na skupu $ℤ$: $a \trianglelefteq b \text{ (mod 3)} \trianglelefteq 3 | (a - b), a, b ∈ ℤ$

Dokaz da je relacija ekvivalencije:

1. Refleksivnost: $a \trianglelefteq a \text{ (mod 3)} \rightarrow 3 | (a - a) \rightarrow 3 | 0$. Vrijedi za $k = 0$.

2. Simetričnost: $a \trianglelefteq b \text{ (mod 3)} \rightarrow 3 | (a - b)$. Postoji $k ∈ ℤ$ takav da je $a - b = 3k$. Tada je $b - a = 3(-k)$, što znači $3 | (b - a)$, pa je $b \trianglelefteq a \text{ (mod 3)}$.

3. Tranzitivnost: $a \trianglelefteq b \text{ i } b \trianglelefteq c \text{ (mod 3)} \rightarrow 3 | (a - b) \text{ i } 3 | (b - c)$.    $a - b = 3k_1$    $b - c = 3k_2$    Zbrajanjem dobivamo: $a - c = 3(k_1 + k_2)$, dakle $3 | (a - c)$, pa je $a \trianglelefteq c \text{ (mod 3)}$.

Klase ekvivalencije:

• $[a] = \{x ∈ ℤ : x \trianglelefteq a \text{ (mod 3)}\}$

• $[0] = \{…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, …\}$

• $[1] = \{…, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …\}$

• $[2] = \{…, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, …\}$ Unija klasa je cijeli skup $ℤ = [0] \bigcup [1] \bigcup [2]$.

FUNKCIJE ILI PRESLIKAVANJA

Neka su $D$ i $K$ neprazni skupovi. Postupak $f$ koji svakom elementu $x ∈ D$ pridružuje točno jedan element $y ∈ K$ nazivamo funkcija ili preslikavanje. $f : D \rightarrow K$

• $D$: Domena ili područje definicije ($D_f$).

• $K$: Kodomena ili područje vrijednosti ($K_f$).

• $x$: Nezavisna varijabla ili argument.

• $f(x)$: Zavisna varijabla, slika elementa $x$.

• Slika funkcije: $I(f) = \{f(x) : x ∈ D\} \trianglelefteq K$.

Svojstva funkcija:

1. Injekcija (1-1): Različitim argumentima pridružuje različite slike.

   • $x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

2. Surjekcija (na): Svaki element kodomene je slika barem jednog elementa domene.

   • $I(f) = K$

3. Bijekcija: Funkcija koja je i injekcija i surjekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje).

PRIRODNI BROJEVI ($\mathbb{N}$)

Skup $\mathbb{N}$ definiran je Peanovim aksiomima:

1. ($P_1$) Postoji funkcija $s : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ koju zovemo sljedbenik.

2. ($P_2$) Postoji barem jedan element u $\mathbb{N}$, označimo ga s $1$, takav da $s(n) \neq 1, \forall n ∈ \mathbb{N}$.

3. ($P_3$) Ako je $s(m) = s(n)$, onda je $m = n$ ($s$ je injekcija).

4. ($P_4$) Aksiom matematičke indukcije: Ako za skup $M \trianglelefteq \mathbb{N}$ vrijedi:

   • $1 ∈ M$

   • $n ∈ M \rightarrow s(n) ∈ M$    tada je $M = \mathbb{N}$.

Matematička indukcija (dokazivanje tvrdnje $T_n$):

1. Baza indukcije ($n = 1$): Pokaže se da tvrdnja vrijedi za $n = 1$.

2. Pretpostavka indukcije ($n = k$): Pretpostavi se da tvrdnja vrijedi za neki broj $k$.

3. Korak indukcije ($n = k + 1$): Koristeći pretpostavku, dokazuje se da tvrdnja vrijedi za $k + 1$.

Zbrajanje i množenje u $\mathbb{N}$:

• Zbrajanje (+): $m + 1 = s(m)$; $m + s(n) = s(m + n)$.

  • Nije injekcija (npr. $1+2=3, 2+1=3$).

  • Nije surjekcija ($1$ nije slika ničega).

