Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik WS 2024-25

Grundlagen der Elektrotechnik (GET) - Basisgrößen und Gleichstrom

• Elektrischer Strom ($I$):

  • Definition des Stroms als zeitliche Änderung der Ladung: $I[A] = \frac{Q[As]}{t[s]}$.
  • Einheit: Ampere ($A$), entspricht Amperesekunden pro Sekunde.

• Elektrische Stromdichte ($S$):

  • Definition als Strom pro Querschnittsfläche: $S[A/m^2] = \frac{I[A]}{A[m^2]}$.

• Elektrischer Widerstand ($R$):

  • Ohm'sches Gesetz: $R[\Omega] = \frac{U[V]}{I[A]}$.
  • Materialabhängiger Widerstand: Abhängig vom spezifischen Widerstand $\rho [\Omega mm^2/m]$, der Länge $l[m]$ des Leiterstücks und dem Querschnitt $A[m^2]$.
  • Temperaturabhängiger Widerstand: Widerstandswerte ändern sich in Abhängigkeit von der Temperatur (lineare Näherung wird impliziert).

• Elektrische Leistung ($P$):

  • Einheit: Watt ($W$).

• Elektrische Arbeit bzw. Energie ($W$):

  • Einheit: Joule ($J$).
  • Umrechnungsbeziehungen: $1\,J = 1\,Nm = 1\,Ws = 1\,VAs$.

• Netzwerkregeln:

  • Knotenregel (KCL): Die Summe der Ströme in einem Knoten ist Null.
  • Maschenregel (KVL): Die Summe der Spannungen in einem geschlossenen Umlauf ist Null.
  • Stromteilerregel: In Parallelschaltungen verhalten sich die Teilströme entgegengesetzt (umgekehrt) zu den Widerständen der jeweiligen Zweige.
  • Spannungsteilerregel: In Reihenschaltungen verhalten sich die Teilspannungen proportional zu den jeweiligen Widerständen.

• Wirkungsgrad ($\eta$): Verhältnis von abgegebener zu zugeführter Leistung.

• Leistungsanpassung:

  • Maximale Leistungsabgabe an eine Last erfolgt, wenn der Lastwiderstand $R$ genauso groß ist wie der Innenwiderstand $R_i$ der Quelle ($R = R_i$).

Das elektrische Feld und Elektrostatik

• Elektrische Feldstärke ($E$):

  • Feldstärke einer Punktladung $Q[As]$ im Abstand $r[m]$: $E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$.
  • Einheit: $[V/m]$.
  • Kraftwirkung: Die Feldstärke $E$ erzeugt eine Kraft $F[N]$ auf eine Ladung $Q[As]$, die sich im Feld befindet ($F = E \times Q$).

• Dielektrizitätskonstante im Vakuum ($\epsilon_0$):

  • Zahlenwert: $4 \times \pi \times \epsilon_0 \approx 10^{-10}\,As/Vm$.

• Elektrisches Potential:

  • Potential einer Punktladung $Q[As]$ im Abstand $r[m]$ (Einheit: $[V]$).

• Elektrische Spannung ($U$):

  • Definiert als Potentialdifferenz.
  • Mathematisch als Integral der Feldstärke $E$ entlang eines Weges $s$: $U = \int E\,ds$.

• Elektrische Arbeit ($W$):

  • Entspricht der Ladung $Q[As]$, die über eine Potentialdifferenz (Spannung) transportiert wird: $W = Q \times U$.

• Dielektrische Verschiebungsdichte ($D$): Materialunabhängige Beschreibung des elektrischen Feldes.

Kapazität und Kondensator

• Kapazität ($C$):

  • Definition: Ladung $Q[As]$ pro Spannung $U[V]$. $C[F = As/V] = \frac{Q}{U}$.

• Plattenkondensator:

  • Formel: $C = \epsilon_0 \epsilon_r \frac{A}{d}$.
  • $\epsilon_0$: Vakuum-Dielektrizitätskonstante.
  • $\epsilon_r$: Materialspezifische Permittivitätszahl.
  • $A[m^2]$: Plattenfläche.
  • $d[m]$: Plattenabstand.

• Energieinhalt eines Plattenkondensators ($W$):

  • Einheiten: $[As \times V = Ws = J]$.

• Schaltungsarten von Kondensatoren:

  • Parallel: Gesamtkapazität ist die Summe der Einzelkapazitäten ($C_{ges} = C_1 + C_2 + ...$).
  • Reihe: Der Kehrwert der Gesamtkapazität ist die Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten ($\frac{1}{C_{ges}} = \sum \frac{1}{C_i}$).

