Notas de Estudio Exhaustivas: Cinemática en Una Dimensión, M.R.U., M.U.A. y Caída Libre

Conceptos Fundamentales de la Cinemática

• Distancia ($d$): Longitud total recorrida por un objeto en movimiento. Es una magnitud escalar que solo posee módulo o magnitud y siempre es un valor positivo.

  • Ejemplo de cálculo básico: Si un objeto se desplaza $28\,\text{m}$ y luego otros $28\,\text{m}$, la distancia total recorrida es:     $d = 28\,\text{m} + 28\,\text{m} = 56\,\text{m}$

• Desplazamiento ($\Delta x$): Cambio de posición que experimenta un cuerpo en una dirección determinada. Es una magnitud vectorial que contempla posición inicial ($x_i$) y posición final ($x_f$):   $\Delta x = x_f - x_i$

  • Si la posición inicial es $x_i = 0\,\text{m}$ y la posición final es $x_f = 14\,\text{m}$:     $\Delta x = 14\,\text{m} - 0\,\text{m} = 14\,\text{m}$

  • Si la posición inicial es $x_i = 0\,\text{m}$ y la posición final es $x_f = -10\,\text{m}$:     $\Delta x = -10\,\text{m} - 0\,\text{m} = -10\,\text{m}$

• Rapidez ($s$ o $r$): Magnitud escalar que mide la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla:   $\text{Rapidez} = \frac{\text{distancia}}{\text{tiempo}}$

  • Ejemplo con distancia de $32\,\text{m}$ transcurridos en $24\,\text{s}$:     $\text{Rapidez} = \frac{32\,\text{m}}{24\,\text{s}} = 1.333\,\text{m/s}$

• Velocidad ($v$): Magnitud vectorial que expresa la razón de cambio entre el desplazamiento y el tiempo transcurrido:   $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$

• Conversión de Unidades de Velocidad:

  • Para convertir de metros por segundo ($\text{m/s}$) a kilómetros por hora ($\text{km/h}$), se multiplican los $\text{m/s}$ por el factor de conversión $\left(\frac{3600\,\text{s}}{1000\,\text{m}}\right)$.

  • Para $1.333\,\text{m/s}$:     $1.333\,\text{m/s} \times \left(\frac{1\,\text{km}}{1000\,\text{m}}\right) \times \left(\frac{3600\,\text{s}}{1\,\text{h}}\right) = 4.8\,\text{km/h}$

  • Para $4\,\text{m/s}$:     $4\,\text{m/s} \times \left(\frac{3600\,\text{s}}{1000\,\text{m}}\right) = 14.4\,\text{km/h}$

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

• Definición: El Movimiento Rectilíneo Uniforme describe el desplazamiento de un cuerpo en una dimensión a lo largo de una trayectoria recta con rapidez y velocidad constantes, lo cual implica que la aceleración es nula ($a = 0$).

• Ecuación Fundamental del M.R.U.:   $v = \frac{d}{t} \implies d = v \times t$

• Constantes Físicas de Referencia:

  • Velocidad de la luz en el vacío ($c$):     $c = 3 \times 10^8\,\text{m/s}$

  • Velocidad del sonido en el aire ($v_s$):     $v_s = 340\,\text{m/s}$

• Ejemplo de Aplicación Directa (Propagación del Sonido):

  • Determinar la distancia a la cual ocurre un evento sonoro si el sonido tarda $t = 10\,\text{s}$ en ser percibido:     $d = v_s \times t = \left(340\,\text{m/s}\right) \times \left(10\,\text{s}\right) = 3400\,\text{m} = 3.4 \times 10^3\,\text{m}$

Representación Gráfica y Cálculo Diferencial en Cinemática

• Gráfica de Posición contra Tiempo ($x$ vs $t$):

  • La trayectoria de un movimiento en una gráfica de posición ($x$) frente al tiempo ($t$) se modela mediante la ecuación de la recta:     $y = mx + b$

  • En el contexto físico, el eje vertical $y$ representa la posición $x$, el eje horizontal $x$ representa el tiempo $t$, y la pendiente $m$ representa la velocidad $v$:     $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

