AP1-2009 (1)

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

1.1 Φυσικοί αριθμοί

• Το σύνολο των φυσικών αριθμών $N = {1, 2, 3, . . .}$ θεμελιώνεται μέσω των αξιωμάτων του Peano.

• Μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο $Z$ των ακεραίων και το σύνολο $Q$ των ρητών.

1.1α' Αρχή του ελαχίστου και αρχή της επαγωγής

• Αρχή του ελαχίστου: Κάθε μη κενό σύνολο $S$ φυσικών αριθμών έχει ελάχιστο στοιχείο. Δηλαδή, υπάρχει $a ∈ S$: $a ≤ b$ για κάθε $b ∈ S$.

• Θεώρημα 1.1.1: Δεν υπάρχει άπειρη γνησίως φθίνουσα ακολουθία φυσικών αριθμών.

  • Απόδειξη: Έστω ακολουθία n1 > n2 > · · · > nk > n{k+1} > · · ·. Το σύνολο $S = {n<em>k : k ∈ N}$ έχει ελάχιστο στοιχείο $n</em>m$. Τότε, n{m+1} < nm και $n_{m+1} ∈ S$, άτοπο.

• Θεώρημα 1.1.2 (Αρχή της Επαγωγής): Έστω $S ⊆ N$ τέτοιο ώστε:

  • (i) $1 ∈ S$.

  • (ii) Αν $k ∈ S$ τότε $k + 1 ∈ S$.
    Τότε, $S = N$.

  • Απόδειξη: Έστω $T = N \setminus S$. Αν $T$ μη κενό, έχει ελάχιστο στοιχείο $a$. Αφού $1 ∈ S$, a > 1, άρα $a − 1 ∈ N$. Τότε, $a − 1 ∈ S$, αλλά $a = (a − 1) + 1 ∈ S$, άτοπο. Άρα, $T = ∅$, συνεπώς $S = N$.

• Παρατήρηση: Η αρχή του ελαχίστου και το Θεώρημα 1.1.2 είναι ισοδύναμα.

• Θεώρημα 1.1.3 (Μέθοδος της Επαγωγής): Έστω $Π(n)$ μια πρόταση σχετικά με φυσικούς. Αν η $Π(1)$ αληθεύει και για κάθε $k ∈ N$ η συνεπαγωγή (αν $Π(k)$ αληθεύει, τότε και η $Π(k + 1)$ αληθεύει) ισχύει, τότε η $Π(n)$ αληθεύει για κάθε $n ∈ N$.

  • Απόδειξη: Το σύνολο $S = {n ∈ N : Π(n) \text{ αληθεύει}}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος 1.1.2. Άρα, $S = N$.

• Θεώρημα 1.1.4: Έστω $m ∈ N$ και $S ⊆ N$:

  • (α) $m ∈ S$.

  • (β) Αν $k ≥ m$ και $k ∈ S$, τότε $k + 1 ∈ S$.
    Τότε, $S ⊇ {n ∈ N : n ≥ m} = {m, m + 1, . . .}$ .

• Θεώρημα 1.1.5: Έστω $S ⊆ N$:

  • $1 ∈ S$.

  • Αν $1, . . . , k ∈ S$ τότε $k + 1 ∈ S$.
    Τότε, $S = N$.

• Θεώρημα 1.1.6: Έστω $Π(n)$ πρόταση σχετικά με φυσικούς. Αν η $Π(m)$ αληθεύει και αν για κάθε $k ≥ m$ η συνεπαγωγή (αν $Π(k)$ αληθεύει, τότε και η $Π(k + 1)$ αληθεύει) ισχύει, τότε η $Π(n)$ αληθεύει για κάθε φυσικό $n ≥ m$.

• Θεώρημα 1.1.7: Έστω $Π(n)$ μια πρόταση. Αν η $Π(1)$ αληθεύει και αν για κάθε $k ∈ N$ η συνεπαγωγή (οι $Π(1), . . . , Π(k)$ αληθεύουν, τότε και η $Π(k + 1)$ αληθεύει) ισχύει, τότε η $Π(n)$ αληθεύει για κάθε φυσικό $n$.

• Παράδειγμα: Κάθε φυσικός αριθμός έχει κάποια ενδιαφέρουσα ιδιότητα.

  • Έστω $Π(n)$ η πρόταση «ο $n$ έχει κάποια ενδιαφέρουσα ιδιότητα».

