Equação de Movimento do Navio: Manobrabilidade e Referenciais

A Equação de Movimento do Navio

• O objetivo principal de construir a equação de movimento no estudo da manobrabilidade do navio é conhecer as causas dos movimentos.

• A fundação dessas equações reside na Segunda Lei de Newton, onde as forças externas que atuam sobre o corpo são relacionadas à aceleração resultante.

Sistemas Referenciais de Posição

• O navio se move frequentemente em seis graus de liberdade ($6$ DOF): três translações em eixos ortogonais e três rotações em torno desses eixos.

• As forças externas dependem significativamente da geometria do casco. Em um referencial inercial, as funções que descrevem essa geometria variariam constantemente com o tempo devido ao movimento do casco.

• Simetria do Casco: Praticamente todos os navios e veículos hidrodinâmicos possuem um plano de simetria (plano da linha central). Boreste e bombordo são espelhados geometricamente. Essa simetria é observada em navios, submarinos, foguetes, aviões, peixes e pássaros.

• Assimetria Dinâmica: Pode ocorrer devido ao sentido de rotação de um único propulsor, mas é um efeito controlado.

• Escolha do Sistema de Eixos: Tira proveito da simetria. Dois eixos ficam no plano de simetria e o terceiro é perpendicular a ele. Em corpos de revolução (torpedos, foguetes), existe um segundo plano de simetria perpendicular ao primeiro.

Definição dos Eixos no Referencial do Navio

• Eixo x: Eixo longitudinal no plano de simetria, positivo para frente (vante). Geralmente paralelo à quilha ou linha d'água. Vetor unitário: $\mathbf{i}$.

• Eixo y: Eixo transversal, perpendicular ao plano de simetria, positivo para boreste. Vetor unitário: $\mathbf{j}$.

• Eixo z: Eixo vertical, no plano de simetria, positivo para baixo (em direção à quilha). Vetor unitário: $\mathbf{k}$.

Referenciais Inerciais e o Sistema NED

• Referencial Inercial: Referencial onde as leis de Newton são válidas. Quando o navio rotaciona, os eixos fixos a ele deixam de ser inerciais, complicando o cálculo do lado direito da equação de movimento (variação da quantidade de movimento).

• Sistema North-East-Down (NED): Sistema inercial geográfico utilizado para análise de navegação, trajetórias, ângulo de rumo e forças ambientais (vento, corrente, ondas).

  • Eixo N (ou x): Norte.

  • Eixo E (ou y): Leste (East).

  • Eixo D (ou z): Down (para baixo).

O Vetor Posição e Velocidade do Navio

Vetor Posição

• O vetor posição do navio no sistema inercial ($R_b$) define a localização do navio no tempo.

• Para um elemento infinitesimal de massa $dm$, o vetor posição $R_0$ no sistema NED é dado pela soma:   $R_0 = R_b + R_G$   Onde $R_b$ acompanha o centro de gravidade no referencial inercial e $R_G$ acompanha a posição de $dm$ em relação ao centro de gravidade.

Variação dos Vetores Unitários com a Rotação

• Quando o navio rotaciona, os vetores unitários $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ mudam de sentido, logo suas derivadas no tempo não são zero:

  • Rotação $\theta$ (Pitch) no eixo y: $\frac{d\mathbf{i}}{dt} = -\mathbf{k} \frac{d\theta}{dt}$; $\frac{d\mathbf{j}}{dt} = 0$; $\frac{d\mathbf{k}}{dt} = \mathbf{i} \frac{d\theta}{dt}$

  • Rotação $\psi$ (Yaw) no eixo z: $\frac{d\mathbf{i}}{dt} = \mathbf{j} \frac{d\psi}{dt}$; $\frac{d\mathbf{j}}{dt} = -\mathbf{i} \frac{d\psi}{dt}$; $\frac{d\mathbf{k}}{dt} = 0$

  • Rotação $\phi$ (Roll) no eixo x: $\frac{d\mathbf{i}}{dt} = 0$; $\frac{d\mathbf{j}}{dt} = \mathbf{k} \frac{d\phi}{dt}$; $\frac{d\mathbf{k}}{dt} = -\mathbf{j} \frac{d\phi}{dt}$

Vetor Velocidade Angular

• Definido por $\vec{\Omega} = p\mathbf{i} + q\mathbf{j} + r\mathbf{k}$, onde:

  • $p = \frac{d\phi}{dt}$ (velocidade angular de roll).

  • $q = \frac{d\theta}{dt}$ (velocidade angular de pitch).

  • $r = \frac{d\psi}{dt}$ (velocidade angular de yaw).

• Relação cinemática fundamental: $\frac{d\mathbf{i}}{dt} = \vec{\Omega} \times \mathbf{i}$, $\frac{d\mathbf{j}}{dt} = \vec{\Omega} \times \mathbf{j}$, $\frac{d\mathbf{k}}{dt} = \vec{\Omega} \times \mathbf{k}$.

Vetor Velocidade Linear

• O vetor velocidade do navio $V_G$ (ou $v_G$) medido no sistema solidário ao navio é:   $V_G = u\mathbf{i} + v\mathbf{j} + w\mathbf{k}$

  • $u$: Velocidade longitudinal (vante).

  • $v$: Velocidade transversal (boreste).

  • $w$: Velocidade vertical (baixo).

Equação de Movimento no Referencial Inercial

• O navio é tratado como um corpo rígido (tamanho e forma não variam).

