Ensemble

Généralités sur les Ensembles et Notions Fondamentales

• Définition d'un ensemble :

  • Un ensemble est une collection ou un regroupement d'objets.

• Définition d'un élément et relation d'appartenance :

  • Les objets qui composent un ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble.

  • Lorsqu'un objet fait partie d'un ensemble $E$, on dit que cet objet est un élément de $E$ ou qu'il appartient à $E$.

  • La relation d'appartenance de l'élément $A$ à l'ensemble $E$ se note : $A \in E$.

• Modes de représentation d'un ensemble :

  • Écriture en extension : Consiste à lister explicitement l'ensemble des éléments entre accolades $\{\}$, séparés par des points-virgules ou des virgules.

  • Exemple : Pour un ensemble $E$ composé de l'élément $A$, du chiffre $0$ et du chiffre $1$, la notation en extension s'écrit $E = \{A, 0, 1\}$.

  • Diagramme de Venn : Représentation graphique sous forme de courbe fermée (ou patate) à l'intérieur de laquelle sont placés les éléments. Cette méthode tire son nom du mathématicien John Venn (1834-1923).

• Définition du Cardinal d'un ensemble :

  • Le cardinal d'un ensemble $E$ correspond au nombre total d'éléments distincts contenus dans cet ensemble.

  • Notation : $\text{card}(E)$.

  • Exemple : Pour $E = \{A, 0, 1\}$, l'ensemble possède 3 éléments, d'où $\text{card}(E) = 3$.

• L'ensemble vide et ses propriétés :

  • Définition : L'ensemble vide est l'ensemble particulier qui ne contient aucun élément.

  • Notation : On le note $\emptyset$ ou $\{\}$.

  • Cardinal de l'ensemble vide : Le cardinal de l'ensemble vide est égal à zéro, soit $\text{card}(\emptyset) = 0$.

  • Distinction essentielle :

  • $\{\emptyset\}$ n'est pas l'ensemble vide.

  • $\{\emptyset\}$ représente l'ensemble qui contient un élément, cet élément étant lui-même l'ensemble vide.

  • Par conséquent, $\text{card}(\{\emptyset\}) = 1$.

Intersection et Réunion de Deux Ensembles

• Intersection de deux ensembles :

  • Définition : Soit $A$ et $B$ deux ensembles. L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble constitué de tous les éléments qui appartiennent simultanément à l'ensemble $A$ et à l'ensemble $B$.

  • Notation : Notée $A \cap B$ (se lit "A inter B").

  • Condition d'appartenance : Un élément $x$ appartient à $A \cap B$ si et seulement si $x \in A$ et $x \in B$.

• Réunion de deux ensembles :

  • Définition : Soit $A$ et $B$ deux ensembles. La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble constitué de tous les éléments qui appartiennent à l'ensemble $A$ ou à l'ensemble $B$.

  • Notation : Notée $A \cup B$ (se lit "A union B").

  • Règle d'interprétation du "ou" en mathématiques :

  • En mathématiques, le mot "ou" est toujours inclusif.

  • L'expression "dans $A$ ou dans $B$" signifie que l'élément est :

    1. Soit uniquement dans $A$ ($x \in A$ et $x \notin B$) ;

    2. Soit uniquement dans $B$ ($x \in B$ et $x \notin A$) ;

    3. Soit dans les deux ensembles simultanément ($x \in A \cap B$).

Ensembles Disjoints et Formule du Cardinal de la Réunion

• Définition d'ensembles disjoints :

  • Deux ensembles $A$ et $B$ sont dits disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun.

  • Autrement dit, $A$ et $B$ sont disjoints si et seulement si leur intersection est égale à l'ensemble vide : A \cap B = \emptyset$.\n\n* **Formule générale du cardinal de la réunion** :\n * Pour deux ensembles quelconques A$et$B, le cardinal de leur réunion est donné par la formule :\n    \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)\n * **Explication** : Lors de l'addition \text{card}(A) + \text{card}(B)$, les éléments communs situés dans$A \cap B$sont comptés deux fois. La soustraction de$\text{card}(A \cap B) permet de corriger ce double comptage.\n * **Cas particulier des ensembles disjoints** : Si A$et$B$sont disjoints,$A \cap B = \emptyset$, donc$\text{card}(A \cap B) = 0. La formule devient alors :\n    \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B)$$

Inclusion d'Ensembles et Non-Inclusion

• Définition de l'inclusion :