Aritmética Binaria y Representación de Datos en Arquitectura de Computadoras

Introducción a la Aritmética Binaria

• Contexto Académico: Universidad Tecnológica Nacional (UTN) - Facultad Regional Santa Fe.
• Temática Central: Arquitectura de Computadoras enfocada en la representación y operación con números enteros y reales en sistemas binarios.

Representación de Enteros: Notaciones

El estudio de los enteros en computación se divide en diversas modalidades representativas para gestionar tanto la magnitud como el signo:

• Sin signo: Utilizado exclusivamente para números positivos y el cero.
• Signo y magnitud: Reserva un bit específico para determinar la polaridad del número.
• Complemento a uno ($ca1$): Basado en el complemento a la base $-1$.
• Complemento a dos ($ca2$): Basado en el complemento a la base.

Enteros Sin Signo

Esta representación utiliza la totalidad de los bits para expresar el valor numérico.

• Rango de Representación: Para un número de $n$ bits, el rango se define desde $0$ hasta $+2^n - 1$.
• Ejemplos de Rango:
  • Ejemplo 1 ($n = 8$): El rango es de $0$ a $+2^8 - 1$, lo que equivale a un intervalo de $[0, 255]$.
  • Ejemplo 2 ($n = 32$): El rango es de $0$ a $+2^{32} - 1$, resultando en el intervalo de $[0, 4.294.967.295]$.

Notación de Signo y Magnitud

En este formato, la posición binaria más significativa (el bit más a la izquierda) se dedica exclusivamente a indicar el signo del número.

• Convención del Bit de Signo:
  • $0$: Indica que el número es positivo.
  • $1$: Indica que el número es negativo.
• Rango de Representación: Dado un número de $n$ bits, el rango abarca desde $-2^{n-1}-1$ hasta $+2^{n-1}-1$.
• Ejemplo de Rango ($n = 8$): El rango es de $-2^{8-1}-1$ a $+2^{8-1}-1$, es decir, de $-127$ a $+127$.
• Representaciones para $n = 4$ (Ejemplo Completo):
  • $0000 = +0$ y $1000 = -0$ (Existe una doble representación del cero).
  • $0001 = +1$ y $1001 = -1$
  • $0010 = +2$ y $1010 = -2$
  • $0011 = +3$ y $1011 = -3$
  • $0100 = +4$ y $1100 = -4$
  • $0101 = +5$ y $1101 = -5$
  • $0110 = +6$ y $1110 = -6$
  • $0111 = +7$ y $1111 = -7$

Teoría del Complemento

Existen dos modalidades principales para trabajar con complementos en cualquier base:

1. Complemento a la base $-1$.
2. Complemento a la base.

• Ejemplo en Base 10:
  • Complemento a 9 (Base-1): Para un número negativo de dos dígitos (ej. $-53$), se resta de la cifra más alta representable con esa cantidad de posiciones ($99$). Por tanto, $99 - 53 = 46$.
  • Complemento a 10 (Base): Se obtiene restando el número al total de combinaciones posibles ($100$ para dos dígitos). Por tanto, $100 - 53 = 47$.
  • Regla General para Positivos: En ambas modalidades, el complemento de un número positivo es el mismo número.

Complemento a Uno ($ca1$)

• Definición: Es la aplicación del complemento a la base $-1$ en el sistema binario (base 2).
• Regla de Obtención:
  • Para un número positivo: Se mantiene igual.
  • Para un número negativo: Se intercambian todos los bits de la representación (los ceros por unos y los unos por ceros).
• Ejemplo de Aplicación:
  • $ca1(+110101_2) = 110101_2$
  • $ca1(-110101_2) = 001010_2$

Complemento a Dos ($ca2$)

• Definición: Es la aplicación del complemento a la base en el sistema binario.
• Regla de Obtención:
  • Para un número positivo: Se mantiene igual.
  • Para un número negativo: Se realiza el $ca1$ del número y se le suma $1$ en la posición menos significativa ($LSB$).
• Ejemplo de Aplicación:
  • Para un número negativo $-110101_2$:
    1. Obtener $ca1$: $001010_2$
    2. Sumar $1$: $001010_2 + 1 = 001011_2$
    3. Resultado: $ca2(-110101_2) = 001011_2$
• Rango y Capacidad: Con $n$ bits (incluyendo el de signo):
  • Permite $2^n$ combinaciones distintas.
  • Rango: $-2^{n-1}$ hasta $+2^{n-1} - 1$.
  • Ejemplo para $n = 4$: Rango de $-8$ a $+7$. En este sistema, solo hay una representación para el cero ($0000$).