Das magnetische Feld

• Magnetische Feldstärke ($H$):

  • Um einen stromführenden Leiter ($I$) im Abstand $r$: $H[A/m]$.
  • In einer Ringspule mit Windungszahl $N$ und Radius $r[m]$: $H = \frac{I \times N}{l}$.

• Elektrische Durchflutung ($\Theta$):

  • Definition: Summe aller Ströme $I[A]$ innerhalb eines geschlossenen Umlaufs: $\Theta[A] = \sum I$.

• Magnetischer Fluss ($\Phi$):

  • Definition: Summe aller Feldlinien der Flussdichte $B[Vs/m^2]$ durch eine Fläche $A[m^2]$. $\Phi [Vs = Wb]$.

• Magnetische Flussdichte ($B$):

  • Zusammenhang: $B = \mu H$ (Einheiten: $[Vs/m^2 = T]$).
  • Permeabilität ($\mu_r$): Materialspezifisch und oft nichtlinear.

• Magnetischer Widerstand ($R_m$):

  • Widerstand eines Eisenkerns oder Luftspalts: $R_m[A/Vs = 1/H] = \frac{l}{\mu_r \mu_0 A}$.
  • Basierend auf Länge $l[m]$, Querschnitt $A[m^2]$ und Materialpermeabilität $\mu_r$.

• Ohm'sches Gesetz des magnetischen Kreises:

  • Zusammenhang zwischen Durchflutung, Fluss und magnetischem Widerstand: $\Theta = \Phi \times R_m$.

Magnetische Kräfte und Induktion

• Kraft auf stromführenden Leiter im Magnetfeld:

  • $F = B \times I \times l \times \sin(\alpha)$.
  • $\alpha$ ist der Winkel zwischen dem Leiterstück $l$ und der Flussdichte $B$.

• Kraft auf bewegte Ladung (Lorentzkraft):

  • $F = Q \times v \times B \times \sin(\alpha)$.
  • $\alpha$ ist der Winkel zwischen der Bewegungsrichtung $v$ und $B$.

• Kraft zwischen zwei parallelen Leitern:

  • Kraftwirkung bei Länge $l$ und Abstand $a$.

• Drehmoment auf eine stromdurchflossene Spule ($M$):

  • Abhängig vom Winkel $\beta$ zwischen Flächennormale von $A$ und der Flussdichte $B$.

• Induktion einer Spannung ($U$):

  • In einer Wicklung mit Windungszahl $N$ durch zeitliche Änderung des magnetischen Flusses $\Phi[Vs]$: $U = -N \frac{d\Phi}{dt}$.
  • Induktion an einem bewegten Leiterstück.

• Induktivität ($L$):

  • Definition: $L[Vs/A] = \frac{N \times \Phi}{I}$. Eine Eigenschaft einer Spule.
  • Energie in einer Induktivität: $W = \frac{1}{2} L I^2$.
  • Reihenschaltung: $L_{ges} = L_1 + L_2 + ...$
  • Parallelschaltung: $\frac{1}{L_{ges}} = \sum \frac{1}{L_i}$.

• Kraft am Elektromagnet-Luftspalt:

  • Kraft $F[N]$ abhängig von der Fläche $A[m^2]$ und der magnetischen Flussdichte $B[Vs/m^2]$.

Wechselstromtechnik (AC) und Komplexe Rechnung

• Phasenbeziehungen:

  • Phasenwinkel ($\phi$): Differenz zwischen Nullphasenwinkel der Spannung und des Stroms: $\phi = \phi_u - \phi_i$.

• Impedanz ($Z$) und Admittance ($Y$):

  • Impedanz (Scheinwiderstand): $Z = \frac{U}{I} [V/A]$.
  • Leitwert (Admittance): $Y = \frac{I}{U} [A/V]$.

• Leistung im Wechselstromkreis:

  • Komplexe Scheinleistung ($S$): Einheit Volt-Ampere ($VA$). $S = U \times I^*$ (wobei $I^*$ der konjugiert-komplexe Strom ist).
  • Leistungsfaktor: Beschreibt das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung ($\cos(\phi)$).

• Komplexe Division:

  • Mathematisches Verfahren: Erweitern mit dem konjugiert-komplexen Nenner, um den Nenner reell zu machen: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \times z_2^*}{z_2 \times z_2^*}$.