Composition d'un Système Initial : La Mole dans les Analyses Sanguines

Organisation du Programme et Contexte d'Étude

• Discipline : Spécialité Physique-Chimie (Classe de Première).

• Thème 1 : Constitution et transformations de la matière.

• Partie 1 : Suivi de l'évolution d'un système, siège d'une transformation.

• Chapitre 1 : Composition d'un système initial.

• Activité 1 : La mole dans les analyses sanguines.

• Domaine d'application : Utilisation de la quantité de matière et du concept de mole dans les domaines de la chimie générale, de l'analyse biologique et de la médecine.

Données Physico-Chimiques et Constantes Fondamentales

• Constante d'Avogadro : $N_A = 6,02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$

• Masse d'un nucléon : $m_n = 1,67 \times 10^{-24}\,\text{g}$

• Masse d'un électron : $m_e = 9,11 \times 10^{-28}\,\text{g}$

• Propriétés de l'atome de calcium ($Ca$) :

  • Nombre de nucléons : $A = 40$

  • Nombre d'électrons : $Z = 20$

• Masses molaires atomiques de référence :

  • Hydrogène ($H$) : $M(H) = 1,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

  • Carbone ($C$) : $M(C) = 12,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

  • Azote ($N$) : $M(N) = 14,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

  • Oxygène ($O$) : $M(O) = 16,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

Caractéristiques des Espèces Chimiques Analyisées dans le Sang

• Ion Calcium ($Ca^{2+}$) :

  • Forme réelle de l'élément calcium dans le sang : Ion calcium $Ca^{2+}$.

  • Concentration molaire mesurée : $2,48\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$

  • Concentration massique mesurée : $99,20\,\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$

  • Valeurs recommandées (VR) : De $2,15\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$ à $2,55\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$

• Acide Urique ($C_5H_4N_4O_3$) :

  • Nature : Molécule de formule brute $C_5H_4N_4O_3$.

  • Pathologies associées : Sa présence en concentrations anormales est liée à l'hypertension, aux calculs rénaux ou au diabète.

  • Concentration molaire mesurée : $250,0\,\mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$

  • Concentration massique mesurée : $42,0\,\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$

  • Valeurs recommandées (VR) : $< 339\,\mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$

• Cholestérol ($C_{27}H_{46}O$) :

  • Nature : Lipide de formule brute $C_{27}H_{46}O$.

  • Pathologies associées : Molécule dont la présence est liée à l'hypertension, aux calculs rénaux ou au diabète.

  • Concentration massique mesurée : $2,02\,\text{g}\cdot\text{L}^{-1}$

  • Valeurs recommandées (VR) : $< 5,28\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$

Définitions et Formules Théoriques

• Masse molaire d'une espèce chimique ($M$) :

  • Définition : Masse d'une mole de cette espèce chimique.

  • Unité usuelle : $\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

• Concentration en masse ou concentration massique ($C_m$) :

  • Définition : Masse de soluté dissoute par unité de volume de solution.

  • Relation : $C_m = \frac{m}{V}$

  • Unité usuelle : $\text{g}\cdot\text{L}^{-1}$ (ou $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$)

• Concentration en quantité de matière ou concentration molaire ($C$) :

  • Définition : Quantité de matière de soluté présente par unité de volume de solution.

  • Relation : $C = \frac{n}{V}$

  • Unité usuelle : $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ (ou $\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$, $\mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$)

• Relation entre concentration massique $C_m$ et concentration molaire $C$ :

  • Formule : $C_m = C \times M$

  • Démonstration théorique : Sachant que $m = n \times M$, l'injection de cette égalité dans l'expression de la concentration massique donne $C_m = \frac{m}{V} = \frac{n \times M}{V} = \left(\frac{n}{V}\right) \times M = C \times M$

  • Expressions dérivées : $C = \frac{C_m}{M}$ et $M = \frac{C_m}{C}$

Exploitation Détaillée et Résolution des Problèmes

1. Quantité de matière, masse et masse molaire dans un litre de sang (S'approprier)

• Données pour un volume $V = 1,00\,\text{L}$ de sang de la patiente :

