Vektorrechnung_und_analytische_Geometrie_Teil2_Geraden_Ebenen

Geraden im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$

Parametergleichung einer Geraden:
- Eine Gerade wird vollständig durch zwei Punkte A und B beschrieben.
- Punkt A ist der Stützpunkt (Aufpunkt, Fußpunkt) mit Ortsvektor $\vec{a}$ .
- Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden ist der Differenzvektor der Ortsvektoren von Punkt B ( $\vec{b}$ ) und Punkt A ( $\vec{a}$ ): $\vec{u} = \vec{b} - \vec{a}$ .
- Die Koordinaten jedes Punktes X auf der Geraden mit Ortsvektor $\vec{x}$ werden berechnet durch die Summe des Stützvektors und dem r-fachen des Richtungsvektors, wobei r ein frei wählbarer reeller skalarer Parameter ist.
- Die Geradengleichung lautet: $g: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u}$ .
Beispiel 1:
- Eine Gerade geht durch die Punkte A(2/1/4) und B(5/2/6).
 - Gesucht ist die Parametergleichung der Gerade und der Punkt P, für den der Parameter $r = 2,5$ ist.
 - $\vec{u} = \vec{b} - \vec{a} = (5\ 2\ 6) - (2\ 1\ 4) = (3\ 1\ 2)$
 - Parametergleichung der Gerade: $g: \vec{x} = (2\ 1\ 4) + r \cdot (3\ 1\ 2)$
 - Punkt P berechnen:
 - $(xP\ yP\ z_P) = (2\ 1\ 4) + 2,5 \cdot (3\ 1\ 2)$
 - $x_P = 2 + 2,5 \cdot 3 = 9,5$
 - $y_P = 1 + 2,5 \cdot 1 = 3,5$
 - $z_P = 4 + 2,5 \cdot 2 = 9$
 - Punkt P: P(9,5/3,5/9)
Verschiedene Parametergleichungen für dieselbe Gerade:
- Eine Gerade kann durch verschiedene Parametergleichungen beschrieben werden.
- Parametergleichungen der Gerade g aus Beispiel 1 können mit Punkt A oder Punkt B als Stützpunkt sowie mit Richtungsvektor $\vec{u} = \vec{b} - \vec{a}$ oder $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$ aufgestellt werden.
Beispiel 2:
- Weitere Parametergleichungen von Gerade g aus Beispiel 1:
  - a) Stützpunkt A und Richtungsvektor $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b} = (2\ 1\ 4) - (5\ 2\ 6) = (-3\ -1\ -2)$
    - $g: \vec{x} = (2\ 1\ 4) + r \cdot (-3\ -1\ -2)$
  - b) Stützpunkt B und Richtungsvektor $\vec{u} = \vec{b} - \vec{a} = (5\ 2\ 6) - (2\ 1\ 4) = (3\ 1\ 2)$
    - $g: \vec{x} = (5\ 2\ 6) + r \cdot (3\ 1\ 2)$
  - c) Stützpunkt B und Richtungsvektor $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b} = (2\ 1\ 4) - (5\ 2\ 6) = (-3\ -1\ -2)$
    - $g: \vec{x} = (5\ 2\ 6) + r \cdot (-3\ -1\ -2)$
- Die Geraden aus Beispiel 2 sind identisch mit der Gerade aus Beispiel 1.
- Für jede Gerade gibt es unendlich viele Parametergleichungen.
Übung 1:
- Geben Sie alle möglichen Geradengleichungen der durch folgende Punkte bzw. Punkte und Vektoren gegebenen Geraden an.
  - a) A(1/1/1), B(3/5/-2)
  - b) C(3/-2/4); D(-1/2/-3)
  - c) P(5/6/8), $\vec{a} = (-2\ 3\ 5)$
  - d) A(2/3/-2), $\vec{u} = (2\ 2\ 1)$

