PRIMERA CLASE PRE CALC

Repaso sobre Números Reales y Funciones

  • Introducción al repaso de álgebra

    • Importancia de los números reales para el curso de precálculo

    • Evaluación del tema en la primera evaluación del curso

  • Números Reales

    • Recordatorio de que todos han visto números reales antes

    • Definición del conjunto numérico

    • Relevancia del conjunto de números reales para las funciones

  • Números Complejos

    • Explicación sobre que los números complejos son un conjunto más grande que los números reales

    • Mención de números imaginarios, trabajados en clases anteriores

    • Ejemplo de la raíz cuadrada de un número negativo:

    • extRaıˊzcuadradade−9extproduceunnuˊmeroimaginario3iext{Raíz cuadrada de } -9 ext{ produce un número imaginario } 3i

    • Aclaración de que un número real, elevado al cuadrado, no puede dar como resultado un número negativo

    • Definición de número imaginario: i=extraıˊzcuadradade−1i = ext{raíz cuadrada de } -1

  • Ejemplo de un Número Complejo

    • Ejemplo dado: 3−5i3 - 5i : número complejo formado por una parte real y una parte imaginaria

División de Números Reales

  • Clasificación de Números Reales

    • Números Racionales

    • Definición: números que se pueden expresar como una fracción pq\frac{p}{q} donde q≠0q \neq 0

    • Ejemplo de operaciones:

      • Sumas (e.g., 3+2=53 + 2 = 5)

      • Resta (e.g., 10+(−15)=−510 + (-15) = -5)

      • División (e.g., 13=0.333\frac{1}{3} = 0.333)

    • Números Irracionales

    • Definición: números que no son racionales

    • Ejemplo de operaciones:

      • Suma de raíces (e.g., 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} no puede simplificarse)

      • Ejemplo de simplificación de radicales: 3⋅5+4⋅5=7⋅53 \cdot \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} = 7 \cdot \sqrt{5}

    • Ejemplos de números naturales y cardinales:

    • Números naturales: Desde el 1 hacia el infinito

    • Números cardinales: Números naturales más el cero

    • Números Enteros

    • Conjunto que incluye números negativos, 0, y positivos (0 no es positivo ni negativo)

Números Racionales

  • Definición: Valores numéricos que se pueden expresar como una fracción.

    • Relación entre numerador y denominador: pq\frac{p}{q} donde q≠0q \neq 0

  • Ejemplos de fracciones y su simplificación:

    • Fracciones con numerador 0 (e.g., 05=0\frac{0}{5} = 0)

    • Propiedades de las fracciones:

    • aa=1\frac{a}{a} = 1 para a≠0a \neq 0

  • Expresiones de enteros como fracciones: e.g., 19=19119 = \frac{19}{1}

  • Decimales finitos y periódicos son también números racionales:

    • Ejemplo: 13=0.333\frac{1}{3} = 0.333 (decimal periódico)

Números Irracionales

  • Definición: Números que no se pueden representar como fracción.

    • Ejemplos:

    • π\pi: considerado un número irracional con infinitos decimales no repetitivos.

      • Valor: π≈3.14159\pi \approx 3.14159 (sin final definido)

    • ee: número irracional usado en aplicaciones diversas, aproximadamente igual a (2.71828…)(2.71828 …)

    • Raíces cuadradas de números primos son irracionales:

      • Ejemplo: 2\sqrt{2}

  • Simplificación de radicales:

    • Ejemplo: 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Recta Numérica

  • Conceptos Básicos:

    • Un número es mayor si se encuentra a la derecha en la recta numérica.

    • Comparación de números negativos (e.g., -3 > -10)

  • Desigualdad:

    • Símbolo < indica menor que; > indica mayor que, con ejemplos en contextos numéricos.

  • Reglas relacionadas con negativos y cero:

    • Todos los números negativos son menores que cero, y todos los positivos son mayores que los negativos.

Símbolos de Desigualdad

  • Diferenciales:

    • Mayor que, menor que, mayor o igual que, menor o igual que.

    • Se utilizan para demostrar relaciones entre números y establecer intervalos.

Notación de Intervalos

  • Definición: Una forma de expresar soluciones de desigualdades en la recta numérica.

    • Uso de paréntesis () y corchetes [] para indicar inclusión o exclusión del extremo.

  • Ejemplos de notación:

    • Mayor que: (5,+∞)(5, +\infty)

    • Menor o igual que: [−2,6][-2, 6]

    • Menor que a su inverso: (−∞,10)(-\infty, 10)

Inecuaciones Simples y Complicadas

  • Instrucción sobre cómo graficar inecuaciones:

    • Ejemplo: Gráficas representando (x > 5) y (y < 9).

  • Intersecciones y uniones de condiciones son tratados a través de ejemplos numéricos.

Resumen Final

  • Todos los números reales son la combinación de racionales e irracionales.

  • Aplicaciones en el curso: importancia de la recta numérica en gráficas y funciones.