• Calcium :

  • Quantité de matière $n(Ca^{2+}) = 2,48\,\text{mmol} = 2,48 \times 10^{-3}\,\text{mol}$

  • Masse $m(Ca^{2+}) = 99,20\,\text{mg} = 9,920 \times 10^{-2}\,\text{g}$

  • Masse molaire calculée $M(Ca^{2+}) = \frac{m}{n} = \frac{9,920 \times 10^{-2}\,\text{g}}{2,48 \times 10^{-3}\,\text{mol}} = 40,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

• Acide urique :

  • Quantité de matière $n(C_5H_4N_4O_3) = 250,0\,\mu\text{mol} = 2,500 \times 10^{-4}\,\text{mol}$

  • Masse $m(C_5H_4N_4O_3) = 42,0\,\text{mg} = 4,20 \times 10^{-2}\,\text{g}$

  • Masse molaire calculée $M(C_5H_4N_4O_3) = \frac{m}{n} = \frac{4,20 \times 10^{-2}\,\text{g}}{2,500 \times 10^{-4}\,\text{mol}} = 1,68 \times 10^2\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = 168\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

• Tableau synthétique en écriture scientifique et chiffres significatifs :

• Calcium : Quantité de matière $n = 2,48 \times 10^{-3}\,\text{mol}$ | Masse $m = 9,920 \times 10^{-2}\,\text{g}$ | Masse molaire $M = 40,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

• Acide urique : Quantité de matière $n = 2,500 \times 10^{-4}\,\text{mol}$ | Masse $m = 4,20 \times 10^{-2}\,\text{g}$ | Masse molaire $M = 1,68 \times 10^2\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

2. Étude Microscopique et Macroscopique de l'Ion Calcium (Réaliser)

• Nombre d'électrons dans l'ion $Ca^{2+}$ :

• L'atome neutre de calcium ($Ca$) possède $20$ électrons ($Z = 20$).

• L'ion $Ca^{2+}$ porte deux charges positives, ce qui indique la perte de $2$ électrons.

• Nombre d'électrons de $Ca^{2+} = 20 - 2 = 18$ électrons.

• Calcul de la masse d'un ion calcium $Ca^{2+}$ :

• Relation : $m(\text{ion } Ca^{2+}) = A \times m_n + (Z - 2) \times m_e$

• Masse due aux nucléons : $40 \times 1,67 \times 10^{-24}\,\text{g} = 6,68 \times 10^{-23}\,\text{g}$

• Masse due aux électrons : $18 \times 9,11 \times 10^{-28}\,\text{g} = 1,6398 \times 10^{-26}\,\text{g}$

• Masse totale de l'ion : $m(\text{ion } Ca^{2+}) = 6,68 \times 10^{-23}\,\text{g} + 1,6398 \times 10^{-26}\,\text{g} \approx 6,68 \times 10^{-23}\,\text{g}$

• Calcul de la masse molaire de l'ion calcium $M(Ca^{2+})$ :

• Relation : $M(Ca^{2+}) = m(\text{ion } Ca^{2+}) \times N_A$

• Calcul : $M(Ca^{2+}) = 6,68 \times 10^{-23}\,\text{g} \times 6,02 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1} = 40,2\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

• Comparaison avec la masse molaire de l'atome de calcium et conclusion :

• La masse des électrons est négligeable devant celle des nucléons constituant le noyau.

• Ainsi, la masse molaire d'un ion monoatomique est virtuellement identique à la masse molaire de son atome correspondant : $M(Ca^{2+}) \approx M(Ca)$. La perte d'électrons ne modifie pas la masse molaire de manière significative.