Test, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt

Um zu testen, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt, berechnet man den Parameter r für die drei Koordinaten x, y und z ( $rx, ry, r_z$ ).
- Punkt auf der Gerade: $rx = ry = r_z$
- Punkt nicht auf der Gerade: Es gilt nicht $rx = ry = r_z$
- r, $rx$ , $ry$ und $r_z$ sind Skalare.
Beispiel 3:
- Test, ob der Punkt P(12/5/15) auf der Gerade $g: \vec{x} = (2\ 1\ 3) + r \cdot (5\ 2\ 6)$ liegt.
 - $\vec{p} = (12\ 5\ 15)$
 - $(12\ 5\ 15) = (2\ 1\ 3) + r \cdot (5\ 2\ 6)$
 - $12 = 2 + 5 \cdot rx \implies rx = 2$
 - $5 = 1 + 2 \cdot ry \implies ry = 2$
 - $15 = 3 + 6 \cdot rz \implies rz = 2$
- Der Parameter r ist für x, y und z gleich: $rx = ry = r_z = 2$
- Der Punkt P ist auf der Gerade g ( $P \in g$ ).
Beispiel 4:
- Test, ob der Punkt Q(1/2/3) auf der Gerade h ist, die durch die Punkte A(1/-1/1) und B(2/3/-4) geht.
 - Stützpunkt: A; $\vec{a} = (1\ -1\ 1)$ , $\vec{q} = (1\ 2\ 3)$
 - Richtungsvektor: $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = (2\ 3\ -4) - (1\ -1\ 1) = (1\ 4\ -5)$
 - $h: \vec{x} = \vec{a} + s \cdot \vec{v}$
 - $h: \vec{x} = (1\ -1\ 1) + s \cdot (1\ 4\ -5)$
 - $(1\ 2\ 3) = (1\ -1\ 1) + s \cdot (1\ 4\ -5)$
 - $1 = 1 + 1 \cdot sx \implies sx = 0$
 - $2 = -1 + 4 \cdot sy \implies sy = -\frac{3}{4}$
 - $sx \neq sy \ (0 \neq -\frac{3}{4})$
- Der Punkt Q ist nicht auf der Gerade h ( $Q \notin h$ ).
Übung 2:
- Testen Sie, ob die gegebenen Punkte auf der jeweiligen Gerade liegen.
  - a) $g: \vec{x} = (2\ 3\ 7) + k \cdot (3\ 5\ 2)$ , A(5/8/9), B(-3/2/1)
  - b) Gerade h: A(2/4/6); $\vec{r} = (1\ 2\ 2)$ , Punkte C(4/8/10); D(3/-1/0)
  - c) Gerade f: A(1/2/3); B(2/4/6), Punkte: E(4/8/12); F(1/-3/2)

Abstand eines Punkts von einer Gerade

Liegt ein Punkt nicht auf einer Gerade, so besteht im Allgemeinen die Aufgabe, den senkrechten Abstand d des Punktes von der Gerade zu berechnen.
Herleitung:
- sin \alpha = $\frac{d}{|\vec{l}|}$ , $\vec{l}$ : Vektor zwischen Stützpunkt A der Gerade g und Punkt P
- $d = |\vec{l}| \cdot sin \alpha$
- Zielgröße: d
- $|\vec{u} \times \vec{l}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{l}| \cdot sin \alpha$
- Betrag des Vektorprodukts der Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{l}$
- $sin \alpha = \frac{|\vec{u} \times \vec{l}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{l}|}$
- Einsetzen in die Formel für die Zielgröße d
- $d = |\vec{l}| \cdot \frac{|\vec{u} \times \vec{l}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{l}|} = \frac{|\vec{u} \times \vec{l}|}{|\vec{u}|}$
- Abstand eines Punktes von einer Gerade in Längeneinheiten (LE)
Beispiel 5:
- Abstand des Punktes Q(1/2/3) von der Gerade $h: \vec{x} = (1\ -1\ 1) + s \cdot (1\ 4\ -5)$
- $\vec{v} = (1\ 4\ -5)$ , $\vec{a} = (1\ -1\ 1)$ , $\vec{q} = (1\ 2\ 3)$
- $d = \frac{|\vec{v} \times \vec{l}|}{|\vec{v}|}$
- $\vec{l} = \vec{q} - \vec{a} = (1\ 2\ 3) - (1\ -1\ 1) = (0\ 3\ 2)$
- $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{42}$
- $\vec{v} \times \vec{l} = (1\ 4\ -5) \times (0\ 3\ 2) = (4 \cdot 2 - (-5) \cdot 3 \ -5 \cdot 0 - 1 \cdot 2 \ 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0) = (23\ -2\ 3)$
- $|\vec{v} \times \vec{l}| = \sqrt{23^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{542}$
- $d = \frac{\sqrt{542}}{\sqrt{42}} = 3,6 LE$
Übung 3:
- Berechnen Sie die Abstände der Punkte von der jeweiligen Gerade aus Übung 2 für diejenigen Fälle, in denen der Punkt nicht auf der Gerade liegt.

Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden

Zwei Geraden g und h seien beschrieben durch folgende Parametergleichungen.
- $g: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u}$
- $h: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \vec{v}$
- $\vec{x}$ : Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Gerade g bzw. auf der Gerade h
- $\vec{a}, \vec{b}$ : Stützpunkte der Geraden g und h
- r, s: Parameter der Geraden g und h
- $\vec{u}, \vec{v}$ : Richtungsvektoren der Geraden g und h
Gerade g und Gerade h können zueinander folgende Lagebeziehungen haben:
- identisch (beide Geraden sind gleich)
- parallel (Abstand der Geraden ist gesucht)
- schneiden sich (Schnittpunkt und Schnittwinkel sind gesucht)
- windschief (Abstand der Geraden ist gesucht).

Analyse der Lagebeziehungen von 2 Geraden

Die Lagebeziehungen zwischen 2 Geraden g und h werden nach folgendem allgemeinen Algorithmus ermittelt.
- Sind die Richtungsvektoren $\vec{u}$ von Gerade g und $\vec{v}$ von Gerade h linear abhängig ( $\frac{xu}{xv} = \frac{yu}{yv} = \frac{zu}{zv}$ )?
 - ja: identisch oder parallel
 - $\vec{A} \in h$ und $\vec{B} \in g$
 - ja: identisch ( $g = h$ )
 - nein: parallel ( $g \parallel h$ )
 - nein: schneiden sich oder sind windschief
 - Gemeinsamer Punkt existiert?
 - ja: Geraden schneiden sich
 - nein: Geraden sind windschief
Beispiel 6:
- Lagebeziehungen der Geraden $g: \vec{x} = (1\ 3\ 2) + r \cdot (2\ 8\ 4)$ und $h: \vec{x} = (3\ 11\ 6) + s \cdot (1\ 4\ 2)$
- A(1/3/2), $\vec{u} = (2\ 8\ 4)$ , B(3/11/6), $\vec{v} = (1\ 4\ 2)$
- Test, ob die Richtungsvektoren $\vec{u} = (2\ 8\ 4)$ von Gerade g und $\vec{v} = (1\ 4\ 2)$ von Gerade h linear abhängig sind (g und h sind identisch oder parallel) oder linear unabhängig sind (g und h schneiden sich oder sind windschief).
- Linear abhängig: ( $\frac{xu}{xv} = \frac{yu}{yv} = \frac{zu}{zv}$ ), sonst linear unabhängig.
- $\frac{xu}{xv} = \frac{2}{1} = 2$
- $\frac{yu}{yv} = \frac{8}{4} = 2$
- $\frac{zu}{zv} = \frac{4}{2} = 2$
- $\frac{xu}{xv} = \frac{yu}{yv} = \frac{zu}{zv} = 2$ : Gerade g und gerade h sind identisch oder parallel.
- Test, ob der Stützpunkt der Gerade h (B(3/11/6)) auf der Gerade g ist:
 - $\vec{b} = (3\ 11\ 6)$
 - $g: \vec{x} = (1\ 3\ 2) + r \cdot (2\ 8\ 4)$
 - $(3\ 11\ 6) = (1\ 3\ 2) + r \cdot (2\ 8\ 4)$
 - $3 = 1 + 2 \cdot r_x$
 - $11 = 3 + 8 \cdot r_y$
 - $6 = 2 + 4 \cdot r_z$
 - $r_x = 1$
 - $r_y = 1$
 - $r_z = 1$
- Der Parameter r ist für die Koordinaten x, y und z gleich:
- $rx = ry = r_z = 1$
- Die Geraden g und h sind identisch: $g = h$ .
- Mit anderen Worten: die Parametergleichung der Gerade g und der Gerade h sind Parametergleichungen für ein und dieselbe Gerade.
Beispiel 7:
- Lagebeziehungen der Geraden $g: \vec{x} = (1\ 3\ 4) + r \cdot (2\ 1\ 3)$ und $h: \vec{x} = (5\ 4\ 1) + s \cdot (6\ 3\ 9)$
- A(1/3/4), $\vec{u} = (2\ 1\ 3)$ , B(5/4/1), $\vec{v} = (6\ 3\ 9)$
- $\frac{xu}{xv} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
- $\frac{yu}{yv} = \frac{1}{3}$
- $\frac{zu}{zv} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
- $\frac{xu}{xv} = \frac{yu}{yv} = \frac{zu}{zv} = \frac{1}{3}$ : Gerade g und gerade h sind identisch oder parallel.
- B(5/4/1); $\vec{b} = (5\ 4\ 1)$
- $(5\ 4\ 1) = (1\ 3\ 4) + r \cdot (2\ 1\ 3)$
- $5 = 1 + 2 \cdot r_x$
- $4 = 3 + 1 \cdot r_y$
- $1 = 4 + 3 \cdot r_z$
- $r_x = 2$
- $r_y = 1$
- $r_z = -1$
- Der Parameter ist für die Koordinaten x, y und z nicht gleich.
- Punkt B (Stützpunkt von Gerade h) ist nicht auf Gerade g.
- Die Geraden g und h sind parallel: $g \parallel h$ .

