Applications linéaires

Vue d'ensemble et objectifs fondamentaux

  • Importance du thème :

    • Ce thème abstrait mais accessible constitue un pilier des épreuves de concours et fait l'objet d'approfondissements ultérieurs.
    • Il requiert une maîtrise globale, tant sur les définitions conceptuelles que sur les techniques de calcul explicite.
    • Citation d'ouverture : « Durant des années le temps paraît linéaire, malgré les écueils, les soubresauts, les détours. Jusqu’au jour où une chute plus profonde fait voler en éclats les moindres repères. » — Laurence Tardieu (1972 – ), Le Jugement de Léa.

  • Objectifs prioritaires à maîtriser absolument :

    • Savoir démontrer qu'une application est linéaire.
    • Savoir déterminer le noyau d'une application linéaire.
    • Savoir déterminer l'image d'une application linéaire.
    • Savoir démontrer qu'une application linéaire est injective, surjective ou bijective.
    • Connaître la définition rigoureuse et les propriétés algébriques d'un projecteur.

Définition et caractérisations des applications linéaires

  • Définition 20.1 (Application linéaire) :

    • Soient EE et FF deux espaces vectoriels sur \n\mathbb{R}.
    • On appelle application linéaire de EE dans FF toute application f:E→Ff : E \to F satisfaisant les deux axiomes :
    • Pour tout (x,y)∈E2(x, y) \in E^2, f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y).
    • Pour tout x∈Ex \in E et tout λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, f(λx)=λf(x)f(\lambda x) = \lambda f(x).

  • Exemple 20.1 (Application linéaire de R2\mathbb{R}^2 dans R2\mathbb{R}^2) :

    • Soit l'application f:R2→R2f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par f(x,y)=(x−y,x+y)f(x, y) = (x - y, x + y).
    • Démonstration de linéarité :
    • Soient a=(x,y)a = (x, y) et b=(x′,y′)b = (x', y') deux éléments de R2\mathbb{R}^2, et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • Calcul de l'additivité :
      • f(a+b)=f(x+x′,y+y′)=((x+x′)−(y+y′),(x+x′)+(y+y′))f(a + b) = f(x + x', y + y') = ((x + x') - (y + y'), (x + x') + (y + y'))
      • f(a+b)=(x−y+x′−y′,x+y+x′+y′)=(x−y,x+y)+(x′−y′,x′+y′)=f(a)+f(b)f(a + b) = (x - y + x' - y', x + y + x' + y') = (x - y, x + y) + (x' - y', x' + y') = f(a) + f(b)
    • Calcul de l'homogénéité :
      • f(λa)=f(λx,λy)=(λx−λy,λx+λy)=λ(x−y,x+y)=λf(a)f(\lambda a) = f(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x - \lambda y, \lambda x + \lambda y) = \lambda (x - y, x + y) = \lambda f(a)
    • Conclusion : ff est linéaire.

  • Notations et vocabulaires spécifiques (Définition 20.2) :

    • L'ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathcal{L}(E, F).
    • Si F=EF = E, toute application linéaire de EE dans EE est appelée un endomorphisme de EE. L'ensemble des endomorphismes de EE est noté L(E)\mathcal{L}(E).
    • Si F=RF = \mathbb{R}, toute application linéaire de EE dans R\mathbb{R} est appelée une forme linéaire sur EE.
    • L'ensemble des formes linéaires sur EE est appelé l'espace dual de EE, noté E∗=L(E,R)E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{R}).

  • Propriété 20.1 (Image du vecteur nul) :

    • Soient EE et FF deux espaces vectoriels, et f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F). Alors :
    • f(0E)=0Ff(0_E) = 0_F.
    • Démonstration :
    • Par additivité de ff, pour tous x,y∈Ex, y \in E, f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y).
    • En évaluant en x=y=0Ex = y = 0_E, on obtient f(0E+0E)=f(0E)+f(0E)f(0_E + 0_E) = f(0_E) + f(0_E), soit f(0E)=f(0E)+f(0E)f(0_E) = f(0_E) + f(0_E).
    • En retranchant f(0E)f(0_E) de chaque côté dans l'espace vectoriel FF, on conclut que f(0E)=0Ff(0_E) = 0_F.

