8th. math

Conceptos de Ecuaciones Lineales y sus Soluciones

Introducción a las Ecuaciones Lineales

• Se están considerando situaciones donde las rectas pueden ser paralelas o coincidir.

• La actividad se enfoca en el uso de una regla para graficar ecuaciones en coordenadas.

Ejemplo 2 - Graficando Ecuaciones

• Se trabaja con dos ecuaciones:

  • La primera ecuación ya tiene la variable y aislada.

  • La segunda ecuación requiere manipulación para aislar el y.

Proceso para Aislar y en la Segunda Ecuación

• Paso 1: Mover el x al otro lado de la ecuación:

  • La ecuación original puede representarse como: $ax + by = c$

  • Al mover el x, se convierte en negativo.

• Paso 2: Dividir por el coeficiente de y:

  • Por ejemplo, si la ecuación es de la forma $-2y = -x + c$, se divide por -2:

  • Se obtiene: $y = rac{1}{2}x + 1$

Análisis Gráfico

• Se grafican ambas ecuaciones:

  • Para la primera, se inicia el gráfico en el punto (-4) con una pendiente de 1 (subir 1, mover 1 a la derecha).

  • Para la segunda, el primer punto es (1) también con una pendiente de 1.

• Observación: Las rectas son paralelas y no se intersectan:

  • Conclusión: No tienen soluciones, ya que nunca se cruzan.

Ejemplo 3 - Graficando Ecuaciones Coincidentes

• Se repite el proceso de aislamiento en la segunda ecuación:

  • Mover el x y dividir por 6:

  • Supongamos que la nueva ecuación es: $y = rac{1}{2}x + 3$

Gráfica de Ecuaciones Coincidentes

• Para la primera ecuación, el primer punto en el eje y es 3, la pendiente es 1/2:

  • Esto significa que vamos a subir 1 y mover a la derecha 2 para marcar otros puntos.

• Resultado: Ambas ecuaciones caen exactamente sobre la misma línea:

  • Conclusión: Hay soluciones infinitas, ya que todos los puntos de la línea son soluciones de las dos ecuaciones.

Triada en la Página 275

• El primer paso para resolver es nuevamente aislar el y:

  • Para la primera ecuación, se debe mover el x (cambiando el signo): $y = -5x - 3$

• En la segunda ecuación, el proceso es el mismo:

  • Se termina con la misma expresión:

  • Ambas ecuaciones son idénticas, por lo tanto son coincidentes.

  • Esto se debe a que si se tiene dos ecuaciones idénticas, se sabe que hay infinitas soluciones.

Graficando Ecuaciones con Puntos de Intersección

• Para la gráfica, ubicar el primer punto en (7) sobre el eje y:

  • La pendiente es $- rac{1}{3}$, lo que indica que por cada 1 unidad hacia abajo, se mueve 3 a la derecha:

  • Este proceso se repite para generar al menos tres puntos:

• Instrucción: Usar la regla para dibujar una línea recta que pase por los puntos.