  • La pendiente de la recta en la gráfica de posición contra tiempo coincide con la tangente del ángulo de inclinación:     $\tan(\theta) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = v$

• Cálculo de Pendientes en Intervalos de Tiempo Específicos:

  • Datos del intervalo 1 ($t_1 = 1.73\,\text{s}$, $x_1 = 2.19\,\text{m}$; $t_2 = 9.66\,\text{s}$, $x_2 = 1.82\,\text{m}$):     $\Delta x = 1.82\,\text{m} - 2.19\,\text{m} = -0.37\,\text{m}$     $\Delta t = 9.66\,\text{s} - 1.73\,\text{s} = 7.93\,\text{s}$     $v_1 = \frac{-0.37\,\text{m}}{7.93\,\text{s}} = -0.046\,\text{m/s}$

  • Datos del intervalo 2 ($t_1 = 6.97\,\text{s}$, $x_1 = 3.92\,\text{m}$; $t_2 = 14.62\,\text{s}$, $x_2 = 1.78\,\text{m}$):     $\Delta t = 14.62\,\text{s} - 6.97\,\text{s} = 7.65\,\text{s}$     $v_2 = \frac{1.78\,\text{m} - 3.92\,\text{m}}{7.65\,\text{s}} = \frac{-2.14\,\text{m}}{7.65\,\text{s}} = -1.93\,\text{m/s}$

• Velocidad Instantánea ($v_{\text{inst}}$):

  • Se define como el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo de tiempo $\Delta t$ tiende a cero, lo que equivale a la derivada de la función de posición respecto al tiempo:     $v_{\text{inst}} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$

• Aceleración Instantánea ($a$):

  • Es el cambio instantáneo de la velocidad con respecto al tiempo, definido como la derivada de la velocidad respecto al tiempo o la segunda derivada de la posición:     $a = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$

Ejemplos y Problemas Resueltos de M.R.U.

• Problema 1: Detección por Sonar de un Murciélago:

  • Enunciado: Un murciélago vuela a una velocidad constante de $50\,\text{km/h}$ en dirección a un acantilado. Emite un sonido y escucha el eco (sonar) $0.5\,\text{s}$ después. ¿A qué distancia se encontraba del acantilado al momento de emitir el chillido?

  • Convertir la velocidad del murciélago a $\text{m/s}$:     $v_m = 50\,\text{km/h} \times \left(\frac{1000\,\text{m}}{1\,\text{km}}\right) \times \left(\frac{1\,\text{h}}{3600\,\text{s}}\right) = 13.888\,\text{m/s} \approx 13.9\,\text{m/s}$

  • Datos Adicionales:

  • Velocidad del sonido: $v_s = 340\,\text{m/s}$

  • Tiempo total de ida y vuelta del sonido: $\Delta t = 0.5\,\text{s}$

  • Análisis Geométrico del Movimiento:

  • El desplazamiento del murciélago durante el tiempo de emisión y recepción es:       $\Delta x_m = v_m \times \Delta t = \left(13.9\,\text{m/s}\right) \times \left(0.5\,\text{s}\right) = 6.95\,\text{m}$

  • La distancia recorrida por el sonido más la distancia recorrida por el murciélago es igual a dos veces la distancia original $d$ al acantilado:       $v_s \Delta t + v_m \Delta t = 2d$       $d = \frac{\Delta t (v_s + v_m)}{2}$

  • Sustitución y Resultado:     $d = \frac{0.5\,\text{s} \times \left(340\,\text{m/s} + 13.9\,\text{m/s}\right)}{2} = \frac{0.5\,\text{s} \times 353.9\,\text{m/s}}{2} = 88.475\,\text{m} \approx 88.5\,\text{m}$

• Problema 2: Persecución Vehicular de Alcanse (Patrulla y Automóvil):

  • Enunciado: Un automóvil circula por una carretera a $140\,\text{km/h}$. Una patrulla de policía parte de una posición retrasada por $200\,\text{m}$ ($0.2\,\text{km}$) viajando a $180\,\text{km/h}$. Determinar el tiempo de alcance ($t_a$) y la posición donde la patrulla alcanza al automóvil.