  • Η $Π(1)$ αληθεύει διότι ο $1$ είναι ο μοναδικός φυσικός αριθμός που ισούται με το τετράγωνό του.

  • Υποθέτουμε ότι οι $Π(1), . . . , Π(k)$ αληθεύουν. Αν η $Π(k + 1)$ δεν ήταν αληθής, τότε ο $k + 1$ θα ήταν ο μικρότερος φυσικός αριθμός που δεν έχει καμία ενδιαφέρουσα ιδιότητα, κάτι που είναι από μόνο του πολύ ενδιαφέρον.

  • Άρα, η $Π(k + 1)$ αληθεύει. Σύμφωνα με το Θεώρημα 1.1.7, η $Π(n)$ αληθεύει για κάθε $n ∈ N$.

• Παραδείγματα:

  • (α) Να εξεταστεί η ανισότητα 2^n > n^3 για διάφορες τιμές του $n$ και να αποδειχθεί με επαγωγή ότι ισχύει για $n ≥ 10$.

  • (β) Να δειχθούν με επαγωγή οι ταυτότητες:

    • $1 + 2 + · · · + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

    • $1^2 + 2^2 + · · · + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

    • $1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n^2$

  • (γ) Να δειχθεί ότι ένα σύνολο $S$ με $n$ στοιχεία έχει ακριβώς $2^n$ υποσύνολα.

1.1β' Διαιρετότητα

• Έστω $a, b ∈ Z$. Ο $a$ διαιρεί τον $b$, $a | b$ αν υπάρχει $x ∈ Z$ ώστε $b = ax$.

• Τότε ο $a$ είναι διαιρέτης του $b$ ή ο $b$ είναι πολλαπλάσιο του $a$.

• Θεώρημα 1.1.8 (Ταυτότητα της Διαίρεσης): Για κάθε $a ∈ N$ και $b ∈ Z$ υπάρχουν μοναδικοί $q, r ∈ Z$ ώστε $b = aq + r$ και 0 ≤ r < a. Απόδειξη βασισμένη στην αρχή του ελαχίστου στο σύνολο των "αποστάσεων" του $b$ από τα πολλαπλάσια του $a$ που είναι μικρότερα από τον $b$.

• Παρατήρηση: Κάθε ακέραιος $b$ γράφεται μονοσήμαντα στη μορφή
  $b = 2q + r$
  όπου $q ∈ Z$ και $r ∈ {0, 1}$. Λέμε ότι ο $b$ είναι άρτιος αν $r = 0$ και περιττός αν $r = 1$.

1.2 Ρητοί αριθμοί

1.2α' Σώματα

• Ένα σώμα είναι ένα μη κενό σύνολο $Σ$ εφοδιασμένο με δύο πράξεις, πρόσθεση (+) και πολλαπλασιασμό (⋅), που ικανοποιούν αξιώματα πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού και την επιμεριστική ιδιότητα.

• Αξιώματα της πρόσθεσης:

  • Προσεταιριστικότητα: $(x + y) + z = x + (y + z)$

  • Αντιμεταθετικότητα: $x + y = y + x$

  • Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: υπάρχει $0 ∈ Σ$: $x + 0 = 0 + x = x$

  • Ύπαρξη αντίθετου στοιχείου: για κάθε $x ∈ Σ$ υπάρχει στοιχείο $−x ∈ Σ$: $x + (−x) = (−x) + x = 0$

• Αξιώματα του πολλαπλασιασμού:

  • Προσεταιριστικότητα: $(xy)z = x(yz)$

  • Αντιμεταθετικότητα: $xy = yx$

  • Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: υπάρχει $1 ∈ Σ, 1 \ne 0$: $x1 = 1x = x$

  • Ύπαρξη αντίστροφου στοιχείου: για κάθε $x ∈ Σ, x \ne 0$ υπάρχει στοιχείο $x^{−1} ∈ Σ$: $xx^{−1} = x^{−1}x = 1$

• Επιμεριστική ιδιότητα: $x(y + z) = xy + xz$

• Ορισμός 1.2.1: Μια τριάδα $(Σ, +, ·)$ που ικανοποιεί τα παραπάνω αξιώματα ονομάζεται σώμα.