  • Proposition 20.2 (Caractérisations équivalentes de la linéarité) :

    • Soient EE et FF deux espaces vectoriels, et f:E→Ff : E \to F une application. Les trois propositions suivantes sont rigoureusement équivalentes :
    1. ff est linéaire de EE dans FF.
    2. Pour tout n∈N∖{0,1}n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}, pour tout (x1,…,xn)∈En(x_1, \dots, x_n) \in E^n et tout (λ1,…,λn)∈Rn(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n :
      • f(∑i=1nλixi)=∑i=1nλif(xi)f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).
    3. Pour tous (x,y)∈E2(x, y) \in E^2 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R} :
      • f(λx+y)=λf(x)+f(y)f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y).
    • Démonstration de l'équivalence (1  ⟹  2  ⟹  3  ⟹  11 \implies 2 \implies 3 \implies 1) :
    • Implication 1  ⟹  21 \implies 2 : Se démontre par récurrence sur n≥2n \ge 2.
      • Initialisation (n=2n=2) : Pour x1,x2∈Ex_1, x_2 \in E et λ1,λ2∈R\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}, f(λ1x1+λ2x2)=f(λ1x1)+f(λ2x2)=λ1f(x1)+λ2f(x2)f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = f(\lambda_1 x_1) + f(\lambda_2 x_2) = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) par linéarité.
      • Hérédité : Si la propriété est vraie au rang nn, pour n+1n+1 vecteurs, f(∑i=1n+1λixi)=f(∑i=1nλixi+λn+1xn+1)=f(∑i=1nλixi)+λn+1f(xn+1)=∑i=1n+1λif(xi)f\left(\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i x_i\right) = f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i + \lambda_{n+1} x_{n+1}\right) = f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) + \lambda_{n+1} f(x_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i f(x_i).
    • Implication 2  ⟹  32 \implies 3 : En supposant le point 2 vrai, on pose n=2n = 2, x1=xx_1 = x, x2=yx_2 = y, λ1=λ\lambda_1 = \lambda et λ2=1\lambda_2 = 1. L'égalité donne directement f(λx+y)=λf(x)+f(y)f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y).
    • Implication 3  ⟹  13 \implies 1 : Supposons la propriété 3 vraie.
      • Si (x,y)∈E2(x, y) \in E^2, on prend λ=1\lambda = 1, ce qui donne f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y).
      • Si x∈Ex \in E et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, on prend y=0Ey = 0_E. Sachant que f(0E)=f(0⋅0E+0E)=0⋅f(0E)+f(0E)=0Ff(0_E) = f(0 \cdot 0_E + 0_E) = 0 \cdot f(0_E) + f(0_E) = 0_F, l'application de 3 donne f(λx)=λf(x)+f(0E)=λf(x)f(\lambda x) = \lambda f(x) + f(0_E) = \lambda f(x).
      • L'application ff vérifie les deux axiomes fondamentaux : elle est linéaire.

  • Méthode canonique de démonstration de la linéarité :

    • Pour établir qu'une application f:E→Ff : E \to F est linéaire, on choisit deux vecteurs arbitraires x,y∈Ex, y \in E et un scalaire λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, puis on vérifie l'identité condensée :
    • f(λx+y)=λf(x)+f(y)f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y).

