Notas detalladas (Filosofía de la Ciencia y Lógica)
Ciencia y filosofía de la ciencia
La ciencia es una actividad humana específica y se halla integrada socialmente; la ciencia se estructura socialmente, cuenta con dispositivos para la reproducción y circulación de los conocimientos generados, y hace uso de mecanismos de reconocimiento de méritos y distribución de honores y cargos.
Es una actividad cooperativa con dinámica propia; la filosofía de la ciencia reflexiona sobre la ciencia.
Dos aproximaciones a la filosofía de la ciencia:
Perspectiva clásica (lógica y metodológica): identifica la estructura de las teorías, las relaciones lógico‑enunciativas entre sus enunciados y cómo se vinculan esas teorías con la evidencia.
Nueva filosofía de la ciencia: parte de la crítica a la perspectiva clásica y entiende la ciencia como un fenómeno social, cultural, que ocurre en un lugar y contexto determinados.
También se aborda la ciencia desde un punto de vista ético, político y de las políticas científicas; ¿qué rol deben cumplir los Estados para el desarrollo de la ciencia?
La práctica argumentativa forma parte de nuestra vida diaria y consiste en la producción y la evaluación de argumentos.
Las teorías científicas son sistemas de afirmaciones que están presentadas y discutidas dentro y fuera de las comunidades científicas; son afirmaciones que guardan relación entre sí y conforman argumentos. La ciencia divulga, dispone, sustenta, amplía y decide educativa, social y políticamente.
Reconocimiento de argumentos.
Un argumento es un conjunto de enunciados; los enunciados afirman o niegan algo, expresan información acerca de hechos o sucesos que puede resultar cierta o no. Sus veracidades deben ser evaluadas a la hora de considerar argumentos.
El esqueleto de los argumentos: premisas y conclusión; las premisas dan razones a favor de la conclusión; la conclusión es el enunciado único al que se llega.
Indicadores de premisas y de conclusión: ejemplos de frases que señalan premisas y/o conclusión (p. ej., "Dado que…", "Puesto que…", "Porque…", "Por lo tanto…", etc.).
Estructura y tipos de enunciados
En la lógica se distingue entre oraciones y lo que ellas expresan; las oraciones expresan proposiciones; los enunciados simples y los complejos.
Enunciados simples vs complejos:
Simples: no se descomponen en enunciados más pequeños mediante conectivas.
Complejos: combinaciones de enunciados simples mediante conectivas (p. ej., "pero si… entonces… siempre…").
Conectivas lógicas:
Conjunción: A ∧ B; la conclusión resulta de la conjunción de dos enunciados.
Disyunción: A ∨ B; puede ser inclusiva o exclusiva.
Disyunción inclusiva (OR): al menos uno de los disjuntos es verdadero; puede haber ambos verdaderos.
Disyunción exclusiva (XOR): exactamente uno de los disyuntos es verdadero.
Condicional: A → B; relación entre antecedente y consecuente.
Bicondicional: A ↔ B; A es verdadero si y solo si B lo es.
Ejemplos de conectivas y uso en enunciados:
A ∨ B: "La historia de la ciencia ha excluido a las mujeres, pero muchas científicas tuvieron roles cruciales en el desarrollo de la ciencia" (muestra uso de disyunción/contraste).
A → B: "Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda".
Enunciados y proposiciones: la verdad de los enunciados simples se determina por su contenido; los enunciados complejos requieren verificar la veracidad de sus enunciados simples y el comportamiento de las expresiones lógicas que los combinan.
Tipos de enunciados según su alcance:
Singulares (existenciales) o universales: existen enunciados que señalan individuos concretos o todos los miembros de un conjunto (p. ej., todos los planetas tienen órbitas elípticas).
Existenciales: afirman la existencia de al menos uno que posee ciertas características (ej.: algunos planetas tienen satélites).
Probabilísticos: asignan una probabilidad a un fenómeno (p. ej., la probabilidad de que un fumador desarrolle cáncer de pulmón es 0.2).
Contingencias: la verdad/falsedad de un enunciado depende de la verdad/falsedad de sus enunciados simples.
Tautologías y contradicciones: verdades o falsedades aplicables en cualquier circunstancia por la forma del enunciado; las tautologías son verdaderas en toda circunstancia; las contradicciones son falsas en toda circunstancia.
Contingencias: su verdad depende de contenido, no solo de forma. Ej.: Hoy es viernes.
Probabilidades y casos: manejo de enunciados probabilísticos (p. ej., 0.2) mediante seguimiento de casos y verificación de propiedades.
Evaluación de argumentos: deductivos e inductivos
Dos preguntas clave para la evaluación de argumentos:
¿Son verdaderas las premisas? ¿Qué tan confiables son?
¿Las premisas respaldan la conclusión y en qué grado?
Argumentos deductivos: las premisas justifican necesariamente la conclusión (con la forma adecuada, la conclusión se sigue de las premisas).
Son válidos si la estructura garantiza la verdad de la conclusión cuando las premisas son verdaderas (validez por forma).
