Matematika za ekonomiste

PODUKE PLUS TEORIJA IZ MATEMATIKE

OPĆE INFORMACIJE

  • Namijenjeno studentima Ekonomskog fakulteta u Rijeci za pripremu završnog ispita

  • Autor: Tina Dragičević Maričić

DERIVACIJE

  • Definicija: Derivacija funkcije u nekoj točki je koeficijent smjera tangente na graf funkcije u toj točki. Derivacija je mjera brzine promjene funkcije uzrokovane malom promjenom argumenta.

  • Matematička definicija: Derivacija funkcije je funkcija čija je vrijednost u točki $x$ jednaka graničnoj vrijednosti omjera prirasta funkcije i prirasta nezavisne varijable, kada prirast nezavisne varijable teži nuli.

  • Uvjeti za derivaciju:

    • Da bi funkcija u nekoj točki imala derivaciju, nužan uvjet je da je u toj točki neprekidna.

    • Nije dovoljan uvjet - funkcija koja je neprekidna u nekoj točki ne mora imati derivaciju u toj točki.

Osobine derivacija

  1. Derivacija je izvedena funkcija. Originalna funkcija $y = f(x)$ naziva se primitivna funkcija, a derivacija označava drugu iz nje izvedenu funkciju.

  2. Zbog beskonačno male promjene varijable $x$ ($ riangle x o 0$), stopa koja se mjeri derivacijom po prirodi je trenutačna stopa promjene.

  3. Oznake:

    • Najčešća oznaka za derivaciju je $f'(x)$, što znači da je sama derivacija funkcija od $x$.

    • Alternativno označavanje $ rac{dy}{dx}$ se koristi da naglasi da vrijednost derivacije mjeri stopu promjene.

Pravila deriviranja

  • Derivacija zbroja/razlike: rac{d}{dx}(u + v) = u' + v' rac{d}{dx}(u - v) = u' - v'

    • Ovdje su $u$ i $v$ funkcije koje se razlikuju.

  • Derivacija konstante:
    rac{d}{dx}(c) = 0

  • Derivacija umnoška:
    rac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'

  • Derivacija kvocijenta:
    rac{d}{dx}igg( rac{u}{v}igg) = rac{u'v - uv'}{v^2}

Derivacije složene funkcije

  • Derivacija funkcije $y = f[u(x)]$ dobije se kao produkt derivacije funkcije $f$ po $u$ i derivacije funkcije $u$ po $x$:
    rac{dy}{dx} = f'[u(x)] rac{du}{dx}

Analiza derivacija

  • Prva derivacija:

    • Pozitivna prva derivacija i pozitivna druga derivacija znači da je nagib krivulje pozitivan i rastući.

    • Pozitivna prva derivacija s negativnom drugom derivacijom pokazuje da je nagib krivulje pozitivan, ali opadajući.

Tablica derivacija

$f(x)$

$f'(x)$

$x^n$

$n imes x^{n-1}$

$ ext{sin} x$

$ ext{cos} x$

$ ext{cos} x$

$- ext{sin} x$

$ ext{tg} x$

$ rac{1}{ ext{cos}^2 x}$

$ ext{ln} x$

$ rac{1}{x}$

$e^x$

$e^x$

FUNKCIJE

  • Definicija: Funkcija je postupak kojim se svakom elementu domene pridružuje točno jedan element kodomene.

  • Domena (D): Područje definicije funkcije

  • Kodomena (K): Područje vrijednosti funkcije

  • Konvergencija: Funkcija konvergira u nekoj točki ako u njoj ima konačni limes, a divergira ako je limes beskonačan ili ga nema.

Podjela funkcija

  1. Algebarske funkcije:

    • Cijele racionalne funkcije ili polinomi:

      • Polinom 1. stupnja ili linearna funkcija

      • Polinom 2. stupnja ili kvadratna funkcija

      • Polinom 3. stupnja ili kubna funkcija

    • Razlomljene racionalne funkcije – kvocijenti dvaju polinoma

    • Iracionalne funkcije – nezavisna varijabla $x$ nalazi se barem jednom pod korijenom.

