Fysikk Kap 3 (Gravitasjon)

Historiske Verdensbilder og Utviklingen av Gravitasjonsloven

  • Det geosentriske verdensbildet:     

    • Rådende fram til middelalderen.     

    • Jorda ble ansett som sentrum i universet, med sola, planetene og stjernene i bane rundt seg.     

    • Observasjoner av stjerner som beveget seg i sirkler på nattehimmen støttet dette synet.     

    • Sirkelen ble sett på som den perfekte formen, og himmellegemene ble ansett som guddommelige.

  • Retrograd bevegelse og episirkler:     

    • Planeter fulgte ikke enkle sirkelbaner; de kunne tilsynelatende ta et steg tilbake («krøll» på banen).     

    • Dette kalles retrograd bevegelse.     

    • For å forklare dette innen det geosentriske systemet, innførte man episirkler: mindre sirkler der sentrum fulgte en større sirkelbane.     

    • Eksempel: Mars: Mars går i bane utenfor jorda med lavere fart (et år varer i 685685 dager). Jorda tar «innersvingen» på Mars, noe som får Mars til å se ut som om den skifter retning fra øst mot vest sammenliknet med stjernehimmelen.

  • Det heliosentriske verdensbildet:     

    • Nicolaus Kopernikus (1473–1543): Fremmet ideen om at sola var sentrum, men møtte stor motstand fra kirken.     

    • Galileo Galilei (1564–1642): Utviklet teleskopet og knuste det geosentriske bildet gjennom observasjoner:         

      • Jupiter hadde måner (bevegelse rundt andre legemer enn jorda).         

      • Månen hadde fjell og kratre (ingen perfekt guddommelig kule).         

      • Venus' faser: Venus har faser som månen, noe som var umulig å forklare hvis den beveget seg i en bane mellom jorda og sola slik det geosentriske bildet foreslo. Ved full Venus er den mer enn 66 ganger lenger unna jorda enn når den er «ny».

Newtons Gravitasjonslov

  • Grunnprinsipp: Newton postulerte at de samme fysiske lovene gjelder i hele universet. Kraften som får et eple til å falle, er den samme som holder månen i bane.

  • Utvikling av loven:     

    • Robert Hooke tipset Newton om å undersøke en kraft omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden (1/r21/r^2).     

    • Newton viste at dette resulterte i ellipsebaner, som stemte med observasjoner.     

    • Ifølge Galilei faller alle gjenstander med samme akselerasjon uavhengig av masse. For at dette skal stemme med Newtons 2. lov, må gravitasjonskraften være proporsjonal med massen til gjenstanden.

  • Definisjon: Newtons gravitasjonslov:     

    • Når to gjenstander med massene m1m_1 og m2m_2 er i avstanden rr fra hverandre, tiltrekker de hverandre med en gravitasjonskraft GG:     

    • G=γ⋅m1m2r2G=\gamma\cdot\frac{m_1m_2}{r^2}     

    • γ\gamma er gravitasjonskonstanten: γ=6,67×10−11 Nm2/kg2\gamma = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{Nm}^2/\text{kg}^2.     

    • Avstanden rr regnes fra sentrum til sentrum for himmellegemer.

  • Egenskaper ved kraften:     

    • Gravitasjon er en universell, men svært svak kraft. To masser på 1 kg1\,\text{kg} med 1 meter1\,\text{meter} avstand tiltrekker hverandre med kun 6,67×10−11 N6,67 \times 10^{-11}\,\text{N}.     

    • Eksempel: Elever i klasserommet: To elever på 60 kg60\,\text{kg} med 1,0 m1,0\,\text{m} avstand har en tiltrekningskraft på:     G=γ⋅m1m2r2=6,67⋅10−11⋅60⋅601,02 N=2,4⋅10−7 NG=\gamma\cdot\frac{m_1m_2}{r^2}=6,67\cdot10^{-11}\cdot{\frac{60\cdot60}{1,0^2}}\,\text{N}=2,4\cdot10^{-7}\,\text{N}     

    • Jorda flytter seg faktisk ørlite oppover når du hopper ned fra en stol på grunn av Newtons 3. lov.

  • Måling av gravitasjonskonstanten:     

    • Newton kjente ikke verdien til γ\gamma. Henry Cavendish målte den først i 1797 ved bruk av en torsjonsvekt (lette kuler på en stav i en tynn metalltråd med speil) for å måle ekstremt små dreiningsvinkler forårsaket av blykuler.