Abstand von 2 parallelen Geraden

Der Abstand von 2 parallelen Geraden ist überall gleich. Er wird meist mit dem Kleinbuchstaben d bezeichnet.
Der Abstand zweier Geraden g und h ist identisch mit dem Abstand des Stützpunktes B der Gerade h von der Gerade g bzw. identisch mit dem Abstand des Stützpunktes A der Gerade g von der Gerade h.
Es muss also der Abstand des Punktes B von Gerade g bzw. des Punktes A von Gerade h bestimmt werden.
Herleitung der Abstandsformel
- Die Herleitung ist mit der Herleitung für den Abstand eines Punktes von einer Geraden identisch.
- Der Punkt, dessen Abstand d von der Gerade g berechnet wird, ist der Stützpunkt B der Gerade h.
- sin \alpha = $\frac{d}{|\vec{AB}|}$ , $\vec{AB}$ : Vektor der Hypotenuse, d: Gegenkathete: Abstand der gerade h von der Gerade g
- $d = |\vec{AB}| \cdot sin \alpha$
- Zielgröße: d
- $|\vec{u} \times \vec{AB}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{AB}| \cdot sin \alpha$
- Betrag des Vektorprodukts der Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{AB}$
- $sin \alpha = \frac{|\vec{u} \times \vec{AB}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{AB}|}$
- Einsetzen in die Formel für die Zielgröße d
- $d = |\vec{AB}| \cdot \frac{|\vec{u} \times \vec{AB}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{|\vec{u} \times \vec{AB}|}{|\vec{u}|}$
- Abstand der Gerade h von der Gerade g in Längeneinheiten (LE)
  Es kann ebenso der Abstand des Stützpunktes A der Gerade g von der Gerade h berechnet werden.
Beispiel 8:
- Abstand der Gerade h von der Gerade g aus Beispiel 7:
  - $g: \vec{x} = (1\ 3\ 4) + r \cdot (2\ 1\ 3)$
  - $h: \vec{x} = (5\ 4\ 1) + s \cdot (6\ 3\ 9)$
  - A(1/3/4), $\vec{u} = (2\ 1\ 3)$ , B(5/4/1), $\vec{v} = (6\ 3\ 9)$
  - $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (5\ 4\ 1) - (1\ 3\ 4) = (4\ 1\ -3)$
  - $\vec{u} \times \vec{AB} = (2\ 1\ 3) \times (4\ 1\ -3) = (1 \cdot (-3) - 3 \cdot 1 \ 3 \cdot 4 - 2 \cdot (-3) \ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) = (-6\ 18\ -2)$
  - $|\vec{u} \times \vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 18^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{91}$
  - $\vec{u} = (2\ 1\ 3)$
  - $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
  - $d = \frac{2 \cdot \sqrt{91}}{\sqrt{14}} = 5,1 LE$
Übung 4:
- Prüfen Sie, ob folgende Geraden identisch oder parallel sind und berechnen Sie für die parallelen Geraden deren Abstand.
  - a) $g: \vec{x} = (1\ 1\ 2) + r \cdot (2\ 3\ 4)$ , $h: \vec{x} = (3\ 4\ 6) + s \cdot (0,5\ 0,75\ 1,0)$
  - b) $g: \vec{x} = (2\ 2\ 1) + r \cdot (3\ 1\ 2)$ , $h: \vec{x} = (3\ 4\ 6) + s \cdot (-6\ -6\ -4)$