  2. Transcedentne funkcije:

    • Eksponencijalne funkcije

    • Logaritamske funkcije

    • Trigonometrijske funkcije – sinus, kosinus, tangens i kotangens.

    • Ciklometrijske funkcije – arcus sinus, arcus kosinus, arcus tangens i arcus kotangens.

Vrste funkcija

  • Surjekcija (preslikavanje): slika domene $A$ je upravo kodomena $B$.

  • Injekcija: funkcija preslikava različite elemente iz domene u različite elemente kodomene.

  • Bijekcija: funkcija koja je i surjekcija i injekcija.

ASIMPTOTE FUNKCIJE

  • Definicija: Pravac zovemo asimptotom funkcije ako se, pod pretpostavkom da barem jedna koordinata teži prema $ orall$ ili $- orall$, promatrana funkcija približava tom pravcu.

Tipovi asimptota

  1. Vertikalna:
    ext{lim}_{x o a} f(x) = rac{± orall}{ ext{}} o x = a

  2. Horizontalna:
    ext{lim}_{x o orall} f(x) = c o y = c

  3. Kosa:
    k = ext{lim}{x o orall} rac{f(x)}{x} o y = kx + l, ext{ gdje } l = ext{lim}{x o orall} [f(x) - kx]

Parnost i neparnost funkcije

  • Parna funkcija: ako je zamjenom $x$ sa $-x$ rezultat isti.

  • Neparna funkcija: ako nakon zamjene $x$ sa $-x$ dobijemo minus funkcije.

  • Nijedna: ni parna ni neparna ako ne dobijemo istu funkciju ni nakon zamjene.

Ekstremi funkcije

  • Definicija: Ekstremi funkcije podrazumijevaju minimum ili maksimum neke funkcije.

  • Postupak za traženje ekstrema:

    1. Pronaći 1. derivaciju i izjednačiti brojnik s nulom da bismo dobili stacionarne točke (kandidati za ekstrem).

    2. Pronaći 2. derivaciju i uvrstiti stacionarne točke:

    • Ako je rješenje $> 0
      ightarrow$ minimum

    • Ako je rješenje $< 0
      ightarrow$ maksimum

    1. Uvrstiti stacionarne točke u početnu funkciju da bismo dobili $y$.

Točke infleksije i konkavnost/konveksnost

  • Točka infleksije ili prijevoj je točka u kojoj krivulja prelazi iz konkavnog u konveksni oblik ili obratno. Dovoljan uvjet za postojanje infleksije je:

    1. Derivacija prve derivacije (tj. druga derivacija početne funkcije) mora biti jednaka nuli.

    2. Druga derivacija prve derivacije, tj. treća derivacija početne funkcije, mora biti različita od nule.

MATRICE

  • Definicija: Matrica je pravokutna shema elemenata poredanih u $m$ redaka i $n$ stupaca. Zapisujemo je kao $A = egin{pmatrix} a{11} & a{12} & ext{…} \ a{21} & a{22} & ext{…} \ ext{…} & ext{…} & ext{…} \ a{m1} & a{m2} & ext{…} \ ext{…} ext{…} ext{…} \ ext{…} ext{…} ext{…} \ ext{…} ext{…} ext{…} \ ext{…} ext{…} ext{…} \ ext{…} ext{…} ext{…} \ ext{Evo zapišite detalje.} ext{…} ext{…} \ ext{Evo zapišite detalje.} ext{…}\text{…} ext{…} ext{…} ext{…} ext{…} ext{…} \, ext{1 0 1 1} \ ext{…} ext{Evo zapišite detalje.} ext{…} ext{…} ext{1 0 1 0} \ ext{Evo zapišite detalje.} ext{…} \ ext{…} ext{…} ext{…} \ ext{…} ext{…} ext{…} \ \text{…} ext{…} ext{…} \ ext{…} ext{…} \ \ ext{…} ext{…} \ }$