Repaso sobre Números Reales y Funciones

  • Introducción al repaso de álgebra

  • Importancia de los números reales para el curso de precálculo

  • Evaluación del tema en la primera evaluación del curso

Números Reales

  • Recordatorio de que todos han visto números reales antes

  • Definición del conjunto numérico

  • Relevancia del conjunto de números reales para las funciones

Números Complejos

  • Explicación sobre que los números complejos son un conjunto más grande que los números reales

  • Mención de números imaginarios, trabajados en clases anteriores

  • Ejemplo de la raíz cuadrada de un número negativo:

    • extRaıˊzcuadradade−9extproduceunnuˊmeroimaginario3iext{Raíz cuadrada de } -9 ext{ produce un número imaginario } 3i

  • Aclaración de que un número real, elevado al cuadrado, no puede dar como resultado un número negativo

  • Definición de número imaginario: i=extraıˊzcuadradade−1i = ext{raíz cuadrada de } -1

Ejemplo de un Número Complejo

  • Ejemplo dado: 3−5i3 - 5i : número complejo formado por una parte real y una parte imaginaria

División de Números Reales

Clasificación de Números Reales

  1. Números Racionales

    • Definición: números que se pueden expresar como una fracción pq\frac{p}{q} donde q≠0q \neq 0

    • Ejemplo de operaciones:

      • Sumas (e.g., 3+2=53 + 2 = 5)

      • Resta (e.g., 10+(−15)=−510 + (-15) = -5)

      • División (e.g., 13=0.333\frac{1}{3} = 0.333)

  2. Números Irracionales

    • Definición: números que no son racionales

    • Ejemplo de operaciones:

      • Suma de raíces (e.g., 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} no puede simplificarse)

      • Ejemplo de simplificación de radicales: 3⋅5+4⋅5=7⋅53 \cdot \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} = 7 \cdot \sqrt{5}

  3. Números Naturales y Cardinales

    • Números naturales: Desde el 1 hacia el infinito

    • Números cardinales: Números naturales más el cero

  4. Números Enteros

    • Conjunto que incluye números negativos, 0, y positivos (0 no es positivo ni negativo)

Números Racionales

  • Definición: Valores numéricos que se pueden expresar como una fracción.

  • Relación entre numerador y denominador: pq\frac{p}{q} donde q≠0q \neq 0

  • Ejemplos de fracciones y su simplificación:

    • Fracciones con numerador 0 (e.g., 05=0\frac{0}{5} = 0)

  • Propiedades de las fracciones:

    • aa=1\frac{a}{a} = 1 para a≠0a \neq 0

    • Expresiones de enteros como fracciones: e.g., 19=19119 = \frac{19}{1}

  • Decimales finitos y periódicos son también números racionales:

    • Ejemplo: 13=0.333\frac{1}{3} = 0.333 (decimal periódico)

Números Irracionales

  • Definición: Números que no se pueden representar como fracción.

  • Ejemplos:

    • π\pi: considerado un número irracional con infinitos decimales no repetitivos.

    • Valor: π≈3.14159\pi \approx 3.14159 (sin final definido)

    • ee: número irracional usado en aplicaciones diversas, aproximadamente igual a 2.71828…2.71828 …

  • Raíces cuadradas de números primos son irracionales:

    • Ejemplo: 2\sqrt{2}

  • Simplificación de radicales:

    • Ejemplo: 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Recta Numérica

  • Conceptos Básicos:

    • Un número es mayor si se encuentra a la derecha en la recta numérica.

    • Comparación de números negativos (e.g., -3 > -10)

  • Desigualdad:

    • Símbolo < indica menor que; > indica mayor que, con ejemplos en contextos numéricos.

    • Reglas relacionadas con negativos y cero:

    • Todos los números negativos son menores que cero, y todos los positivos son mayores que los negativos.

Símbolos de Desigualdad

  • Diferenciales:

    • Mayor que, menor que, mayor o igual que, menor o igual que.

    • Se utilizan para demostrar relaciones entre números y establecer intervalos.

Notación de Intervalos

  • Definición: Una forma de expresar soluciones de desigualdades en la recta numérica.

  • Uso de paréntesis () y corchetes [] para indicar inclusión o exclusión del extremo.

  • Ejemplos de notación:

    • Mayor que: (5,+∞)(5, +\infty)

    • Menor o igual que: [−2,6][-2, 6]

    • Menor que a su inverso: (−∞,10)(-\infty, 10)

Inecuaciones Simples y Complicadas

  • Instrucción sobre cómo graficar inecuaciones:

    • Ejemplo: Gráficas representando (x > 5) y (y < -2)

Ejemplos de Práctica Adicionales

  1. Clasificación de Conjuntos

    • Determine a qué conjuntos pertenece el número 16\sqrt{16}.

      • Solución: Como 16=4\sqrt{16} = 4, es un número Natural, Cardinal, Entero, Racional y Real.

    • Determine a qué conjunto pertenece 7\sqrt{7}.

      • Solución: Es un número Irracional y Real.

  2. Simplificación de Radicales

    • Simplifique la expresión 53−2125\sqrt{3} - 2\sqrt{12}.

      • Solución: 53−2(23)=53−43=35\sqrt{3} - 2(2\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3}.

  3. Uso de Intervalos

    • Exprese la desigualdad -3 \leq x < 4 en notación de intervalo.

      • Solución: [−3,4)[-3, 4).

  4. Resolución de Inecuaciones

    • Resuelva y represente en la recta numérica: 2x - 4 > 6.

      • Solución: 2x > 10 \Rightarrow x > 5. Notación: (5,+∞)(5, +\infty).

Resumen Final

  • Todos los números reales son la combinación de racionales e irracionales.

  • Aplicaciones en el curso: importancia de la recta numérica en gráficas y funciones.