Gravitasjonsfeltstyrke

  • Definisjon: Gravitasjonsfelt:     

    • Et område der det virker gravitasjonskrefter på gjenstander med masse.

  • Feltlinjer:     

    • Viser retningen til feltet (mot sentrum av massen).     

    • Tetthet: Illustrerer styrke. Tettere linjer betyr sterkere felt.     

    • Inhomogent felt: Radielle linjer inn mot en kule (f.eks. jorda), der styrken avtar med avstanden.     

    • Homogent felt: Parallelle linjer med lik tetthet (tilnærming nær jordoverflaten).

  • Formler for feltstyrke (gg):     

    • Fra Newtons 2. lov (G=mgG = mg): g=Gmg=\frac{G}{m} .     

    • Ved å sette inn gravitasjonsloven: g=Gm=γ⋅Mmr2m=γMmr2⋅m=γMr2g=\frac{G}{m}=\frac{\gamma\cdot\frac{Mm}{r^2}}{m}=\gamma\frac{Mm}{r^2\cdot m}=\gamma\frac{M}{r^2} .     

    • Enhet: N/kg\text{N/kg} eller m/s2\text{m/s}^2.

  • Eksempel: ISS (International Space Station):     

    • ISS befinner seg ca. 385 km385\,\text{km} over jordoverflaten (r=6371+385 kmr = 6371 + 385\,\text{km}).     

    • giss=8,73 m/s2g_{iss}=8,73\,\text{m/s}^2 . Dette er 89 %89\,\% av verdien ved jordoverflaten (9,81 m/s29,81\,\text{m/s}^2).

  • Tidevann:     

    • Skyldes at månen trekker med ulik kraft på vannet på de to sidene av jorda.     

    • Eksempel: Forskjellen i kraft fra månen på 1,00 kg1,00\,\text{kg} vann er 3,44×10−5 N3,44 \times 10^{-5}\,\text{N} på nær side og 3,22×10−5 N3,22 \times 10^{-5}\,\text{N} på fjern side. Dette skaper vannstandsvariasjoner som i Fundy bay (over 15 meter15\,\text{meter}).

Sirkelbevegelse i gravitasjonsfelt

  • Satellitter:     

    • Ledsagere eller tjenere. Naturlige (måner) eller kunstige (f.eks. Sputnik, oppskutt i 1957).

  • Newtons tankeeksperiment (Kanonen på fjellet):     

    • En kanon skyter prosjektiler med økende fart. Jo høyere fart, jo lenger faller de.     

    • Ved en bestemt fart vil krumningen på kastebanen tilsvare krumningen på planeten. Prosjektilet faller da «rundt» planeten i evig fritt fall.

  • Sirklingsfart (vv):     

    • Utledet ved å sette gravitasjonskraften lik sentripetalkraften (G=masG = m a_s):     G=mas⇔γ⋅Mmr2=m⋅v2r→vγMrG=ma_{s}\lrArr\gamma\cdot\frac{Mm}{r^2}=m\cdot\frac{v^2}{r}\rightarrow v\sqrt{\frac{\gamma M}{r}}     

    • For ISS (408 km408\,\text{km} høyde) er farten ca. 7,67 km/s7,67\,\text{km/s}.

  • Omløpstid (TT):     

    • G=masG=ma_{s}

    • γMmr2=m4π2rT2\gamma\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}

    • γMr2=4π2rT2⇔T2=4π2r3γM⇔T2=4π2r3γM\gamma\frac{M}{r^2}=\frac{4\pi^2r}{T^2}\lrArr T^2=\frac{4\pi^2r^3}{\gamma M}\lrArr T^2=\sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{\gamma M}}     

    • ISS bruker ca. 93 minutter93\,\text{minutter} (1,5 timer1,5\,\text{timer}) på én runde.

  • Beregning av sentrallegemets masse:     

    • Hvis man kjenner baneradius (rr) og omløpstid (TT) til en satellitt, kan massen til planeten/stjerna (MM) beregnes:     ΣF=ma⇔γMmr2=m4π2rT2⇔M=4π2r3γT2\Sigma F=ma\lrArr\gamma\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}\lrArr M=\frac{4\pi^2r^3}{\gamma T^2}     

    • Dette brukes til å finne massen til Mars (via månen Deimos) eller sorte hull (f.eks. Sagittarius A* i Melkeveien).