  • Exercice 20.2 (Application linéaire matricielle) :

    • Soit f:M2,1(R)→M3,1(R)f : \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) définie pour tout (a,b)∈R2(a, b) \in \mathbb{R}^2 par :
    • f((ab))=(b0a)f\left(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} b \\ 0 \\ a \end{pmatrix}.
    • Résolution détaillée :
    • Soient A=(a1a2)A = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} et B=(b1b2)B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} deux éléments de M2,1(R)\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}), et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • On calcule la combinaison linéaire dans l'espace de départ :
      • λA+B=(λa1+b1λa2+b2)\lambda A + B = \begin{pmatrix} \lambda a_1 + b_1 \\ \lambda a_2 + b_2 \end{pmatrix}.
    • Évaluation par ff :
      • f(λA+B)=(λa2+b20λa1+b1)f(\lambda A + B) = \begin{pmatrix} \lambda a_2 + b_2 \\ 0 \\ \lambda a_1 + b_1 \end{pmatrix}.
    • Évaluation de la combinaison linéaire des images :
      • λf(A)+f(B)=λ(a20a1)+(b20b1)=(λa2+b20λa1+b1)\lambda f(A) + f(B) = \lambda \begin{pmatrix} a_2 \\ 0 \\ a_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_2 \\ 0 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_2 + b_2 \\ 0 \\ \lambda a_1 + b_1 \end{pmatrix}.
    • L'égalité f(λA+B)=λf(A)+f(B)f(\lambda A + B) = \lambda f(A) + f(B) étant vérifiée pour tous A,B,λA, B, \lambda, ff est une application linéaire.

Exemples classiques d'applications linéaires

  • L'application identité :

    • Définie par idE:E→E,x↦x\text{id}_E : E \to E, x \mapsto x.
    • Il s'agit d'un endomorphisme de EE.

  • L'application nulle :

    • Définie par 0E,F:E→F,x↦0F0_{E, F} : E \to F, x \mapsto 0_F.
    • Il s'agit d'une application linéaire de EE dans FF.

  • Les homothéties vectorielles :

    • Pour tout α∈R\alpha \in \mathbb{R}, l'application fα:E→E,x↦αxf_\alpha : E \to E, x \mapsto \alpha x est un endomorphisme, appelé homothétie sur EE de rapport α\alpha.

  • L'application transposition :

    • Définie par A↦A⊤=tAA \mapsto A^\top = {}^tA.
    • C'est une application linéaire de Mn,p(R)\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R}) dans Mp,n(R)\mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R}).
    • Dans le cas où p=np = n, il s'agit d'un endomorphisme de Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

  • Exercice 20.3 (Endomorphisme de polynômes et forme linéaire intégrale) :

    • Soit f:Rn[X]→Rn[X]f : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X] définie par f(P)=XP′f(P) = X P'.
    • Soit Φ:C0([a,b])→R\Phi : \mathcal{C}^0([a, b]) \to \mathbb{R} définie par Φ(f)=∫abf(t) dt\Phi(f) = \int_a^b f(t)\,dt.
    • Résolution détaillée :
    • Étude de ff :
      • Stabilité de l'espace : Si P∈Rn[X]P \in \mathbb{R}_n[X], alors deg⁡(P′)≤n−1\deg(P') \le n - 1, d'où deg⁡(XP′)≤1+(n−1)=n\deg(X P') \le 1 + (n - 1) = n. Par conséquent, XP′∈Rn[X]X P' \in \mathbb{R}_n[X].
      • Linéarité : Soient (P,Q)∈(Rn[X])2(P, Q) \in (\mathbb{R}_n[X])^2 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. Par linéarité de la dérivation :
      • f(λP+Q)=X(λP+Q)′=X(λP′+Q′)=λXP′+XQ′=λf(P)+f(Q)f(\lambda P + Q) = X (\lambda P + Q)' = X (\lambda P' + Q') = \lambda X P' + X Q' = \lambda f(P) + f(Q).
      • Conclusion : ff est linéaire de Rn[X]\mathbb{R}_n[X] dans lui-même, c'est donc un endomorphisme de Rn[X]\mathbb{R}_n[X].
    • Étude de Φ\Phi :
      • Espace d'arrivée : Pour toute fonction f∈C0([a,b])f \in \mathcal{C}^0([a, b]), son intégrale sur le segment [a,b][a, b] est bien définie et est un réel, donc Φ(f)∈R\Phi(f) \in \mathbb{R}.
      • Linéarité : Soient f,g∈C0([a,b])f, g \in \mathcal{C}^0([a, b]) et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. Par linéarité de l'intégrale :
      • Φ(λf+g)=∫ab(λf+g)(t) dt=∫ab(λf(t)+g(t)) dt=λ∫abf(t) dt+∫abg(t) dt=λΦ(f)+Φ(g)\Phi(\lambda f + g) = \int_a^b (\lambda f + g)(t)\,dt = \int_a^b (\lambda f(t) + g(t))\,dt = \lambda \int_a^b f(t)\,dt + \int_a^b g(t)\,dt = \lambda \Phi(f) + \Phi(g).
      • Conclusion : Φ\Phi est une application linéaire de C0([a,b])\mathcal{C}^0([a, b]) dans R\mathbb{R}, c'est donc une forme linéaire sur C0([a,b])\mathcal{C}^0([a, b]).

