Magnitudes y Vectores: Guía Exhaustiva de Física

1. Magnitudes

1.1. Introducción

En la vida cotidiana, es habitual asignar atributos a las personas o cosas, tales como el color de piel, el largo del cabello, el peso o la belleza.
Algunos atributos son medibles (expresables numéricamente), mientras que otros no lo son. Por ejemplo, existen procedimientos definidos para medir el largo o el peso, pero no para la belleza.
La importancia de las mediciones radica en que permiten calcular cantidades para resolver problemas prácticos. * Ejemplo preventivo: Al suministrar un medicamento a un niño, es imperativo conocer su peso para determinar la dosis adecuada, lo que puede salvar su vida.
Existen atributos no medibles que no pueden compararse con una referencia, como el amor, el odio y la felicidad.

2. Conceptos Importantes

2.1. Magnitud

Definición de Magnitud: Es toda aquella propiedad que puede ser medida en una escala y con un instrumento adecuado; en definitiva, es toda propiedad que se puede medir.
Ejemplos de magnitudes: Peso, masa, longitud, velocidad, tiempo, temperatura, presión, fuerza, entre otros.
Definición de Medir: Es comparar una cantidad de una magnitud con otra cantidad de la misma magnitud fijada de manera arbitraria como unidad.
Convenciones: Las unidades de medida se establecen mediante acuerdos entre científicos y organismos competentes.
Ejemplo de medición: Medir el largo de un camión consiste en determinar cuántas veces la herramienta conocida como metro ( $m$ ) cabe en esa distancia. El resultado es el cociente entre el largo del camión y el del metro.

2.2. Clasificación de las Magnitudes

2.2.1. Según su Naturaleza

Magnitudes Escalares: Son aquellas que quedan perfectamente determinadas con solo conocer su valor numérico (positivo o negativo) y su respectiva unidad de medida. Ejemplos: masa, tiempo, trabajo, carga eléctrica.
Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que, además del valor numérico y la unidad, requieren dirección y sentido para quedar perfectamente determinadas. Ejemplos: velocidad, aceleración, fuerza, desplazamiento.

2.2.2. Según los Sistemas de Medición

Sistemas de unidades de medida: Conjunto de magnitudes fundamentales y derivadas con sus unidades y símbolos agrupados convenientemente. Los sistemas utilizados son: * Sistema Internacional ( $SI$ ). * Sistema Absoluto (subdividido en $MKS$ y $CGS$ ). * Sistema Técnico o Gravitacional.
Magnitudes Fundamentales: Magnitudes básicas a partir de las cuales se definen las demás.
Magnitudes Derivadas: Magnitudes que se definen a partir de las fundamentales.

Detalle de Magnitudes Fundamentales por Sistema

Sistema Absoluto CGS:

Longitud: unidad centímetro ( $cm$ ), carácter escalar o vectorial.
Masa: unidad gramo ( $g$ ), carácter escalar.
Tiempo: unidad segundo ( $s$ ), carácter escalar.

Sistema Absoluto MKS:

Longitud: unidad metro ( $m$ ), carácter escalar o vectorial.
Masa: unidad kilogramo ( $kg$ ), carácter escalar.
Tiempo: unidad segundo ( $s$ ), carácter escalar.

Sistema Internacional (SI):

Longitud: unidad metro ( $m$ ), carácter escalar o vectorial.
Masa: unidad kilogramo ( $kg$ ), carácter escalar.
Tiempo: unidad segundo ( $s$ ), carácter escalar.
Temperatura: unidad kelvin ( $K$ ), carácter escalar.
Intensidad de corriente: unidad ampere ( $A$ ), carácter escalar.
Intensidad luminosa: unidad candela ( $cd$ ), carácter vectorial.
Cantidad de materia: unidad mol ( $mol$ ), carácter escalar.

Sistema Técnico o Gravitacional:

Longitud: unidad metro ( $m$ ), carácter escalar o vectorial.
Peso: unidad kilogramo fuerza ( $kgf$ ), carácter vectorial.
Tiempo: unidad segundo ( $s$ ), carácter escalar.

Reglas de Escritura de Unidades y Símbolos

Unidades: Deben escribirse siempre en minúsculas, incluso si provienen de nombres propios (ejemplos: $metro$ , $ampere$ , $kelvin$ , $joule$ ).
Símbolos: Se escriben en minúsculas, excepto si la unidad proviene de un apellido o nombre propio, en cuyo caso se escriben con mayúscula (ejemplos: $m$ para metro; $J$ para joule; $A$ para ampere; $K$ para kelvin).

2.3. Conversiones de las Unidades de Medida

Para convertir una unidad a otra se utilizan factores de conversión y equivalencias.
Equivalencias comunes: * Longitud: $1\,m = 100\,cm$ ; $1\,km = 1000\,m$ . * Masa: $1\,kg = 1000\,g$ ; $1\,g = 1000\,mg$ . * Tiempo: $1\,h = 3600\,s$ ; $1\,min = 60\,s$ ; $1\,h = 60\,min$ .