  • Mørk materie:     

    • Vera Rubin: Oppdaget at banefarten til de ytterste stjernene i galakser var for høy i forhold til den synlige massen.     

    • Dette indikerte eksistensen av usynlig «mørk materie».     

    • Gravitasjonslinsing: Teknikk for å kartlegge masse ved å se hvordan lys avbøyes (f.eks. «The bullet cluster», der blå områder viser mørk materie).

Energi i gravitasjonsfelt

  • Potensiell energi (EpE_p):     

    • Definert som arbeidet gravitasjonskraften gjør når en gjenstand flyttes fra rr til nullnivået.     

    • Nullnivå: Ved inhomogene felt velges nullnivået uendelig langt unna (r=∞r = \infty).   

    • Formel: Ep=−γMmrE_p = -\frac{\gamma M m}{r}. Verdien er alltid negativ og øker mot null når rr øker.

  • Total mekanisk energi (EE):     

    • E=Ek+Ep=12mv2−γMmrE=E_{k}+E_{p}=\frac12{}mv^2-\frac{\gamma M m}{r} .     

    • Dersom kun gravitasjonen gjør arbeid, er energien bevart.     

    • For ISS er totalenergien ca. −1,30×1013 J-1,30 \times 10^{13}\,\text{J}. At den er negativ betyr at den er «bundet» til gravitasjonsfeltet.

  • Unnslippingsfart (v0v_0):     

    • Den minste farten som trengs for at en gjenstand skal forlate et gravitasjonsfelt helt (farten går mot null når rr går mot uendelig).     

    • Oppnås når total mekanisk energi er lik null (E=0E = 0):    

    • Ek+EP=0E_{k}+E_{P}=0

    • 12mv02−γMmr=0\frac12{}mv_0^2-\frac{\gamma M m}{r}=0

    • 12mv02=γMmr\frac12mv_0^2=\gamma\frac{Mm}{r}

    • v0=2γMrv_0=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r}}

    • Verdier: For jorda er v0=11,2 km/sv_0 = 11,2\,\text{km/s}. For asteroiden Ceres (M=9,4×1020 kgM = 9,4 \times 10^{20}\,\text{kg}, r=470 kmr = 470\,\text{km}) er farten mye lavere.     

    • Unnslippingsfarten er uavhengig av gjenstandens egen masse.

Programmering og Simulering

  • Numerisk løsning (Euler-metoden):     

    • For å simulere baner brukes små tidssteg (dtdt).     

    • Akselerasjonen beregnes ved hjelp av en enhetsvektor (er=−r/∣r∣e_r = -\mathbf{r} / |\mathbf{r}|) for å gi riktig retning mot sentrum:         

      • 1. Beregn kraften: Gabs=γmM∣r∣2G_{abs} = \frac{\gamma m M}{|r|^2}.         

      • 2. Finn akselerasjonsvektor: a=Gm\mathbf{a} = \frac{\mathbf{G}}{m}.        

      •  3. Oppdater fart: v=v+a×dt\mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{a} \times dt.         

      • 4. Oppdater posisjon: r=r+v×dt\mathbf{r} = \mathbf{r} + \mathbf{v} \times dt.     

      • Denne metoden kan vise at baner ofte er ellipser med sentrallegemet i det ene brennpunktet.

Spørsmål og Diskusjon

  • Hvorfor treffer ikke månen jorda? Den har så stor fart at den hele tiden «bommer» på jorda mens den faller.

  • Hvorfor opplever astronauter vektløshet når gravitasjonen er 89 %89\,\% av jordas? Fordi både romstasjonen og astronautene er i fritt fall; det er ingen normalkraft som virker på dem.

  • Hvilket verdensbilde er mest praktisk i koding? I simuleringseksempelet brukes et geosentrisk koordinatsystem (jorda i origo) for enkelhets skyld.

  • Hva skjer hvis startfarten er lavere enn unnslippingsfarten? Gjenstanden vil nå en maksimal høyde og falle tilbake.

  • Kan kinetisk energi være negativ? Nei, kinetisk energi (12mv2\frac{1}{2}mv^2) er alltid positiv eller null.

Formelsamling

Gravitasjonsloven

  • Formel:G=γm1m2r2G=\gamma\frac{m_1 m_2}{r^2}

  • Brukes til: Beregning av gravitasjonskraften mellom to masser.
      - GG: Gravitasjonskraften
      - m1,m2m_1, m_2: Massene til de to objektene
      - rr: Avstanden mellom sentrene av de to massene

    • γ\gamma = Gravitasjonskonstanten: γ=6,67×10−11 Nm2/kg2\gamma = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{Nm}^2/\text{kg}^2.     