Opérations algébriques sur les applications linéaires

  • Proposition 20.3 (Stabilité par combinaison linéaire) :

    • Soient EE et FF deux espaces vectoriels, f,g∈L(E,F)f, g \in \mathcal{L}(E, F) et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • Alors λf+g\lambda f + g est également une application linéaire de EE dans FF.
    • Démonstration :
    • Soient x,y∈Ex, y \in E et α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
    • (λf+g)(αx+y)=λf(αx+y)+g(αx+y)(\lambda f + g)(\alpha x + y) = \lambda f(\alpha x + y) + g(\alpha x + y)
    • Par linéarité de ff et gg : (λf+g)(αx+y)=λ(αf(x)+f(y))+αg(x)+g(y)(\lambda f + g)(\alpha x + y) = \lambda (\alpha f(x) + f(y)) + \alpha g(x) + g(y)
    • En réorganisant : (λf+g)(αx+y)=α(λf(x)+g(x))+(λf(y)+g(y))=α(λf+g)(x)+(λf+g)(y)(\lambda f + g)(\alpha x + y) = \alpha (\lambda f(x) + g(x)) + (\lambda f(y) + g(y)) = \alpha (\lambda f + g)(x) + (\lambda f + g)(y)
    • Donc λf+g\lambda f + g est linéaire.

  • Conséquence 20.4 (Structure de sous-espace vectoriel) :

    • Si EE et FF sont deux espaces vectoriels, alors L(E,F)\mathcal{L}(E, F) est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions F(E,F)\mathcal{F}(E, F).
    • En particulier, L(E)\mathcal{L}(E) et le dual E∗=L(E,R)E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{R}) sont des sous-espaces vectoriels respectifs de F(E,E)\mathcal{F}(E, E) et F(E,R)\mathcal{F}(E, \mathbb{R}).
    • Démonstration :
    • L'application nulle 0E,F0_{E, F} est linéaire (0E,F(λx+y)=0F=λ0F+0F0_{E, F}(\lambda x + y) = 0_F = \lambda 0_F + 0_F), donc L(E,F)\mathcal{L}(E, F) contient le vecteur nul de F(E,F)\mathcal{F}(E, F) et n'est pas vide.
    • La proposition 20.3 garantit la stabilité par combinaisons linéaires (λf+g∈L(E,F)\lambda f + g \in \mathcal{L}(E, F)).