Si las premisas son verdaderas y la conclusión se sigue lógicamente, el argumento es sólido.
Argumentos inductivos: las premisas ofrecen apoyo probable a la conclusión; no garantizan la verdad de la conclusión, pero pueden hacerla probable.
Tipos de argumentos deductivos y ejemplos de estructuras:
Modus Ponens: si A → B y A, entonces B.
Modus Tollens: si A → B y ¬B, entonces ¬A.
Silogismo hipotético: si A → B y B → C, entonces A → C.
Simplificación: de A ∧ B, obtener A (o B).
Conjunción: de A y B, inferir A ∧ B.
Adición: de A, inferir A ∨ B (o de B inferir A ∨ B).
Silogismo disyuntivo (disyunción): de A ∨ B y ¬A, inferir B.
Instanciación del universal: de ∀x P(x) inferir P(a).
Pruebas de validez y pruebas por deducción:
Regla de inferencia: una forma válida que permite derivar una conclusión a partir de premisas.
Pruebas por absurdo: se busca una contradicción a partir de la negación de la conclusión para demostrar que la conclusión es verdadera.
Pruebas por absurdidad y reglas de inferencia
Pruebas por absurdo (prueba por reducción al absurdo):
1) Se asume que la negación de la conclusión es verdadera.
2) Se derivan contradicciones mediante reglas de inferencia.
3) Con una contradicción, se concluye que la suposición es falsa, por lo que la conclusión es verdadera.Otras reglas de inferencia relevantes:
Silogismo hipotético, simplificación, conjunción, adición, disyunción (inclusiva y/o exclusiva), instanciación del universal.
Regla de la sustitución de predicados y otros principios en contextos más amplios, si se amplía a lógica de predicados.
Evaluación de argumentos inductivos
Los argumentos inductivos ofrecen apoyo probabilístico a la conclusión; no aseguran su verdad.
Tipos de argumentos inductivos:
Analogía: se argumenta que si X y Y comparten características F, G, Z, entonces X y Y comparten una característica adicional Z.
Enumeración (inductiva por enumeración): se parte de casos observados y se generaliza a todos los casos similares.
Probabilísticos/estadísticos: se basan en frecuencias o probabilidades (p. ej., 20% de probabilidad de X).
Evaluación de analogía:
Relevancia de los aspectos compartidos entre casos; mayor cantidad de aspectos relevantes mejora el argumento.
Mayor similitud en aspectos relevantes y mayor cantidad de casos apoyando la generalización fortalecen el argumento.
Evaluación de inductivos por enumeración y probabilidades:
Cuanto mayor sea la frecuencia relativa (probabilidad) de una premisa generalizadora, más fuerte será el argumento.
Considerar el tamaño de la muestra y la representación de la población para evitar sesgos.
Historia y desarrollo de la ciencia
Noción de ciencia en la Grecia clásica: ciencia demostrativa de Aristóteles basada en principios evidentes y razonamiento deductivo; su epistemología se centraba en fundamentos y pruebas.
Auge de la ciencia moderna (Siglos XVI–XVII): separación de la filosofía natural y la filosofía; énfasis en la experiencia empírica y la descripción mecánica del mundo; surgimiento de la ciencia como actividad autónoma y su circulación en la cultura.
Crisis de la cosmovisión europea: conflicto entre cristianismo y protestantismo; el giro hacia explicaciones naturales y el abandono de explicaciones sobrenaturales; origen de la visión de la ciencia como una disciplina empírica y formativa.
Influencias y fundamentos de la ciencia contemporánea: la ciencia moderna se apoya en un enfoque empírico, matemático y experimental; se separa de la visión teológica y filosófica para explicar el mundo con leyes y mecanismos.
Relación entre filosofía de la ciencia y progreso científico, con énfasis en cómo las políticas científicas y el contexto social influyen en qué se investiga y cómo se divulga el conocimiento.
Historia de la geometría y de los sistemas axiomáticos
Orígenes geométricos antiguos: Mesopotamia y Egipto aportan conocimientos geométricos prácticos para mediciones, construcción de pirámides y cálculos concretos; primeros documentos geométricos (Sumerios, Babilonios) y métodos empíricos.
Geometría griega: influencia de Grecia en la abstracción y la generalización; Tales de Mileto y Euclides como figuras centrales.
Tales de Mileto: métodos de resolución y pruebas en geometría; sentó bases para demostraciones generales.
Euclides (aprox. 300 a. C.): sistematizó los conocimientos geométricos en un conjunto de axiomas y teoremas; introdujo la demostración y la estructura axiomática.
Parafraseo de Euclides y la estructura de demostración: afirmaciones articuladas de modo orgánico; desde axiomas y definiciones se derivan teoremas mediante deducciones.
Postulados y axiomas: los axiomas son fundamentos no demostrables a partir de otros principios; los teoremas se derivan de axiomas mediante deducción; un postulado es un caso especial de axioma que no se deduce de otros axiomas.
Playfair y el quinto postulado: versión moderna del postulado de paralelas; prueba de su validez histórica y debates sobre su independencia de los otros axiomas.