1.2β' Διατεταγμένα σώματα

• Ένα σώμα $(Σ, +, ·)$ λέγεται διατεταγμένο αν υπάρχει ένα υποσύνολο $Θ$ του $Σ$, που λέγεται το σύνολο των θετικών στοιχείων του $Σ$, ώστε:

  • Για κάθε $x ∈ Σ$ ισχύει ακριβώς ένα από τα ακόλουθα: $x ∈ Θ, x = 0, −x ∈ Θ$.

  • Αν $x, y ∈ Θ$ τότε $x + y ∈ Θ$ και $xy ∈ Θ$.

• x < y (ή y > x) αν και μόνο αν $y − x ∈ Θ$.

• $x ≤ y$ (ή $y ≥ x$) εννοούμε: είτε x < y ή $x = y$.

• Αν x < y και z > 0, τότε xz < yz.

• 1 > 0.

1.2γ' Ρητοί αριθμοί

• Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το
  $Q = {\frac{m}{n} : m ∈ Z, n ∈ N}$

• $\frac{m}{n} = \frac{m'}{n'}$ αν και μόνο αν $mn' = nm'$.

• Οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ορίζονται ως εξής:
  $\frac{m}{n} + \frac{m<em>1}{n</em>1} = \frac{mn<em>1 + m</em>1n}{nn<em>1}$, $\frac{m}{n} · \frac{m</em>1}{n<em>1} = \frac{mm</em>1}{nn_1}$.

• \frac{m}{n} < \frac{m1}{n1} αν και μόνο αν $m<em>1n − mn</em>1 ∈ N$.

• Η τετράδα (Q, +, ·, <) είναι ένα τυπικό παράδειγμα ενός διατεταγμένου σώματος.

• Λήμμα 1.2.3: Κάθε ρητός αριθμός $q$ γράφεται σε ανάγωγη μορφή $q = \frac{m}{n}$, όπου ο μοναδικός φυσικός που διαιρεί τόσο τον $m$ όσο και τον n είναι ο $1$.

• Απόδειξη: Έστω $E(q) = {n ∈ N : \text{ υπάρχει } m ∈ Z \text{ ώστε } q = \frac{m}{n}}$. Το σύνολο $E(q)$ έχει ελάχιστο στοιχείο, έστω $n<em>0$ και υπάρχει $m</em>0 ∈ Z$ ώστε $q = \frac{m<em>0}{n</em>0}$. Αν υπήρχε φυσικός d > 1 ώστε $d | m<em>0$ και $d | n</em>0$ τότε θα υπήρχαν $m<em>1 ∈ Z$ και $n</em>1 ∈ N$ ώστε $m<em>0 = dm</em>1$ και n0 = dn1 > n1. Τότε, $q = \frac{m</em>0}{n<em>0} = \frac{dm</em>1}{dn<em>1} = \frac{m</em>1}{n<em>1}$, με $n</em>1 ∈ E(q)$, άτοπο, διότι n1 < n0.

• Κάθε ρητός αριθμός αντιστοιχεί σε κάποιο σημείο της ευθείας, αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο, αφού το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους $1$ έχει μήκος $x$ που ικανοποιεί την εξίσωση $x^2 = 2$, το οποίο δεν είναι ρητός αριθμός.

• Θεώρημα 1.2.4: Δεν υπάρχει $q ∈ Q$ ώστε $q^2 = 2$.

  • Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι υπάρχει $q ∈ Q$ ώστε $q^2 = 2$. Τότε, $q = \frac{m}{n}$, όπου $m, n ∈ N$ και ο μοναδικός φυσικός αριθμός που είναι κοινός διαιρέτης των $m$ και $n$ είναι ο $1$. Άρα $m^2 = 2n^2$, δηλαδή ο $m$ είναι άρτιος. Τότε, $m = 2k$ για κάποιον $k ∈ N$. Άρα $n^2 = 2k^2$, δηλαδή ο $n$ είναι κι αυτός άρτιος. Άτοπο.

• Το σύνολο των ρητών αριθμών πρέπει να "επεκταθεί" για να μετρώνται όλες οι αποστάσεις.

1.3 Πραγματικοί αριθμοί

1.3α' Η αρχή της πληρότητας

• Ορισμός 1.3.1: Έστω $Σ$ ένα διατεταγμένο σώμα. Ένα μη κενό υποσύνολο $A$ του $Σ$ λέγεται:

  • άνω φραγμένο, αν υπάρχει $α ∈ Σ$ ώστε $x ≤ α$ για κάθε $x ∈ A$.

