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Fondements des Probabilités

• Version: 10 octobre 2017

• Auteur: Thibaut Le Gouic

• Enseignement: Cours de probabilités 1ère année 2017-2018

Notations

• Fonction indicatrice 1A(x) = (1 si x ∈ A, 0 sinon)

• Mesure de Dirac δa(B) = (1 si a ∈ B, 0 sinon)

• Loi de probabilité X ∼ PX

Variable Aléatoire et Loi de Probabilité

1.1 Formalisme

• Rappel des notions d’intégration de Lebesgue avec adaptation probabiliste.

1.2 Tribu et Mesure

• Tribu (σ-algèbre): A ⊂ P(Ω) vérifie :

  1. φ ∈ A (ensemble vide)

  2. A ∈ A ⇒ Ac ∈ A (stabilité par complémentaire)

  3. (An)n≥1 ⊂ A ⇒ ∪n≥1 An ∈ A (stabilité par union dénombrable)

• Couple (Ω, A) = espace mesurable, événements inclus dans A.

• Tribu borélienne sur R est B(R).

Variable Aléatoire

• Définition: X : (Ω, A) → (E, E) est A-mesurable.

• Transformations sur X sont aussi des variables aléatoires.

Théorèmes

3.1 Stabilité des Variables Aléatoires

• Résultat sur la préservation de la mesurabilité des opérations sur variables aléatoires. Exemple :

  • X + c, X + cY, <X, Y>, X/Y (pour Y non nul).

3.2 Tribu Engendrée

• Tribu engendrée par X:

  • σ(X) = {X−1(B)|B ∈ E}

  • Correspond à l’information d’observation de X.

Mesures de Probabilité

6.1 Mesure Positive

• Définition:

  1. µ(φ) = 0

  2. A ∩ B = φ ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)

  3. Suite croissante ⇒ limite = somme

• Espace Mesuré: (Ω, A, µ)

6.2 Loi de Variable Aléatoire

• Définition: P est une mesure de probabilité si P(Ω) = 1.

• Loi PX définit par PX(B) = P(X−1(B)).

1.3 Exemples de Loi

• Lois Notables:

  1. Loi de Bernoulli: B(p)

  2. Loi binomiale: Bin(n, p)

  3. Loi de Poisson: P(λ)

  4. Loi géométrique: G(p)

  5. Loi exponentielle: E(λ)

  6. Loi normale: N(m, σ²)

  7. Loi uniforme: U([a, b])

Outils Fondamentaux

1.4 Espérance

• Définition: EX = ∫ X(ω)dP(ω).

• Propriétés de l’espérance:

  • Linéaire: E(X + cY) = EX + cEY

Variables Aléatoires Réelles

1.5 Variance

• Définition de la Variance: Var(X) = E(X − EX)².

• Classification selon moments.

1.6 Caractérisation de la Loi

• Fonctions caractérisant la loi de PX:

  1. B → PX(B)

  2. Fonction de répartition FX

  3. Fonction caractéristique ϕX

  4. Fonction génératrice des moments

Inégalités

1.7 Théorèmes d’Inégalités

• Jensen: Φ(EX) ≤ EΦ(X)

• Markov: P(|X| > a) ≤ E|X|/a

• Bienaymé-Tchebychev: P(|X − EX| > a) ≤ Var(X)/a²

Vecteurs Aléatoires

3.1 Covariance

• Définition: Cov(X, Y) = E((X − EX)(Y − EY)).

• Matrice de variance-covariance Σ.

3.2 Indépendance

• Variables X1,...,Xn indépendantes si P(X1 ∈ A1, ..., Xn ∈ An) = Πni=1P(Xi ∈ Ai).

Convergence de Variables Aléatoires

4.1 Convergence Types

• Convergence en probabilité, presque sûrement, dans L1, Lp, et en loi.

• Implications des notions de convergence.

4.2 Théorèmes de Convergence

• Théorème de Slutsky.

Mesure Empirique et Lois

5.1 Loi des Grands Nombres

• Théorème: Nombres i.i.d. convergent en probabilité vers l’espérance.

5.2 Mesure Empirique

• Notion de mesure empirique Pn pour n variables aléatoires i.i.d.

5.3 Théorème Central Limite

• Convergence en loi vers N(0, 1).

Espérance Conditionnelle

6.1 Définition

• Base de l’espérance conditionnelle, définie avec des v.a. intégrables.

6.2 Propriétés

• Linéarité, propriétés d’indépendance, théorèmes de convergence.

Loi Conditionnelle

7.1 Définition

• Probabilité de transition et densité conditionnelle.

7.2 Propriétés

• Se rapportant à la loi conditionnelle basée sur des événements.