  - c) $g: \vec{x} = (2\ 3\ 4) + r \cdot (-2\ -3\ -4)$ , $h: \vec{x} = (3\ 4\ 6) + s \cdot (4\ 6\ 8)$
Beispiel 9:
- Lagebeziehungen der Geraden $g: \vec{x} = (1\ 2\ 0) + r \cdot (2\ 0\ 5)$ und $h: \vec{x} = (6\ 0\ 13) + s \cdot (1\ -2\ 3)$
- A(1/2/0), $\vec{u} = (2\ 0\ 5)$ , B(6/0/13), $\vec{v} = (1\ -2\ 3)$
- $\frac{xu}{xv} = \frac{2}{1} = 2$
- $\frac{yu}{yv} = \frac{0}{-2} = 0$
- Da bereits $\frac{xu}{xv} \neq \frac{yu}{yv}$ ist, muss der Quotient $\frac{zu}{zv}$ nicht berechnet werden.
- Die Richtungsvektoren $\vec{u}$ (Gerade g) und $\vec{v}$ (Gerade h) sind linear unabhängig.
- Die Geraden g und h schneiden sich oder sind windschief.
- Schneiden sich die Geraden, haben sie genau einen gemeinsamen Punkt: den Schnittpunkt S( $xs/ys/z_s$ ).
- Sind die Geraden windschief, haben sie keinen gemeinsamen Punkt.
- Um herauszufinden, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind, setzt man g = h.
- $(1\ 2\ 0) + r \cdot (2\ 0\ 5) = (6\ 0\ 13) + s \cdot (1\ -2\ 3)$
- $1 + 2 \cdot r = 6 + 1 \cdot s$
- $2 + 0 \cdot r = 0 - 2 \cdot s$
- $0 + 5 \cdot r = 13 + 3 \cdot s$
- $2 \cdot r - 1 \cdot s = 5$
- $0 \cdot r + 2 \cdot s = -2$
- $5 \cdot r - 3 \cdot s = 13$
- $\begin{pmatrix} 2 & -1 & | & 5 \ 0 & 2 & | & -2 \ 5 & -3 & | & 13 \end{pmatrix}$
- Das ist ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 2 Variablen: r, s.
- Im Fall, dass die Geraden g und h sich schneiden, hat es genau eine Lösung.
- Das bedeutet, dass die 3. Zeile eine Nullzeile wird und dadurch der Rang der Koeffizienten-Matrix und der Rang der erweiterten Koeffizienten-Matrix gleich der Anzahl der Variablen ist, also 2.
- $r(A) = r(A|B) = 2$
- Im Fall, dass die Geraden g und h windschief sind, hat das Gleichungssystem keine Lösung. Das bedeutet, dass der Rang der erweiterten Koeffizienten-Matrix größer als der Rang der Koeffizienten-Matrix ist.
- r(A|B) > r(A)
- Mit Gauß Algorithmus:
 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & | & 5 \ 0 & 2 & | & -2 \ 5 & -3 & | & 13 \end{pmatrix} \xrightarrow{2Z3 - 5Z1} \begin{pmatrix} 2 & -1 & | & 5 \ 0 & 2 & | & -2 \ 0 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{2Z3 + Z2} \begin{pmatrix} 2 & -1 & | & 5 \ 0 & 2 & | & -2 \ 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$
- $rg(KM) = rg(EKM) = 2$
- Die Geraden g und h schneiden sich.
- Berechnung des Schnittpunktes der Geraden g und h:
- Gleichungssystem mit Zeile 1 und Zeile 2 aus Beispiel 9:
 - $\begin{pmatrix} 2 & -1 & | & 5 \ 0 & 2 & | & -2 \end{pmatrix}$
 - $2s = -2 \implies s = -1$
 - $2r - s = 5 \implies 2r + 1 = 5 \implies r = 2$
- r in g einsetzen:
 - $x_s = 1 + 2 \cdot 2 = 5$
 - $y_s = 2 + 0 \cdot 2 = 2$