• Quantidade de movimento ($P$): $P = \sum dm \cdot v_{NED}$.

• Em translação pura, o corpo é tratado como uma grande partícula de massa $\Delta$ (deslocamento) concentrada no CG.

• Segunda Lei de Newton: $F = \frac{dP}{dt} = \Delta \frac{dV_{NED}}{dt}$.

• Em navios mercantes, a taxa de variação de massa devido ao combustível ($\frac{d\Delta}{dt}$) é negligenciada durante a manobra ($\frac{d\Delta}{dt} = 0$).

Equações de Movimento Translacionais (Origem no CG)

Considerando a massa $\Delta$ constante e substituindo as derivadas dos vetores unitários, as forças nas direções $x$, $y$ e $z$ (referencial do navio) são:

• Força em x (Surge):   $X = \Delta (\dot{u} + wq - vr)$

• Força em y (Sway):   $Y = \Delta (\dot{v} + ur - wp)$

• Força em z (Heave):   $Z = \Delta (\dot{w} + vp - uq)$

Nota: Os termos $\dot{u}, \dot{v}, \dot{w}$ são acelerações translacionais, enquanto $(wq - vr), (ur - wp), (vp - uq)$ são acelerações centrípetas.

Equações de Movimento para Momentos (Origem no CG)

• A quantidade de movimento angular ($H_G$) é dada pelo tensor de inércia.

• Como os eixos são os eixos principais de inércia, os produtos de inércia são nulos.

• Momento Angular: $H_G = I_x p\mathbf{i} + I_y q\mathbf{j} + I_z r\mathbf{k}$.

• Variação Temporal dos Momentos (Equações de Euler):

  • Momento em x (Roll - K):     $K = I_x \dot{p} + (I_z - I_y)qr$

  • Momento em y (Pitch - M):     $M = I_y \dot{q} + (I_x - I_z)pr$

  • Momento em z (Yaw - N):     $N = I_z \dot{r} + (I_y - I_x)pq$

Os termos $(I_z - I_y)qr$, etc., representam efeitos giroscópicos (precessão e nutação).

Equações com Origem fora do Centro de Gravidade

Frequentemente, a origem $O$ é fixada no centro geométrico do navio para facilitar o cálculo das forças hidrodinâmicas, mesmo que o centro de gravidade $G$ esteja em outra posição ($x_G, y_G, z_G$).

Forças Translacionais em Origem Não Inercial ($O \neq G$)

Novos termos aparecem devido às forças de Euler e centrífugas:

• X:   $X = \Delta [\dot{u} - vr + wq - x_G(q^2 + r^2) + y_G(pq - \dot{r}) + z_G(pr + \dot{q})]$

• Y:   $Y = \Delta [\dot{v} - wp + ur - y_G(r^2 + p^2) + z_G(qr - \dot{p}) + x_G(qp + \dot{r})]$

• Z:   $Z = \Delta [\dot{w} - uq + vp - z_G(p^2 + q^2) + x_G(rp - \dot{q}) + y_G(rq + \dot{p})]$

Momentos em Origem Não Inercial ($O \neq G$)

Os momentos $K, M, N$ em relação à origem $O$ incluem termos da aceleração de Coriolis e reações inerciais:

• K (Roll):   $K = I_x \dot{p} + I_{xy}(pr - \dot{q}) - I_{xz}(\dot{r} + pq) + (I_z - I_y)qr + I_{yz}(r^2 - q^2) + \Delta [y_G(\dot{w} + vp - uq) - z_G(\dot{v} + ur - wp)]$

• M (Pitch):   $M = I_y \dot{q} + I_{yz}(qp - \dot{r}) - I_{xy}(\dot{p} + qr) + (I_x - I_z)pr + I_{xz}(p^2 - r^2) + \Delta [z_G(\dot{u} + wq - vr) - x_G(\dot{w} + vp - uq)]$

• N (Yaw):   $N = I_z \dot{r} + I_{xz}(qr - \dot{p}) - I_{yz}(\dot{q} + rp) + (I_y - I_x)pq + I_{xy}(q^2 - p^2) + \Delta [x_G(\dot{v} + ur - wp) - y_G(\dot{u} + wq - vr)]$

Simplificações Comuns: Plano Horizontal

Referencial fora do CG (3 DOF em Surge, Sway, Yaw)

• X: $X = \Delta [\dot{u} - vr - x_G r^2 + y_G(pq - \dot{r}) + z_G(pr + \dot{q})]$ (Simplificado dependendo dos planos de interesse).

Referencial no CG (3 DOF em Surge, Sway, Yaw)

As equações reduzem-se drasticamente ao analisar apenas o movimento no plano horizontal ($p=q=w=0$):

• Surge: $X = \Delta (\dot{u} - vr)$

• Sway: $Y = \Delta (\dot{v} + ur)$

• Yaw: $N = I_z \dot{r}$

Resumo de Definições Técnicas (Convenção SNAME)

• Surge (Avanço): Força $X$, aceleração $\dot{u}$.

• Sway (Deriva): Força $Y$, aceleração $\dot{v}$.

• Heave (Arfagem): Força $Z$, aceleração $\dot{w}$.

• Roll (Balanço): Momento $K$, aceleração angular $\dot{p}$.

• Pitch (Arfagem): Momento $M$, aceleração angular $\dot{q}$.

• Yaw (Guinada): Momento $N$, aceleração angular $\dot{r}$.