1: Définition

Forme développée

On appelle fonction polynôme du 2nd degré une fonction f vérifiant deux conditions

• D_{1 =} ℝ

• Il existe 3 réels a, b et c tels que f(x)=ax²+bx+c

Remarques:

• L’expression ax²+bx+c s’appelle également trinôme

• Les Réels a, b et c sont appelés les coefficients

• x est la variable du polynôme

Forme canonique

Toute fonction polynôme du 2nd degré définie par f(x)=ax²+bx+c peut s’écrire f(x)=a(x-α²)+β avec α= -b/2a et β=f(x)

α et β sont des réels.

La forme canonique d’un polynôme de 2nd degré est une forme a partir de laquelle on peut savoir s’il est factorisable ou non. Cette forme est obtenue à partir de l’astuce qui consiste a ajouter un terme pour obtenir le début d’un carré parfait.

Démonstration:

f(x)

=ax²+bx+c

=a[x=b/2a)²-(b/2a)²+c/a

=a[(x+b/2a)²-b²-4ax² + 4ac/4a²

=a[(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a

=a[(x+b/2a)²-(b²-4ax)/4a

=a(x-α)²+β

Courbes representatives & variations

Dans repère orthonormé, la representation graphique d’une fonction polynome du 2nd degré est une parabole de sommet S(α;β)

Si a>0, la parabole est tournée vers le ciel est le tableau de variation est haut-basf(-b/2a)bas-haut. Si a<0, c’est l’inverse.

a=/0