Geometrie-Kompetenzen Zusammenfassung

Geometrie-Kompetenzen GLF-Prüfung Mathematik TALS – Teil 1

Dreiecke

• Fläche:
  • $A = \frac{g \cdot h}{2}$
  • g: Grundseite
  • h: dazugehörende Höhe
• Innen-Winkelsumme:
  • $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$
• Linien im Dreieck:
  • Höhe: Abstand eines Punktes zur gegenüberliegenden Seite
    • $h<em>a, h</em>b, h_c$
    • H = Höhenschnittpunkt
  • Schwerlinie: Seitenhalbierende
    • $s<em>a, s</em>b, s_c$
    • S = Schwerpunkt
    • Der Schwerpunkt S teilt jede Schwerlinie im Verhältnis 2:1.
  • Mittelsenkrechte
    • $m<em>a, m</em>b, m_c$
    • Umkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
  • Winkelhalbierende
    • $w<em>\alpha, w</em>\beta, w_\gamma$
    • Inkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
• Spezielle Dreiecke
  • Gleichschenklige Dreiecke
    • gleich lange Schenkel
    • Grundlinie = Basis
    • gleiche Basiswinkel
  • Gleichseitige Dreiecke
    • Höhe = Schwerlinie = Winkelhalbierende = Mittelsenkrechte
    • $h = \frac{s \sqrt{3}}{2}$
    • Fläche: $A = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$

Rechtwinklige Dreiecke

• Fläche: $A = \frac{a \cdot b}{2}$
• Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$
• 30°-60°-Dreiecke:Seitenverhältnisse: $1 : 2 : \sqrt{3}$

Vierecke

• Innen-Winkelsumme: $360^{\circ}$
• Quadrat
  • Diagonale: $d = s \sqrt{2}$
  • Fläche: $A = s^2$
• Rechteck
  • Diagonale: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$
  • Fläche: $A = a \cdot b$
• Rhombus = Raute
  • vier gleich lange Seiten
  • gegenüberliegende Seiten sind parallel
  • Diagonalen schneiden sich rechtwinklig
  • Fläche: $A = \frac{e \cdot f}{2}$ oder $A = s \cdot h$
• Rhomboid = Parallelogramm
  • Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
  • Fläche: $A = g \cdot h$
• Trapez
  • Zwei Seiten sind parallel.
  • a: Grundseite, c: Deckseite
  • Mittellinie: $m = \frac{a + c}{2}$
  • Fläche: $A = m \cdot h = \frac{a + c}{2} \cdot h$
• Reguläre n-Ecke (regelmässige n-Ecke)
  • alle Seiten gleich lang
  • gleiche Innenwinkel
  • gleiche Zentriwinkel
  • sowohl Um- als auch Inkreis.
  • Zentriwinkel: $\beta = \frac{360^{\circ}}{n} = \frac{2 \pi}{n}$

Kreis und Kreisteile

• Kreisumfang: $U = 2 \pi r$
• Kreisfläche: $A = \pi r^2$
• r: Radius
• d: Durchmesser
• Z: Zentrum (Mittelpunkt)
• Bogenlänge: $b = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$
• Kreissektor: $A_{\text{Sektor}} = \frac{\alpha}{360} \pi r^2$
• Kreissegment: $A<em>{\text{Segment}} = A</em>{\text{Sektor}} - A_{\text{Dreieck}}$
  • für 0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}

Ähnlichkeit

• 1. Strahlensatz: $a : b : c = a' : b' : c'$
  • $a : b = a' : b'$
• 2. Strahlensatz: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}$
• Ähnliche Figuren
  • k: Streckungsfaktor
  • entsprechende Winkel sind gleich
  • $\frac{a'}{a} = k \Leftrightarrow \frac{A'}{A} = k^2$

Winkelmass

• Winkel können im Gradmass (DEG) oder im Bogenmass (RAD) gemessen werden.
• Für den vollen Winkel gilt im Gradmass : $360^{\circ}$
• Für den vollen Winkel gilt im Bogenmass: $2 \pi$
• Umrechnung:
  • $\frac{\alpha<em>{\text{Gradmass}}}{180^{\circ}} = \frac{\alpha</em>{\text{Bogenmass}}}{\pi}$

Definitionen im rechtwinkligen Dreieck

• $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{G}{H}$
• $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{A}{H}$
• $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{G}{A}$
• $\arcsin, \arccos, \arctan$
• Einheitskreis
• Spezielle Winkel
• Die exakten Sinus-, Kosinus- und Tangens-Werte der folgenden Winkel müssen auswendig bekannt sein oder am Einheitskreis hergeleitet werden können: $0^{\circ}$, $30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$ und $90^{\circ}$.
• Sinusfunktion
  • Beliebiger Punkt auf dem Graphen:
    • x-Koordinate = Winkelgrösse (Grad- oder Bogenmass)
    • y-Koordinate = Sinus von α
• Cosinusfunktion
  • Beliebiger Punkt auf dem Graphen:
    • x-Koordinate = Winkelgrösse (Grad- oder Bogenmass)
    • y-Koordinate = Cosinus von α
• Tangensfunktion
  • Beliebiger Punkt auf dem Graphen:
    • x-Koordinate = Winkelgrösse (Grad- oder Bogenmass)
    • y-Koordinate = Tangens von α