  • Datos:

  • Velocidad de la patrulla: $v_p = 180\,\text{km/h}$

  • Velocidad del automóvil: $v_a = 140\,\text{km/h}$

  • Separación inicial: $x_{0,a} = 0.2\,\text{km}$, $x_{0,p} = 0\,\text{km}$

  • Planteamiento de Ecuaciones:

  • Posición de la patrulla: $x = v_p \times t_a$

  • Posición del automóvil: $x - 0.2\,\text{km} = v_a \times t_a$

  • Igualando los tiempos $t_a = \frac{x}{v_p} = \frac{x - 0.2\,\text{km}}{v_a}$:       $x \times v_a = (x - 0.2\,\text{km}) \times v_p$       $x \times v_a - x \times v_p = -0.2\,\text{km} \times v_p$       $x (v_a - v_p) = -0.2\,\text{km} \times v_p$       $x = \frac{-0.2\,\text{km} \times v_p}{v_a - v_p}$

  • Sustitución de Valores:     $x = \frac{-0.2\,\text{km} \times 180\,\text{km/h}}{140\,\text{km/h} - 180\,\text{km/h}} = \frac{-36\,\text{km}^2/\text{h}}{-40\,\text{km/h}} = 0.9\,\text{km} = 900\,\text{m}$

  • Cálculo del Tiempo de Alcance ($t_a$):     $t_a = \frac{x}{v_p} = \frac{0.9\,\text{km}}{180\,\text{km/h}} = 0.005\,\text{h}$     $t_a = 0.005\,\text{h} \times \left(\frac{3600\,\text{s}}{1\,\text{h}}\right) = 18\,\text{s}$

Movimiento Uniformemente Acelerado (M.U.A. / M.R.U.V.)

• Definición: Movimiento en el que la velocidad experimenta variaciones iguales en intervalos de tiempo iguales. La aceleración se mantiene constante ($a = \text{constante}$).

• Ecuaciones Fundamentales del M.U.A.:

  1. Velocidad final en función del tiempo:      $v_f = v_0 + a \Delta t$

  2. Posición en función del tiempo:      $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$

  3. Velocidad en función del desplazamiento:      $v_f^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$

Ejemplos y Problemas Resueltos de M.U.A.

• Problema 1: Análisis Dinámico a partir de una Ecuación de Posición:

  • Enunciado: Una partícula se mueve a lo largo del eje $x$ de acuerdo con la función de posición $x(t) = 3t^2 - 5t + 4$.

  • a) Obtener la velocidad inicial ($v_0$) y posición inicial ($x_0$):

  • La velocidad instantánea es la primera derivada de la posición:       $v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 5t + 4) = 6t - 5$

  • Evaluación en $t = 0\,\text{s}$:       $x_0 = x(0) = 3(0)^2 - 5(0) + 4 = 4\,\text{m}$       $v_0 = v(0) = 6(0) - 5 = -5\,\text{m/s}$

  • b) Obtener la velocidad y posición a los $t = 2\,\text{s}$:     $x(2) = 3(2)^2 - 5(2) + 4 = 12 - 10 + 4 = 6\,\text{m}$     $v(2) = 6(2) - 5 = 12 - 5 = 7\,\text{m/s}$

  • c) Obtener la aceleración instantánea de la partícula:     $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t - 5) = 6\,\text{m/s}^2$

• Problema 2: Frenado de Emergencia de un Automóvil:

  • Enunciado: Un automóvil avanza a $80\,\text{km/h}$ y frena súbitamente al divisar un obstáculo en la carretera. Si se detiene por completo ($v_f = 0\,\text{m/s}$) en $t = 10\,\text{s}$, calcular su desaceleración y la distancia recorrida durante el frenado.