 - $z_s = 0 + 5 \cdot 2 = 10$
 - $S(5/2/10)$
- s in h einsetzen (dient als Probe, ist aber nicht gefordert)
 - $x_s = 6 + 1 \cdot (-1) = 5$
 - $y_s = 0 - 2 \cdot (-1) = 2$
 - $z_s = 13 + 3 \cdot (-1) = 10$
 - $S(5/2/10)$
- Beide Berechnungen ergaben das gleiche Resultat.
- Berechnung des Schnittwinkels der Geraden g und h:
- Da die Richtungsvektoren von Geraden die Richtung der entsprechenden Gerade haben, ist die Berechnung des Schnittwinkels von 2 Geraden g und h identisch mit der Berechnung des Winkels der Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der Geraden g und h.
- Zur Berechnung des Schnittwinkels der Geraden g und h (des Winkels der Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der Geraden g und h) berechnet man mit Hilfe des Skalarprodukts der Richtungsvektoren einen Winkel $\alpha_0$
- $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot cos \alpha_0$
- $\alpha_0 = arccos \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
- Der Schnittwinkel $\alpha$ ist gleich dem Winkel $\alpha0$ , wenn $\alpha0 \leq 90°$ ist.
- Ist $\alpha0 > 90°$ , so ist der Schnittwinkel $\alpha$ gleich dem Neben winkel von $\alpha0$ , also $180° - \alpha_0$ .
- $\alpha0 \leq 90°: \alpha = \alpha0$
- $\alpha0 > 90°: \alpha = 180° - \alpha0$
Beispiel 10:
- Schnittwinkel der Geraden g und h aus Beispiel 10:
 - $g: \vec{x} = (1\ 2\ 0) + r \cdot (2\ 0\ 5)$
 - $h: \vec{x} = (6\ 0\ 13) + s \cdot (1\ -2\ 3)$
 - $\vec{u} = (2\ 0\ 5)$ , $\vec{v} = (1\ -2\ 3)$
 - $\alpha_0 = arccos \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
 - $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2\ 0\ 5) \cdot (1\ -2\ 3) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 5 \cdot 3 = 17$
 - $\vec{u} \cdot \vec{v} = 17$
 - $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{29}$
 - $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
 - $\alpha_0 = arccos \frac{17}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{14}}$
 - \alpha_0 = 32,5° < 90°
 - $\alpha = 32,5°$
Beispiel 11:
- Lagebeziehungen der Geraden $g: \vec{x} = (1\ -2\ 3) + r \cdot (1\ 1\ 1)$ und $h: \vec{x} = (3\ 3\ 3) + s \cdot (0\ 2\ 1)$
- A(1/-2/3), $\vec{u} = (1\ 1\ 1)$ , B(3/3/3), $\vec{v} = (0\ 2\ 1)$
- $\frac{xu}{xv} = \frac{0}{1} = 0$

Vektorrechnung_und_analytische_Geometrie_Teil2_Geraden_Ebenen

Geraden im dreidimensionalen Raum R3\mathbb{R}^3R3

Test, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt

Abstand eines Punkts von einer Gerade

Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden

Analyse der Lagebeziehungen von 2 Geraden

Abstand von 2 parallelen Geraden

Geraden im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$