• Množenje ($\cdot$): $m \cdot 1 = m$; $m \cdot s(n) = m \cdot n + m$.

  • Jeste surjekcija, ali nije injekcija.

TEORIJA BROJEVA

• Prost broj: Prirodan broj veći od $1$ djeljiv samo s $1$ i samim sobom.

• Složen broj: Prirodan broj veći od $1$ koji nije prost.

• Beskonačnost prostih brojeva (Indirektan dokaz): Pretpostavimo da ih ima konačno mnogo. Neka je $p$ najveći. Formiramo $q = (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot … \cdot p) + 1$. $q$ nije djeljiv ni s jednim prostim brojem (ostatak je $1$), pa je on sam prost. Kontradikcija.

• Najveći zajednički djelitelj (NZD): Najveći prirodan broj kojim su djeljivi svi zadani brojevi.

• Najmanji zajednički višekratnik (VZM): Najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svim zadanim brojevima.

Euklidov algoritam: Za svaka dva prirodna broja $a$ i $b$ ($b \trianglelefteq a$) postoje jednoznačno određeni brojevi $q$ i $r$ takvi da je: a = bq + r, 0 \trianglelefteq r < b Primjer: $a = 47, b = 5 \rightarrow 47 = 5 \cdot 9 + 2$.

SKUPOVI BROJEVA: $ℤ, ℚ, I, ℝ$

Skup cijelih brojeva ($ℤ$): Nastaje proširenjem $\mathbb{N}$ kako bi jednadžba $a + x = b$ uvijek imala rješenje. $ℤ = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\}$

• $(ℤ, +)$ je Abelova (komutativna) grupa (asocijativnost, neutralni element $0$, inverzni element $-a$, komutativnost).

• Apsolutna vrijednost cijelog broja: Udaljenost točke od ishodišta na brojevnom pravcu.

Skup racionalnih brojeva ($ℚ$): Skup svih brojeva oblika $\frac{m}{n}$ gdje je $m ∈ ℤ, n ∈ \mathbb{N}$.

• $(ℚ, +, \cdot)$ je polje.

• Gustoća skupa $ℚ$: Između svaka dva racionalna broja postoji barem jedan racionalan broj ($\frac{r_1 + r_2}{2}$).

• Decimalni zapis: Konačni decimalni brojevi ili beskonačni periodički.

Skup iracionalnih brojeva ($I$): Brojevi koji se ne mogu napisati u obliku razlomka (beskonačni neperiodički decimalni brojevi).

• Primjer: $\sqrt{2}$ (Pitagorejci otkrili nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata).

• Dokaz da $\sqrt{2}$ nije racionalan: Pretpostavimo $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$, gdje su $m$ i $n$ relativno prosti. Tada je $2n^2 = m^2$, pa je $m$ paran ($m = 2k$). Tada je $2n^2 = 4k^2$, pa je $n^2 = 2k^2$, što znači da je i $n$ paran. To je u suprotnosti s pretpostavkom da su relativno prosti.

Skup realnih brojeva ($ℝ$): $ℝ = ℚ \bigcup I$.

• Svakoj točki brojevnog pravca odgovara točno jedan realan broj.

• Intervali:

  • Otvoreni: \langle a, b \rangle = \{x ∈ ℝ : a < x < b\}

  • Zatvoreni (segment): $[a, b] = \{x ∈ ℝ : a \trianglelefteq x \trianglelefteq b\}$

  • Poluotvoreni: $\langle a, b]$ ili $[a, b\rangle$

  • Beskonačni: $\langle -−, a\rangle$, $[a, +−\rangle$, itd.

Svojstva apsolutne vrijednosti realnog broja:

1. $|x| \trianglelefteq 0$

2. $|x| = 0 \trianglelefteq x = 0$

3. $|x + y| \trianglelefteq |x| + |y|$

4. $|x - y| \trianglelefteq |x - z| + |z - y|$

5. $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$

GEOMETRIJA: POSTULATI I KUTOVI

Euklidovi postulati:

1. Od svake točke do svake druge točke može se povući dužina.

2. Svaka se dužina može produžiti u beskonačnost na obje strane.

3. Oko svakog središta s svakim polumjerom može se opisati kružnica.

4. Svi su pravi kutovi međusobno jednaki.

5. V. Postulat (V. Aksiom o paralelama): Zadanim točkom izvan zadanog pravca prolazi najviše jedan pravac paralelan danom pravcu.