3. Composition et Masse Molaire de l'Acide Urique (Réaliser)

• Composition atomique d'une molécule d'acide urique ($C_5H_4N_4O_3$) :

• $5$ atomes de carbone ($C$)

• $4$ atomes d'hydrogène ($H$)

• $4$ atomes d'azote ($N$)

• $3$ atomes d'oxygène ($O$)

• Quantités de matière des éléments pour une mole d'acide urique :

• $5\,\text{mol}$ d'atomes de carbone

• $4\,\text{mol}$ d'atomes d'hydrogène

• $4\,\text{mol}$ d'atomes d'azote

• $3\,\text{mol}$ d'atomes d'oxygène

• Expression et calcul de la masse molaire de l'acide urique $M(C_5H_4N_4O_3)$ :

• Expression littérale : $M(C_5H_4N_4O_3) = 5 \times M(C) + 4 \times M(H) + 4 \times M(N) + 3 \times M(O)$

• Calcul numérique : $M(C_5H_4N_4O_3) = 5 \times 12,0 + 4 \times 1,0 + 4 \times 14,0 + 3 \times 16,0$

• Détail des termes : $M(C_5H_4N_4O_3) = 60,0 + 4,0 + 56,0 + 48,0 = 168,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

4. Définitions des Concentrations et de leur Relation (Réaliser)

• Concentration en masse $C_m$ : Mêmes caractéristiques et unité ($\text{g}\cdot\text{L}^{-1}$) définies dans la section théorique.

• Concentration molaire $C$ : Mêmes caractéristiques et unité ($\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$) définies dans la section théorique.

• Relation mathématique : $C_m = C \times M$

5. Évaluation du Taux de Cholestérol de la Patiente (Analyser-Raisonner)

• Données de l'analyse :

• Concentration massique mesurée : $C_m = 2,02\,\text{g}\cdot\text{L}^{-1}$

• Valeur recommandée : $C < 5,28\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$

• Formule brute du cholestérol : $C_{27}H_{46}O$

• Calcul de la masse molaire du cholestérol $M(C_{27}H_{46}O)$ :

• $M(C_{27}H_{46}O) = 27 \times M(C) + 46 \times M(H) + 1 \times M(O)$

• $M(C_{27}H_{46}O) = 27 \times 12,0 + 46 \times 1,0 + 16,0$

• $M(C_{27}H_{46}O) = 324,0 + 46,0 + 16,0 = 386,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$

• Calcul de la concentration molaire $C$ du cholestérol chez la patiente :

• $C = \frac{C_m}{M(C_{27}H_{46}O)} = \frac{2,02\,\text{g}\cdot\text{L}^{-1}}{386,0\,\text{g}\cdot\text{mol}^{-1}} \approx 5,233 \times 10^{-3}\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1} = 5,23\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$

• Justification et conclusion médicale :

• La concentration molaire en cholestérol de la patiente est égal à $5,23\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$.

• La valeur maximale recommandée est $5,28\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$.

• Comme $5,23\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1} < 5,28\,\text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$, le sang de la patiente est bien en dessous de la valeur recommandée pour le cholestérol.

• ## 6. Méthodes de Détermination de la Masse Molaire d'une Espèce Chimique (Valider)

  • Pour un atome :

  • Méthode microscopique : Multiplication de la masse d'un seul atome par la constante d'Avogadro ($M = m_{\text{atome}} \times N_A \approx A \times m_n \times N_A$).

  • Méthode directe : Consultation de la masse molaire atomique dans le tableau périodique des éléments.

  • Pour un ion monoatomique :

  • La masse des électrons perdus ou gagnés étant négligeable devant celle du noyau, la masse molaire de l'ion monoatomique est égale à celle de l'atome correspondant ($M(\text{ion}) \approx M(\text{atome})$).

  • Pour une molécule ou un ion polyatomique :

  • Méthode de la formule brute (additionnelle) : Somme des masses molaires atomiques de l'ensemble des atomes composant la molécule ($M = \sum_i k_i \times M_i$).

  • Méthode macroscopique expérimentale : Utilisation des formules $M = \frac{m}{n}$ ou $M = \frac{C_m}{C}$ à partir de mesures de masse, de volume ou de concentrations.