  • Définition 20.3 (Restriction d'une application linéaire) :

    • Soient EE et FF deux espaces vectoriels, GG un sous-espace vectoriel de EE, et HH un sous-espace vectoriel de FF.
    • Soit f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F) vérifiant la condition de stabilité f(G)⊂Hf(G) \subset H.
    • On appelle restriction de ff aux sous-espaces GG et HH l'application :
    • f∣GH:G→H,x↦f(x)f|_G^H : G \to H, x \mapsto f(x).
    • Il s'agit d'une application linéaire de GG dans HH.
    • Remarque conceptuelle : Restreindre ff à GG revient à ne considérer que les images des vecteurs appartenant à GG. La condition f(G)⊂Hf(G) \subset H permet de restreindre l'ensemble d'arrivée à HH plutôt qu'à FF.
    • Démonstration :
    • Bien-fondé : Pour tout x∈Gx \in G, f∣GH(x)=f(x)∈Hf|_G^H(x) = f(x) \in H car f(G)⊂Hf(G) \subset H.
    • Linéarité : Soient (x,y)∈G2(x, y) \in G^2 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. Comme GG est un sous-espace vectoriel de EE, λx+y∈G\lambda x + y \in G.
    • Par linéarité de ff : f∣GH(λx+y)=f(λx+y)=λf(x)+f(y)=λf∣GH(x)+f∣GH(y)f|_G^H(\lambda x + y) = f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y) = \lambda f|_G^H(x) + f|_G^H(y).
    • Donc f∣GH∈L(G,H)f|_G^H \in \mathcal{L}(G, H).

  • Proposition 20.5 (Composition d'applications linéaires) :

    • Soient E,F,GE, F, G trois espaces vectoriels. Soient f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F) et g∈L(F,G)g \in \mathcal{L}(F, G).
    • Alors l'application composée g∘fg \circ f appartient à L(E,G)\mathcal{L}(E, G).
    • Démonstration :
    • Soient (x,y)∈E2(x, y) \in E^2 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • En appliquant la linéarité de ff puis la linéarité de gg :
      • g∘f(λx+y)=g(f(λx+y))=g(λf(x)+f(y))=λg(f(x))+g(f(y))=λ(g∘f)(x)+(g∘f)(y)g \circ f(\lambda x + y) = g(f(\lambda x + y)) = g(\lambda f(x) + f(y)) = \lambda g(f(x)) + g(f(y)) = \lambda (g \circ f)(x) + (g \circ f)(y).
    • Ainsi, g∘fg \circ f est linéaire de EE dans GG.

  • Propriété 20.6 (Propriétés algébriques de la composition) :

    • Soient E,F,GE, F, G trois espaces vectoriels, (f,f1,f2)∈(L(E,F))3(f, f_1, f_2) \in (\mathcal{L}(E, F))^3, (g,g1,g2)∈(L(F,G))3(g, g_1, g_2) \in (\mathcal{L}(F, G))^3 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • Distributivité à droite : (g1+g2)∘f=g1∘f+g2∘f(g_1 + g_2) \circ f = g_1 \circ f + g_2 \circ f.
    • Distributivité à gauche : g∘(f1+f2)=g∘f1+g∘f2g \circ (f_1 + f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2.
    • Non-commutativité générale : En général, g∘f≠f∘gg \circ f \ne f \circ g (ce produit n'ayant de surcroît aucun sens si les espaces ne coïncident pas).
    • Associativité : Si h∈L(H,I)h \in \mathcal{L}(H, I), alors h∘(g∘f)=(h∘g)∘fh \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f, noté plus simplement h∘g∘fh \circ g \circ f. Cette composée est linéaire.

  • Proposition 20.7 (Interaction entre composition et homothéties) :

    • Soient f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F), g∈L(F,G)g \in \mathcal{L}(F, G) et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
    • λ(g∘f)=(λg)∘f=g∘(λf)=g∘(f∘(λidE))=(g∘f)∘(λidE)\lambda (g \circ f) = (\lambda g) \circ f = g \circ (\lambda f) = g \circ (f \circ (\lambda \text{id}_E)) = (g \circ f) \circ (\lambda \text{id}_E).
    • En termes d'évaluation vectorielle : pour tout x∈Ex \in E :
    • λg(f(x))=(λg)(f(x))=g(λf(x))=g(f(λx))\lambda g(f(x)) = (\lambda g)(f(x)) = g(\lambda f(x)) = g(f(\lambda x)).