Ejemplos de Conversión:

Convertir $90\,km/h$ a $m/s$ : $\frac{90\,km}{h} \times \frac{1000\,m}{1\,km} \times \frac{1\,h}{3600\,s} = 25\,m/s$
Convertir $56\,cm^2/min$ al SI ( $m^2/s$ ): Sabemos que $1\,m = 100\,cm$ , por lo tanto, $1\,m^2 = 10000\,cm^2$ . $\frac{56\,cm^2}{min} \times \frac{1\,m^2}{10000\,cm^2} \times \frac{1\,min}{60\,s} = 9.33 \times 10^{-5}\,m^2/s$

Prefijos de las Unidades de Medida

Los prefijos actúan como múltiplos y submúltiplos decimales y se colocan delante del símbolo sin espacio.

Múltiplos:

deca (da): $10^1$
hecto (h): $10^2$
kilo (k): $10^3$
mega (M): $10^6$
giga (G): $10^9$
tera (T): $10^{12}$
peta (P): $10^{15}$
exa (E): $10^{18}$
zetta (Z): $10^{21}$
yotta (Y): $10^{24}$

Submúltiplos:

deci (d): $10^{-1}$
centi (c): $10^{-2}$
mili (m): $10^{-3}$
micro (\mu): $10^{-6}$
nano (n): $10^{-9}$
pico (p): $10^{-12}$
femto (f): $10^{-15}$
atto (a): $10^{-18}$
zepto (z): $10^{-21}$

Ejemplos de uso de prefijos:

$5200000\,m = 52 \times 10^5 = 5.2 \times 10^6\,m = 5.2\,Mm$
$0.00000065\,m = 65 \times 10^{-8}\,m = 6.5 \times 10^{-7}\,m = 0.65 \times 10^{-6}\,m = 0.65\,\mu m$

3. Vectores

Definición: Segmento de recta orientado que posee dirección y sentido.
Uso en Física: Se utiliza para esquematizar magnitudes vectoriales. El vector establece: * Módulo (o intensidad): Indicado por la longitud del segmento. * Dirección: Esquematizada por la recta imaginaria a la que pertenece el vector. * Sentido: Indicado por la punta de la flecha (extremo). * Punto de Aplicación: El origen del vector.
Representación: Letras mayúsculas o minúsculas con una flecha arriba (e.g., $\vec{V}$ , $\vec{a}$ ) o letras en negrita.

3.1. Propiedades de los Vectores

Vectores iguales: Poseen el mismo módulo, dirección y sentido.
Vectores opuestos: Poseen el mismo módulo y dirección, pero sentidos contrarios.
Vectores paralelos: Poseen la misma dirección y sentido.
Vectores antiparalelos: Poseen la misma dirección y sentidos contrarios.

3.2. Componentes Cartesianas de un Vector

Para determinar las componentes $(x, y)$ , se traslada el vector al plano cartesiano haciendo coincidir su origen con el origen del plano.

Relaciones Trigonométricas: * $\sin(\alpha) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{V_y}{V}$ * $\cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{V_x}{V}$ * $\tan(\alpha) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{V_y}{V_x}$
Ecuaciones de las componentes: * $V_x = V \times \cos(\alpha)$ * $V_y = V \times \sin(\alpha)$
Módulo: Se halla mediante el Teorema de Pitágoras: $V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}$
Dirección: Se calcula con la función tangente: $\tan(\alpha) = \frac{V_y}{V_x}$

Consejos Útiles y Reglas de Cuadrantes

Las componentes de un vector son magnitudes escalares (pueden tener unidades).
El módulo es un número siempre positivo con su unidad.
En física se trabaja con reducción al primer cuadrante (ángulos entre $0^\circ$ y $90^\circ$ ).
Operaciones según el cuadrante (ángulo $\theta$ desde el eje x positivo): * 2do Cuadrante: Si el ángulo $\phi$ es con el eje y positivo: $\theta = 90^\circ + \phi$ . Si es con el eje x negativo: $\theta = 180^\circ - \phi$ . * 3er Cuadrante: Si el ángulo $\theta$ es con el eje x negativo: $\phi = 180^\circ + \theta$ . Si es con el eje y negativo: $\phi = 270^\circ - \theta$ . * 4to Cuadrante: Si el ángulo $\phi$ es con el eje y negativo: $\theta = 270^\circ + \phi$ . Si es con el eje x positivo (sentido horario): $\theta = 360^\circ - \phi$ .

Ejemplos de componentes:

Vector de módulo $50\,u$ , ángulo de $30^\circ$ con el norte hacia el oeste (2do cuadrante): * Ángulo con eje x positivo: $90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ . * $V_x = 50 \times \cos(120^\circ) = -25\,u$ * $V_y = 50 \times \sin(120^\circ) = 25\sqrt{3} \approx 43.30\,u$ * Representación: $\vec{V} = (-25; 25\sqrt{3})\,u$
Módulo y dirección de componentes $(-25; 30)$ : * $V = \sqrt{(-25)^2 + (30)^2} = 39.05\,u$ * $\tan(\alpha) = \frac{30}{-25} \implies \alpha \approx -50.19^\circ$ (Ángulo con eje x negativo). * Dirección desde eje x positivo: $180^\circ - 50.19^\circ = 129.81^\circ$ .