  • Conversión de la velocidad inicial a $\text{m/s}$:     $v_0 = 80\,\text{km/h} \times \left(\frac{1000\,\text{m}}{1\,\text{km}}\right) \times \left(\frac{1\,\text{h}}{3600\,\text{s}}\right) = 22.22\,\text{m/s}$

  • Cálculo de la Desaceleración ($a$):     $a = \frac{v_f - v_0}{t} = \frac{0\,\text{m/s} - 22.22\,\text{m/s}}{10\,\text{s}} = -2.22\,\text{m/s}^2$

  • Cálculo de la Distancia Recorrida ($x$):     $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$     $x = \left(22.22\,\text{m/s}\right)\left(10\,\text{s}\right) + \frac{1}{2}\left(-2.22\,\text{m/s}^2\right)\left(10\,\text{s}\right)^2$     $x = 222.2\,\text{m} - 111.1\,\text{m} = 111.1\,\text{m}$

• Problema 3: Competencia entre Liebre y Tortuga:

  • Enunciado: La tortuga avanza a rapidez constante de $1\,\text{m/min}$ (M.R.U.) y se encuentra a $2\,\text{m}$ de la meta. La liebre se encuentra retrasada a $100\,\text{m}$ de la meta en reposo ($v_0 = 0\,\text{m/s}$) y parte con Movimiento Uniformemente Acelerado (M.U.A.). ¿Cuál debe ser la aceleración constante de la liebre para alcanzar a la tortuga justo en la meta?

  • Tiempo empleado por la tortuga en alcanzar la meta:     $t = \frac{d}{v} = \frac{2\,\text{m}}{1\,\text{m/min}} = 2\,\text{min} = 120\,\text{s}$

  • Aceleración requerida por la liebre en $120\,\text{s}$ para recorrer $100\,\text{m}$:     $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$     $100\,\text{m} = 0 + \frac{1}{2} a (120\,\text{s})^2$     $100\,\text{m} = \frac{1}{2} a (14400\,\text{s}^2) = 7200\,\text{s}^2 \times a$     $a = \frac{100\,\text{m}}{7200\,\text{s}^2} = \frac{1}{72}\,\text{m/s}^2 \approx 0.01388\,\text{m/s}^2 \approx 0.0139\,\text{m/s}^2$

Caída Libre y Tiro Vertical

• Principios Físicos de Caída Libre:

  • Caso particular del M.U.A. en el eje vertical $y$ donde la aceleración corresponde a la gravedad constante $g = 9.81\,\text{m/s}^2$ orientada hacia el centro de la Tierra (signo negativo en el sistema de coordenadas de referencia: $a = -g = -9.81\,\text{m/s}^2$).

  • En ausencia de fricción con el aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración indistintamente de su masa.

• Ecuaciones de Caída Libre:   $y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$   $v = v_0 - g t$   $v^2 = v_0^2 - 2g (y - y_0)$

  • Si el cuerpo se deja caer desde el reposo ($v_0 = 0\,\text{m/s}$) a una altura $h$:     $v = \sqrt{2 g h}$

• Análisis Cuantitativo de un Lanzamiento Vertical ($y_0 = 20\,\text{m}$, $v_0 = 10\,\text{m/s}$):

  • Ecuaciones específicas para este movimiento:     $y(t) = 20 + 10t - 4.905t^2$     $v(t) = 10 - 9.81t$

  • Determinación del Punto Más Alto:     En la cúspide de la trayectoria, la velocidad instantánea se anula ($v = 0\,\text{m/s}$):     $0 = 10 - 9.81t \implies t = \frac{10}{9.81} \approx 1.019\,\text{s} \approx 1.01\,\text{s}$     $y_{\text{máx}} = 20 + 10(1.019) - 4.905(1.019)^2 = 20 + 10.19 - 5.096 = 25.094\,\text{m} \approx 25.1\,\text{m}$

  • Determinación del Tiempo al Impactar el Suelo ($y = 0\,\text{m}$):     $0 = 20 + 10t - 4.905t^2 \implies -4.905t^2 + 10t + 20 = 0$     Aplicando la ecuación cuadrática general $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ con $a = -4.905$, $b = 10$, $c = 20$:     $t = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(-4.905)(20)}}{2(-4.905)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 392.4}}{-9.81} = \frac{-10 \pm 22.19}{-9.81}$

  • Seleccionando la raíz positiva físicamente válida:       $t = \frac{-32.19}{-9.81} \approx 3.285\,\text{s}$

• Tabla Evaluada de Posición Vertical en Función del Tiempo:

  • $t = 0.0\,\text{s} \implies y = 20.00\,\text{m}$

  • $t = 0.5\,\text{s} \implies y = 23.77\,\text{m}$

  • $t = 1.0\,\text{s} \implies y = 25.095\,\text{m}$

  • $t = 1.5\,\text{s} \implies y = 23.96\,\text{m}$

  • $t = 2.0\,\text{s} \implies y = 20.38\,\text{m}$

  • $t = 2.5\,\text{s} \implies y = 14.24\,\text{m}$

  • $t = 3.0\,\text{s} \implies y = 10.30\,\text{m}$

  • $t = 3.5\,\text{s} \implies y = -5.08\,\text{m}$

Problemas Complejos de Caída Libre y Acústica

• Problema 1: Medición de Profundidad de un Pozo Mediante Eco:

  • Enunciado: Se deja caer una piedra a un pozo profundo. Tras un intervalo de tiempo total de $t_{\text{total}} = 4\,\text{s}$, se escucha el chasquido del agua en la superficie. Calcular la profundidad $h$ del pozo sabiendo que la velocidad del sonido es $v_s = 340\,\text{m/s}$.

  • Descomposicion del Tiempo:     $t_{\text{total}} = t_c + t_s = 4\,\text{s} \implies t_s = 4 - t_c$     Donde $t_c$ es el tiempo de caída de la piedra (M.U.A.) y $t_s$ es el tiempo de propagación de la onda de sonido (M.R.U.).

  • Igualación de Distancias ($h$):     $h = \frac{1}{2} g t_c^2 = \frac{1}{2}(9.81\,\text{m/s}^2) t_c^2$     $h = v_s t_s = 340 (4 - t_c)$

  • Ecuación Cuadrática:     $\frac{9.81}{2} t_c^2 = 1360 - 340 t_c$     $4.905 t_c^2 + 340 t_c - 1360 = 0$     Dividiendo entre $340$ para normalizar coeficientes:     $0.0144 t_c^2 + t_c - 4 = 0$

  • Resolución Cuadrática ($a = 0.0144$, $b = 1$, $c = -4$):     $t_c = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(0.0144)(-4)}}{2(0.0144)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 0.2304}}{0.0288} = \frac{-1 \pm 1.109}{0.0288}$     $t_c = \frac{0.109}{0.0288} = 3.785\,\text{s}$

  • Cálculo del Tiempo del Sonido y Profundidad Resultante:     $t_s = 4\,\text{s} - 3.785\,\text{s} = 0.215\,\text{s}$     $h = v_s \times t_s = \left(340\,\text{m/s}\right) \times \left(0.215\,\text{s}\right) = 73.1\,\text{m}$

• Problema 2: Lanzamiento de una Pelota desde un Edificio de $20\,\text{m}$:

  • Enunciado: Se lanza una pelota hacia arriba desde la azotea de un edificio de $20\,\text{m}$ de altura. La pelota alcanza su altura máxima exactamente a los $t = 3\,\text{s}$. Calcular: a) La velocidad inicial de la pelota, b) La altura máxima absoluta alcanzada desde la base del edificio, c) La velocidad con la que impacta contra el suelo.

  • a) Velocidad inicial ($v_0$):     En la altura máxima ($t = 3\,\text{s}$), la velocidad final es $v = 0\,\text{m/s}$:     $v = v_0 + a t \implies 0 = v_0 - (9.81\,\text{m/s}^2)(3\,\text{s})$     $v_0 = 9.81 \times 3 = 29.43\,\text{m/s}$

  • b) Altura máxima desde la base del edificio ($y_{\text{máx}}$):     $y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$     $y_{\text{máx}} = 20\,\text{m} + (29.43\,\text{m/s})(3\,\text{s}) - \frac{1}{2}(9.81\,\text{m/s}^2)(3\,\text{s})^2$     $y_{\text{máx}} = 20\,\text{m} + 88.29\,\text{m} - 44.145\,\text{m} = 64.145\,\text{m} \approx 64.1\,\text{m}$

  • c) Velocidad de impacto con el suelo:     Utilizando la altura máxima absoluta ($h = 64.1\,\text{m}$) en caída libre desde el reposo:     $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times (9.81\,\text{m/s}^2) \times (64.1\,\text{m})} = \sqrt{1257.642} = 35.46\,\text{m/s}$