Puissances, polynômes d'endomorphismes et binôme de Newton

  • Définition 20.4 (Puissances d'un endomorphisme) :

    • Soit EE un espace vectoriel et f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E).
    • On pose f0=idEf^0 = \text{id}_E, f1=ff^1 = f, et pour tout entier p∈N∗p \in \mathbb{N}^* :
    • fp=f∘f∘⋯∘f⏟p foisf^p = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{p \text{ fois}}.
    • Avertissement crucial :
    • Ne jamais confondre la puissance fonctionnelle fp(x)=(f∘⋯∘f)(x)f^p(x) = (f \circ \dots \circ f)(x) avec (f(x))p=f(x)×⋯×f(x)(f(x))^p = f(x) \times \dots \times f(x).
    • La multiplication de vecteurs entre eux n'a aucun sens dans un espace vectoriel quelconque.

  • Propriété 20.8 (Règles de calcul sur les puissances) :

    • Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) et (p,q)∈N2(p, q) \in \mathbb{N}^2. Alors :
    • fp∘fq=fp+q=fq∘fpf^p \circ f^q = f^{p+q} = f^q \circ f^p.
    • Si deux endomorphismes f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) commutent (c'est-à-dire f∘g=g∘ff \circ g = g \circ f), alors pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
    • (g∘f)n=gn∘fn(g \circ f)^n = g^n \circ f^n.
    • Mise en garde : L'identité (g∘f)n=gn∘fn(g \circ f)^n = g^n \circ f^n est fausse si ff et gg ne commutent pas.

  • Proposition 20.9 (Formule du binôme de Newton pour les endomorphismes) :

    • Soit EE un espace vectoriel et (f,g)∈(L(E))2(f, g) \in (\mathcal{L}(E))^2 deux endomorphismes qui commutent (f∘g=g∘ff \circ g = g \circ f).
    • Alors, pour tout entier naturel n∈Nn \in \mathbb{N} :
    • (f+g)n=∑k=0n(nk)fk∘gn−k=∑k=0n(nk)fn−k∘gk(f + g)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^k \circ g^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{n-k} \circ g^k.
    • Démonstration : La preuve formelle s'établit par récurrence sur nn, de manière totalement identique au cas des matrices carrées qui commutent.

  • Exercice 20.4 (Méthode fondamentale : Calcul de puissance via le binôme de Newton) :

    • Soit f:R3→R3f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par f(x,y,z)=(x+z,y+z,z)f(x, y, z) = (x + z, y + z, z). On note g=f−idR3g = f - \text{id}_{\mathbb{R}^3}.
    • Montrer que g2=0R3g^2 = 0_{\mathbb{R}^3}, puis déterminer l'expression explicite de fnf^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
    • Résolution détaillée :
    • Linéarité de ff : Soient u=(x,y,z),v=(x′,y′,z′)∈R3u = (x, y, z), v = (x', y', z') \in \mathbb{R}^3 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
      • f(λu+v)=f(λx+x′,λy+y′,λz+z′)=(λx+x′+λz+z′,λy+y′+λz+z′,λz+z′)f(\lambda u + v) = f(\lambda x + x', \lambda y + y', \lambda z + z') = (\lambda x + x' + \lambda z + z', \lambda y + y' + \lambda z + z', \lambda z + z')
      • f(λu+v)=λ(x+z,y+z,z)+(x′+z′,y′+z′,z′)=λf(u)+f(v)f(\lambda u + v) = \lambda(x + z, y + z, z) + (x' + z', y' + z', z') = \lambda f(u) + f(v).
      • ff est linéaire de R3\mathbb{R}^3 dans R3\mathbb{R}^3 : c'est un endomorphisme de R3\mathbb{R}^3.
    • Étude de l'endomorphisme nilpotent gg