Osnovni oblici:

• Polupravac: Skup svih točaka pravca $p$ koje leže s iste strane točke $T$.

• Dužina $AB$: Skup točaka pravca koje leže između $A$ i $B$, uključujući njih.

• Konveksan skup: Skup $S$ za koji vrijedi da za svake dvije točke $A, B ∈ S$ cijela dužina $AB \trianglelefteq S$.

• Kut: Presjek dviju zatvorenih poluravnina.

  • Ispruženi kut: krakovi su suprotni polupravci istog pravca.

  • Puni kut: ravnina u kojoj je označen polupravac.

  • Sukuti (susjedni kutovi): jedan krak zajednički, ostali se nadopunjuju na pravac.

  • Vršni kutovi: zajednički vrh, kraci se nadopunjuju. Oni su sukladni.

Kutovi uz transverzalu:

• Pridruženi: dva vanjska ili dva unutarnja s iste strane transverzale.

• Zamjenični: s različitih strana transverzale.

• Protukutovi: jedan unutarnji, jedan vanjski s iste strane.

• Teorem: Dva paralelna pravca s transverzalom zatvaraju sukladne zamjenične kutove te suplementarne pridružene.

TROKUT I ČETVEROKUT

Trokut: Skup svih točaka ravnine omeđen dužinama $AB, BC, CA$ (konveksna ljuska triju nekolinearnih točaka).

• Zbroj kutova: \alpha + ̢ + ̳ = 180^{∘}.

• Vanjski kut: Jedunaka je zbroju dvaju unutarnjih nasuprotnih kutova. Zbroj svih vanjskih kutova je $360^{∘}$.

Karakteristične točke trokuta:

1. Težište ($G$): Sječište težišnica (dužina od vrha do polovišta nasuprotne stranice). Udaljenost težišta od vrha iznosi $\frac{2}{3}$ duljine težišnice.

2. Ortoentar ($H$): Sječište pravaca na kojima leže visine.

3. Središte opisane kružnice ($S$): Sječište simetrala stranica.

4. Središte upisane kružnice ($I$): Sječište simetrala unutarnjih kutova.

• Eulerov pravac: Pravac na kojem leže $S, G$ i $H$. Vrijedi $|HG| = 2|SG|$.

Sličnost trokuta: Trokuti su slični ako su im odgovarajući kutovi sukladni i stranice proporcionalne.

• Poučci o sličnosti: K-K-K, S-S-S, S-K-S, S-s-K⌐.

• Talesov teorem o proporcionalnosti: Paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine.

Pitagorin teorem: U pravokutnom trokutu vrijedi $c^2 = a^2 + b^2$.

• Obrat: Ako vrijedi $c^2 = a^2 + b^2$, trokut je pravokutan.

Četverokuti:

• Trapez: Ima barem jedan par paralelnih stranica.

• Paralelogram: Ima dva para paralelnih stranica.

• Tetivni četverokut: Može mu se opisati kružnica.

• Tangencijalni četverokut: Može mu se upisati kružnica.

POVRŠINE I FORMULE

Površine likova:

• Paralelogram: $P = a \cdot v_a$

• Trokut: $P = \frac{a \cdot v_a}{2}$

• Trapez: $P = \frac{a + c}{2} \cdot v$

Dodatni teoremi:

• Talesov poučak o kružnici: Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut ($90^{∘}$).

• Suma prvih $n$ brojeva: $1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

  • Primjer: Suma prvih $100$ brojeva je $5050$.

• Središnji i obodni kut: Obodni kut $x$ nad tetivom jednak je polovici središnjeg kuta $2x$ nad istom tetivom.

Pravila negiranja:

• $\neg(A) = A$

• $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$

• $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$

• $\neg(A \rightarrow B) = A \land \neg B$