Gauss, Saccheri y geometría no euclidiana:
Gauss sugirió que el quinto postulado podría ser independiente y potencialmente reemplazable por otros axiomas, lo que llevó a geometrías no euclidianas.
Saccheri trabajó en pruebas para el quinto postulado; su obra inspiró desarrollo posterior.
Janos Bolyai y Lobachevsky (geométras no euclidianas): geometría hiperbólica, donde existen infinitas líneas paralelas a una recta dada desde un punto exterior, y la suma de ángulos de un triángulo puede ser menor que 180°.
Geometría elíptica (Riemann, etc.): sumas angulares mayores que 180°, paralelismo restringido o inexistente.
Geometría pura vs geometría aplicada: dos formas de pensar la geometría; la geometría axiomática se concibe como una estructura formal independiente de objetos concretos; la geometría aplicada describe realidades físicas y fenómenos.
Importancia de las geometrías no euclidianas para explicar la física (p. ej., relatividad) y su impacto en la concepción de axiomas y teoría matemática.
Concepto de sistemas axiomáticos: conjunto de axiomas permite construir teorías coherentes desde un punto de vista lógico; no todas las verdades deben referirse a entidades concretas para ser útiles.
Elementos de un sistema axiomático: axiomas, definiciones, términos primitivos, teoremas, y las reglas de inferencia que permiten derivar teoremas a partir de axiomas.
Características de los sistemas axiomáticos:
Independencia: un sistema en el que no todas las proposiciones pueden derivarse de los otros axiomas; evita redundancias y facilita la deducción.
Consistencia: no debe haber contradicciones dentro del sistema.
Completitud: el sistema debe poder demostrar todas las verdades que pretende demostrar; no debe dejar verdades excluidas.
Términos y jerga de los sistemas axiomáticos:
Términos lógicos: todos, tal, si, entonces, no, etc. (terminología general de lógica).
Términos no lógicos: términos geométricos como recta, punto, círculo, ángulo.
Términos primitivos: aceptados sin definición; Términos definidos: definibles a partir de los primitivos.
Reglas de producción: permiten construir sintácticamente enunciados que pueden cumplir el rol de axiomas o teoremas.
Postulados y teoremas en Euclides: muchos conceptos en geometría se derivan de axiomas y teoremas; ciertos postulados pueden ser discutidos o reformulados (por ejemplo, quinto postulado) y explorados a través de pruebas por absurdo.
Importancia de la independencia y consistencia para la validez de un sistema axiomático; la noción de que ciertos sistemas pueden ser alternados o modificados sin conflicto (p. ej., geometría hiperbólica, elíptica) y su relación con la física y la teoría matemática moderna.
Notas sobre terminología y estructura de la lógica
Terminología clave:
Términos lógicos: conectores y operadores lógicos (por ejemplo, ∧, ∨, →, ¬, ↔).
Términos no lógicos: conceptos de la geometría y de las ciencias, como recta, punto, círculo, etc.
Términos primitivos: conceptos básicos aceptados sin definición previa.
Términos definidos: definibles mediante definiciones a partir de los primitivos.
Regla de inferencia y demostración: construcción de argumentos y demostraciones a partir de axiomas y definiciones mediante reglas de inferencia.
Estructura de una demostración: secuencia de enunciados que parte de axiomas y premisas y llega a una conclusión por medio de deducciones.
Dimensiones del razonamiento: deductivo (de premisas verdaderas se obtiene una conclusión necesaria) vs inductivo (con apoyo probabilístico y generalizaciones a partir de casos particulares).
Resumen de fórmulas y notación utilizada
Conectivas lógicas:
Conjunción:
Disyunción inclusiva:
Disyunción exclusiva: (se expresa con operadores específicos; a veces se denota como XOR)
Implicación:
Bicondicional:
Negación:
Estructura de argumentos:
Premisas: conjunto de enunciados que sirven de base.
Conclusión: el enunciado que se argumenta.
Derivación:
Regla de inferencia (ejemplos):
Modus ponens:
Modus tollens:
Silogismo hipotético:
Probabilidad y estadística: ejemplos de enunciados probabilísticos como , o enunciados con frecuencias relativas para evaluar argumentos inductivos.
Conexión con otros temas y relevancia práctica
Las ideas de estructura de las teorías, de evaluación de evidencia y de las reglas de inferencia permiten entender cómo se construyen y evalúan las teorías científicas, cómo se comunican a otros, y cómo se identifican falacias o fallos lógicos.
El estudio de las geometrías no euclidianas muestra que los axiomas no son verdades empíricas inmutables, sino estructuras formales que pueden variar y seguir siendo útiles para describir la realidad física (p. ej., relatividad, geometría del espacio-tiempo).
La historia de la ciencia y la filosofía de la ciencia ayudan a comprender el papel del contexto social, político y metodológico en el desarrollo del conocimiento científico.
Estas notas pueden servir como guía para sustituir o complementar el material original y para preparar exámenes sobre filosofía de la ciencia, lógica y fundamentos de las matemáticas.