Chapitre 6: Regimes quasi-stationnaires

Régimes de fonctionnement & circuits du 1er ordre

Approximation quasi-stationnaire

- Valide si la taille du circuit est petite devant la longueur d’onde

$f \ll \frac{c}{\ell}$

- ⇒ pas d’effets de propagation, modèle classique OK

Condensateur

- Relation fondamentale

$Q = C V$

- Courant

$i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$

- Propriétés clés :

- tension continue (pas de saut)

- en continu ⇒ circuit ouvert

- ne dissipe pas d’énergie (stocke)

- Énergie

$W = \frac{1}{2} C V^2$

- Associations :

- parallèle : $C = C_1 + C_2$

- série : $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

- Condensateur plan

$C = \frac{\varepsilon S}{e}$

Inductance

- Relation fondamentale

$v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$

- Propriétés clés :

- courant continu (pas de saut)

- en continu ⇒ court-circuit

- ne dissipe pas d’énergie

- Énergie

$W = \frac{1}{2} L i^2$

- Associations :

- série : $L = L_1 + L_2$

- parallèle : $\frac{1}{L} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$

Régimes

Transitoire

- dépend des conditions initiales

- disparaît avec le temps

Permanent

- comportement stable (constant ou périodique)

Décomposition

- régime libre : dépend des conditions initiales

- régime forcé : dépend de la source :contentReference[oaicite:3]{index=3}

Circuit RC (échelon)

Équation :

$RC \frac{dv_C}{dt} + v_C = E$

Solution :

$v_C(t) = A e^{-t/RC} + E$

Forme physique :

$v_C(t) = \frac{Q_0}{C} e^{-t/RC} + E(1 - e^{-t/RC})$

- constante de temps

$\tau = RC$

Circuit RL

Même structure que RC :

$L \frac{di}{dt} + Ri = E$

- constante de temps

$\tau = \frac{L}{R}$

Dynamique

- réponse exponentielle

- repères :

- $t \approx 3\tau \Rightarrow 95\%$

- $t \approx 5\tau \Rightarrow 99\%$

- temps de montée (10% → 90%) :

$t_m \approx 2.2 \tau$

Régime sinusoïdal (harmonique)

- pulsation :

$\omega = 2\pi f$

- dérivée devient :

$\frac{d}{dt} \rightarrow j\omega$

Impédances

- définition :

$Z = \frac{V}{I}$

- composants :

- résistance : $Z_R = R$

- condensateur : $Z_C = \frac{1}{j\omega C}$

- inductance : $Z_L = j\omega L$

Phase

- résistance : tension et courant en phase

- condensateur : courant en avance (90°)

- inductance : courant en retard (90°)

Comportement limite

- basse fréquence :

- $Z_C \rightarrow \infty$ → ouvert

- $Z_L \rightarrow 0$ → court-circuit

- haute fréquence :

- condensateur → court-circuit

- inductance → circuit ouvert