Tabla de Valores en $ca2$ (para $n = 4$)

Operaciones de Suma y Desbordamiento (Overflow)

• Suma: Se ejecuta de forma idéntica al sistema decimal.
• Definición de Overflow: Ocurre cuando se suma números de $n$ bits y el resultado excede la capacidad de representación de esos $n$ bits. Esto se identifica frecuentemente por un acarreo en el bit más significativo que no puede ser procesado.
• Ejemplo de Suma Binaria (Sin signo):
  • Sumandos: $10000_2 + 00111_2$
  • Resultado: $10111_2$

Resta Utilizando Complemento a Uno ($ca1$)

La resta se transforma en una suma de los complementos.

• Procedimiento:
  1. Representar los sumandos en notación $ca1$.
  2. Si existe un acarreo en la posición más significativa al sumar, este se debe sumar a la posición menos significativa del resultado intermedio (proceso conocido como acarreo circular).
• Ejemplo (Calcular $37 - 19$):
  • $37 = 100101_2$
  • $19 = 10011_2$
  • $ca1(-19) = 101100_2$ (Asumiendo longitud de $6$ bits).
  • Suma: $100101_2 + 101100_2 = 1010001_2$ (Hay acarreo).
  • Ajuste: $010001_2 + 1 = 010010_2$

Resta Utilizando Complemento a Dos ($ca2$)

Es el método estándar en arquitecturas modernas.

• Procedimiento:
  1. Representar los sumandos en $ca2$.
  2. Si existe acarreo en la posición más significativa, este simplemente se descarta.
• Ejemplo (Calcular $37 - 19$):
  • $37 = 100101_2$
  • $ca2(-19) = 101101_2$
  • Suma: $100101_2 + 101101_2 = 1010010_2$
  • Resultado final (descartando acarreo): $010010_2$

Análisis de Casos y Overflow en $ca2$ con Bit de Signo

Considérese los ejemplos de restas con las cifras $13 = 1101_2$ y $20 = 10100_2$:

• Interpretación del Resultado:

  • Si es positivo: El valor es directo.
  • Si es negativo: El resultado está complementado ($ca1$ o $ca2$). Para conocer su valor absoluto, se debe aplicar nuevamente el complemento al resultado.

• Reglas de Overflow basadas en Acarreo:

  • Sumar dos positivos: Si hay acarreo en la posición más significativa y el bit de signo resultante es $1$ (negativo), hay Overflow.
  • Sumar un positivo y un negativo:
    • Sin acarreo en el bit más significativo: Resultado negativo.
    • Con acarreo en el bit más significativo: Resultado positivo.
  • Sumar dos negativos: Si no existe acarreo en la posición más significativa y el bit de signo resultante es $0$ (positivo), hay Overflow.

• Corrección de Overflow (Caso $-20 - 13$): Si el número de bits es insuficiente, se debe aumentar la representación. Por ejemplo, usando $6$ bits:

  • $13 = 001101_2$; $20 = 010100_2$
  • $ca2(-20) = 101100_2$; $ca2(-13) = 110011_2$
  • Suma: $101100_2 + 110011_2 = 1011111_2$ (Se descarta el acarreo final, el resultado es el valor en $ca2$).

Multiplicación y División Binaria de Enteros

• Multiplicación: Sigue la misma lógica que el sistema decimal.
  • Ejemplo: Multiplicar $10111_2$ (multiplicando) por $101_2$ (multiplicador):
    • $10111_2 \times 1$ = $10111$
    • $10111_2 \times 0$ = $00000$ (desplazado)
    • $10111_2 \times 1$ = $10111$ (desplazado)
    • Suma total: $1110011_2$
• División: Se realiza aplicando restas sucesivas mediante la suma del divisor en notación $ca2$.
  • Ejemplo: Dividendo $101110_2$ y Divisor $101_2$.
  • Se utiliza el $ca2$ del divisor ($ca2(101_2) = 011_2$) para las operaciones internas.

Números Reales y Reglas de Signo

• Suma y Resta de Reales:
  • Las reglas de enteros son aplicables.
  • Es imperativo alinear la coma binaria.
  • Se requiere igualar la cantidad de posiciones tanto a la izquierda como a la derecha de la coma mediante ceros significativos.
• Multiplicación de Reales: La posición de la coma en el resultado se determina sumando la cantidad de posiciones decimales (post-coma) de ambos operandos.
• División de Reales: Al igual que en decimal, se multiplican ambos términos por la base hasta eliminar las comas antes de proceder con el algoritmo de división de enteros.
• Operaciones con Signo: Siguen las leyes convencionales del álgebra decimal:
  • El producto o cociente es positivo si ambos signos son iguales.
  • $A - (-B) = A + B$.

Bibliografía de Referencia

• Null, L. y Lobur, J.: The Essentials of Computer Organization and Architecture - Capítulo 2, Sección 2.4.
• Quiroga, P.: Arquitectura de Computadoras - Capítulo 4, Secciones 4.2.