  • κάτω φραγμένο, αν υπάρχει $α ∈ Σ$ ώστε $x ≥ α$ για κάθε $x ∈ A$.

  • φραγμένο, αν είναι άνω και κάτω φραγμένο.

• Κάθε $α ∈ Σ$ που ικανοποιεί τον παραπάνω ορισμό λέγεται άνω φράγμα (ή κάτω φράγμα) του $A$.

• Ορισμός 1.3.3: Έστω $A$ ένα μη κενό υποσύνολο του διατεταγμένου σώματος $Σ$.

  • (α) Αν το σύνολο $A$ είναι άνω φραγμένο, τότε το στοιχείο $α ∈ Σ$ είναι ελάχιστο άνω φράγμα του $A$ αν:

    • το $α$ είναι άνω φράγμα του $A$ .

    • αν $α<em>1$ είναι άνω φράγμα του $A$ τότε $α ≤ α</em>1$.

  • (β) Αν το σύνολο $A$ είναι κάτω φραγμένο, τότε το στοιχείο $α ∈ Σ$ είναι μέγιστο κάτω φράγμα του $A$ αν:

    • το $α$ είναι κάτω φράγμα του $A$.

    • αν $α<em>1$ είναι κάτω φράγμα του $A$ τότε $α ≥ α</em>1$.

• Το ελάχιστο άνω φράγμα ονομάζεται supremum του $A$ και συμβολίζεται με $sup A$. Το μέγιστο κάτω φράγμα ονομάζεται infimum του $A$ και συμβολίζεται με $inf A$.

• Oι αριθμοί $inf A, sup A$ μπορεί να ανήκουν ή να μην ανήκουν στο σύνολο $A$.

• Ορισμός 1.3.5: Ένα διατεταγμένο σώμα λέμε ότι ικανοποιεί την αρχή της πληρότητας αν Κάθε μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο $A$ του $Σ$ έχει ελάχιστο άνω φράγμα $α ∈ Σ$.

• Ένα διατεταγμένο σώμα $Σ$ που ικανοποιεί την αρχή της πληρότητας λέγεται πλήρως διατεταγμένο σώμα.

• Πρόταση 1.3.6: Το $Q$ δεν είναι πλήρως διατεταγμένο σώμα: υπάρχει μη κενό φραγμένο υποσύνολο $A ⊆ Q$ το οποίο δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα.

  • Απόδειξη: Έστω A = {x ∈ Q : x > 0 \text{ και } x^2 < 2}. Το $A$ είναι μη κενό ($1 ∈ A$). Αν για κάποιον θετικό ρητό $y$ ισχύει y^2 > 2, τότε ο $y$ είναι άνω φράγμα του A. O $2$ είναι άνω φράγμα του A. (αφού 2 > 0 και 2^2 > 2). Υποθέτουμε ότι το $A$ έχει ελάχιστο άνω φράγμα, έστω $a ∈ Q$, και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Αφού δεν υπάρχει ρητός που το τετράγωνο του να ισούται με 2, αναγκαστικά θα ισχύει μία από τις a^2 > 2 ή a^2 < 2:

    • (i) Έστω a^2 > 2. Θα βρεθεί 0 < ε < a ώστε (a − ε)^2 > 2. Τότε ο $a − ε$ θα είναι άνω φράγμα του $A$, άτοπο. Ζητάμε 0 < ε < a και (a − ε)^2 = a^2 − 2aε + ε^2 > 2. Αφού ε^2 > 0, αρκεί να εξασφαλίσουμε την a^2 − 2aε > 2, η οποία είναι ισοδύναμη με την
      ε < \frac{a^2 − 2}{2a}. Αν λοιπόν επιλέξουμε $ε = \frac{1}{2} min{a, \frac{a^2 − 2}{2a}}$, τότε έχουμε βρει ρητό $ε$ που ικανοποιεί τις 0 < ε < a και (a − ε)^2 > 2.

