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Capítulo 1: Introducción a las Funciones Inversas
Una función debe ser biyectiva para tener una inversa.
Inyectiva: cada elemento en el dominio se relaciona con un único elemento en el codominio.
Sobreyectiva: cada elemento en el codominio es alcanzado por algún elemento del dominio.
Definición de biyectiva: hay una relación uno a uno, sin repetición ni sobrantes en los elementos de cada conjunto.
Relación entre el condominio y el ámbito:
El ámbito es un subconjunto del condominio.
Cada elemento en el ámbito debe corresponder con un elemento único en el condominio.
Identificación gráfica de funciones:
Usamos líneas verticales para identificar funciones; si tocan la gráfica una sola vez, es función.
Para funciones inversas, se utilizan líneas horizontales; si tocan la gráfica solo una vez, la función tiene inversa.
Capítulo 2: La Función Cuadrática y su Inversa
La función logarítmica es similar a la función raíz, pero no son iguales.
Para determinar si una función tiene inversa gráficamente:
Lanza líneas horizontales sobre la gráfica; si cada línea toca la gráfica solo una vez, la función tiene inversa.
Ejemplo: una función cuadrática toca una línea horizontal en dos puntos, por lo que no tiene inversa en toda su extensión, pero puede tenerla si se limita a un intervalo creciente.
Capítulo 3: Comportamiento de las Funciones
En funciones donde la curva sube y baja, como la cuadrática, tiene que restringirse para tener inversa.
Funciones como la raíz y la exponencial tienen inversa porque siempre tocan las líneas horizontales una sola vez.
La inversa de la función exponencial es la función logarítmica.
Ejemplos de funciones sin inversa:
Circunferencia (toca dos veces)
Raíz cúbica (toca una sola vez).
Capítulo 4: Reflexiones y Simetrías en Funciones Inversas
Para una función lineal, la inversa se refleja respecto a la línea de identidad (y=x).
La función identidad es una línea en 45 grados, descrita por la ecuación f(x) = x.
La gráfica de la inversa puede ser obtenida reflejando la gráfica de la función original sobre esta línea de identidad.
Capítulo 5: Intervalos de Inversabilidad
Condiciones para que una función tenga inversa:
Debe ser estrictamente creciente o decreciente en un intervalo.
Ejemplos de identificaciones de intervalos:
Funciones que solo suben cumplen con la propiedad inversa.
Funciones que solo bajan también cumplen.
No cumplen funciones que son horizontales o que cambian de dirección.
Capítulo 6: Conclusión sobre Funciones Inversas
Al trabajar con funciones a trozos:
Determinar en qué intervalos son estrictamente crecientes o decrecientes es crucial para identificar dónde tienen inversa.
Las funciones que presentan tramos horizontales no tendrán inversa en esos segmentos.