Gravitasjonsfeltstyrke

  • Formel:g=Gmg = \frac{G}{m}

  • Brukes til: Forholdet mellom gravitasjonskraft og masse.
      - gg: Gravitasjonsfeltstyrken
      - GG: Gravitasjonskraft
      - mm: Masse til objektet som opplever feltet

Potensiell energ i gravitasjonsfelt

  • Formel:Ep=−γMmrE_{p}=-\frac{\gamma Mm}{r}

  • Brukes til: Beregning av potensiell energi i et gravitasjonsfelt.
      - EpE_p: Potensiell energi
      - γ\gamma : Gravitasjonskonstanten: γ=6,67×10−11 Nm2/kg2\gamma = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{Nm}^2/\text{kg}^2.     
      - MM: Massen til det sentrale objektet
      - mm: Massen til objektet med potensiell energi
      - rr: Avstanden fra objektet til sentrum av massen

Unnslippingsfart

  • Formel:

                      E=0E=0

         Ek+EP=0E_{k}+E_{P}=0

 12mv02−γMmr=0\frac12{}mv_0^2-\frac{\gamma M m}{r}=0

               12mv02=γMmr\frac12mv_0^2=\gamma\frac{Mm}{r}

                      v0=2γMrv_0=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r}}

  • Brukes til: Beregning av minimumshastigheten en gjenstand trenger for å forlate gravitasjonsfeltet.
      - v0v_0: Unnslippingsfart
      - GG: Gravitasjonskonstant
      - MM: Massen til det sentrale objektet
      - rr: Avstand fra objektet til sentrum av massen.

Omløpstid (TT):     

  • Formelen:

        G=masG=ma_{s}

  γMmr2=mv2r\gamma\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}

  γMmr2=m4π2rT2\gamma\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}

     γMr2=4π2rT2⇔T2=4π2r3γM⇔T=4π2r3γM\gamma\frac{M}{r^2}=\frac{4\pi^2r}{T^2}\lrArr T^2=\frac{4\pi^2r^3}{\gamma M}\lrArr T=\sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{\gamma M}}     

         T=4π2r3γMT=\sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{\gamma M}}

  • Brukes til: Beregne perioden for en satellitt i en sirkelbane rundt en planet.

    • TT= Perioden til en satellitt i en sirkelbane

    • MM= Massen til det sentrale objektet

    • rr= Avstanden fra objektet til sentrum av massen

    • γ\gamma= Gravitasjonskonstanten: γ=6,67×10−11 Nm2/kg2\gamma = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{Nm}^2/\text{kg}^2.     

Feltstyrkke:

  • Brukes for å finne tyngdekreften på forskjelige planeter.

  • Fra Newtons 2. lov (G=mgG = mg): g=Gmg=\frac{G}{m} .

    • g=Gm=γ⋅Mmr2m=γMmr2⋅m=γMr2g=\frac{G}{m}=\frac{\gamma\cdot\frac{Mm}{r^2}}{m}=\gamma\frac{Mm}{r^2\cdot m}=\gamma\frac{M}{r^2}

    • g=γMr2g=\gamma\frac{M}{r^2}  

      • γ\gamma= Gravitasjonskonstanten: γ=6,67×10−11 Nm2/kg2\gamma = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{Nm}^2/\text{kg}^2.     

      • MM= Massen til det sentrale objektet

      • rr= Avstanden fra objektet til sentrum av massen

      • gg= f.eks. 9,819,81m/s² på jorda

  • Enhet: N/kg\text{N/kg} eller m/s2\text{m/s}^2.

Sirklingsfart/Banefarten(vv):     

  • Utledet ved å sette gravitasjonskraften lik sentripetalkraften (G=masG = m a_s):

      G=masG=ma_{s}     

γMmr2=mv2r\gamma\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}

       v=γMrv=\sqrt{\frac{\gamma M}{r}}

  • γ\gamma= Gravitasjonskonstanten: γ=6,67×10−11 Nm2/kg2\gamma = 6,67 \times 10^{-11}\,\text{Nm}^2/\text{kg}^2.     

  • MM= Massen til det sentrale objektet

  • rr= Avstanden fra objektet til sentrum av massen