4. Operaciones entre Vectores

4.1. Suma de Vectores Concurrentes (Método del Paralelogramo)

Se construye un paralelogramo con los vectores como lados; la diagonal es el vector suma ( $\vec{S}$ o $\vec{R}$ ).

Fórmula del módulo (Teorema del Coseno para suma): $S = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(\alpha)}$

4.2. Diferencia de Vectores Concurrentes

La diferencia se considera la suma de un vector y el opuesto del otro ( $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$ ).

Fórmula del módulo (Teorema del Coseno para diferencia): $D = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos(\alpha)}$

Variación del Módulo según el Ángulo ( $A = 15\,m$ , $B = 20\,m$ )

Ángulo	Suma ( $S$ )	Diferencia ( $D$ )
$0^\circ$	$35\,m$	$5\,m$
$30^\circ$	$33.83\,m$	$10.26\,m$
$45^\circ$	$32.39\,m$	$14.16\,m$
$60^\circ$	$30.41\,m$	$18.02\,m$
$90^\circ$	$25\,m$	$25\,m$
$120^\circ$	$18.02\,m$	$30.41\,m$
$135^\circ$	$14.16\,m$	$32.39\,m$
$150^\circ$	$10.26\,m$	$33.83\,m$
$180^\circ$	$5\,m$	$35\,m$

Observaciones clave:

Valor máximo de la suma: Se da a $0^\circ$ ( $A + B$ ).
Valor mínimo de la suma: Se da a $180^\circ$ ( $|A - B|$ ).
Rango de la resultante ( $R$ ): $|A - B| \le R \le |A + B|$ .
A medida que el ángulo aumenta de $0^\circ$ a $180^\circ$ , el módulo de la suma disminuye y el de la diferencia aumenta.
A $90^\circ$ (vectores ortogonales), el módulo de la suma es igual al de la diferencia.

Ejemplo de límites:

Dos vectores de $4\,u$ y $7\,u$ no pueden tener una resultante de $2\,u$ . * Máximo: $11\,u$ ; Mínimo: $|4 - 7| = 3\,u$ . El valor $2$ está fuera del rango $[3, 11]$ .

4.3. Suma y Diferencia por Método de Componentes

Se realiza la operación componente a componente.

Suma: $\vec{S} = (A_x + B_x; A_y + B_y)$
Diferencia: $\vec{D} = (A_x - B_x; A_y - B_y)$
Ejemplo: $\vec{A} = (4; 6)$ , $\vec{B} = (-2; 3)$ . * $\vec{S} = (2; 9) \implies S = \sqrt{2^2 + 9^2} = \sqrt{85}\,u$ * $\vec{D}_{A-B} = (6; 3) \implies D = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}\,u$ * $\vec{D}_{B-A} = (-6; -3)$ (vector opuesto al anterior).

4.4. Método del Polígono (Suma Gráfica)

Consiste en colocar los vectores uno tras otro (punta con cola) manteniendo magnitud, dirección y sentido. La resultante une el origen del primer vector con el extremo del último.

4.5. Resultante de más de dos Vectores Concurrentes

Pasos del procedimiento analítico:

Trasladar vectores al plano cartesiano.
Determinar componentes de cada vector ( $V_x, V_y$ ).
Sumar componentes en x ( $R_x$ ) y en y ( $R_y$ ).
Calcular módulo: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ .
Calcular dirección: $\tan(\alpha) = \frac{R_y}{R_x}$ .

Ejemplo práctico:

$\vec{A} (12\,m, 53^\circ)$ : $A_x = 7.22\,m, A_y = 9.58\,m$
$\vec{B} (15\,m, 320^\circ)$ : $B_x = 11.49\,m, B_y = -9.64\,m$
$\vec{C} (6\,m, 240^\circ)$ : $C_x = -3\,m, C_y = -3\sqrt{3}\,m$
Totales: $R_x = 15.71\,m$ , $R_y = -5.25\,m$ .
Módulo: $R = \sqrt{15.71^2 + (-5.25)^2} = 16.56\,m$ .
Dirección: $\alpha = -18.47^\circ$ (4to cuadrante).

4.6. Multiplicación de un Vector por un Escalar

Si $\vec{D} = k\vec{E}$ , donde $k$ es un escalar:

Si $k > 0$ : Misma dirección y sentido.
Si $k < 0$ : Misma dirección, sentido contrario.
Si $k = 1$ : Vectores iguales.
Si $k = -1$ : Vectores opuestos.

Bibliografía

Bonjorno, J. R., Bonjorno, R., & Bonjorno, V. (1944). Física Volúmen único. San Pablo: FTD.
Gonzalez, D. (2005). Test de Física. Asunción: Ediciones Técnicas Paraguayas.