    • (ii) Έστω a^2 < 2. Θα βρεθεί ρητός ε > 0 ώστε (a + ε)^2 < 2. Τότε θα έχουμε a + ε > a και $a + ε ∈ A$, άτοπο αφού ο $a$ είναι άνω φράγμα του $A$. Ζητάμε ε > 0 και (a + ε)^2 = a^2 + 2aε + ε^2 < 2. Θα επιλέξουμε $ε ≤ 1$ οπότε θα ισχύει $a^2 + 2aε + ε^2 ≤ a^2 + 2aε + ε = a^2 + ε(2a + 1)$, διότι $ε^2 ≤ ε$. Αρκεί λοιπόν να εξασφαλίσουμε την a^2 + ε(2a + 1) < 2, η οποία είναι ισοδύναμη με την ε < \frac{2 − a^2}{2a + 1}. Αν λοιπόν επιλέξουμε $ε = \frac{1}{2} min{1, \frac{2 − a^2}{2a + 1}}$, τότε έχουμε βρει ρητό ε > 0 που ικανοποιεί την (a + ε)^2 < 2.

• Θεώρημα 1.3.7: Το διατεταγμένο σώμα (Q, +, ·, <) επεκτείνεται σε ένα πλήρως διατεταγμένο σώμα (R, +, ·, <).

• Δεχόμαστε ότι υπάρχει ένα πλήρως διατεταγμένο σώμα (R, +, ·, <) το οποίο περιέχει τους ρητούς (τους ακεραίους και τους φυσικούς) και στο οποίο ισχύει η αρχή της πληρότητας.

• Αρχή της πληρότητας για τους πραγματικούς αριθμούς: Κάθε μη κενό άνω φραγμένο υποσύνολο $A$ του $R$ έχει ελάχιστο άνω φράγμα $α ∈ R$.

• Πρόταση 1.3.8: Υπάρχει μοναδικός θετικός $x ∈ R$ ώστε $x^2 = 2$.

  • Απόδειξη: Έστω A = {x ∈ R : x > 0 \text{ και } x^2 < 2}. Το $A$ είναι μη κενό (αφού $1 ∈ A$). Έστω $y ∈ R$: αν y^2 > 2 τότε ο $y$ είναι άνω φράγμα του A. Άρα το σύνολο A είναι άνω φραγμένο (π.χ. ο $2$ είναι άνω φράγμα του A). Από την αρχή της πληρότητας, το A έχει ελάχιστο άνω φράγμα, a. Προφανώς, a > 0. Θα δειχθεί ότι $a^2 = 2$.

  • (i) Αν a^2 > 2: Λόγω 0 < ε < a στο $R$ ώστε (a − ε)^2 > 2. Τότε, a − ε < a και από την Παρατήρηση, ο a − ε είναι άνω φράγμα του A, άτοπο.

  • (ii) Αν a^2 < 2: Λόγω ε > 0 στο R ώστε (a + ε)^2 < 2. Τότε, a + ε > a και $a + ε ∈ A$, άτοπο αφού ο $a$ είναι άνω φράγμα του $A$.

  • Η μοναδικότητα είναι απλή: χρησιμοποιείστε το γεγονός ότι αν $x, y$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τότε $x = y$ αν και μόνο αν $x^2 = y^2$.

• Άρρητοι αριθμοί: Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί. Αυτοί ονομάζονται άρρητοι (π.χ. ο θετικός $x <br>in Q$ ώστε $x^2 = 2$).

1.3β' Χαρακτηρισμός του supremum

• Πρόταση 1.3.9: Έστω $A$ μη κενό άνω φραγμένο υποσύνολο του $R$ και έστω $α ∈ R$. Τότε, $α = sup A$ αν και μόνο αν:

  • (α) Το $α$ είναι άνω φράγμα του $A$.

  • (β) Για κάθε ε > 0 υπάρχει $x ∈ A$ ώστε x > α − ε.

• Απόδειξη:

  • (από αριστερά προς τα δεξιά)

    • Έστω $α = sup A$. Τότε ισχύει το (α).

    • (β): Έστω ε > 0. Αν για κάθε $x ∈ A$ ίσχυε η $x ≤ α − ε$, τότε το $α − ε$ θα ήταν άνω φράγμα του $A$. Άτοπο.

  • (από δεξιά προς τα αριστερά)

    • Έστω $α ∈ R$ που ικανοποιεί τα (α) και (β). Αν το $α$ δεν ήταν το supremum του $A$,
      τότε θα υπήρχε β < α το οποίο είναι άνω φράγμα του $A$. Θέτουμε ε = α − β > 0.
      Τότε, $x ≤ β = α − ε$ για κάθε $x ∈ A$, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με το (β).

1.4 Συνέπειες του αξιώματος της πληρότητας

1.4α' Ύπαρξη n-οστής ρίζας

• Λήμμα 1.4.1 (Τρίγωνο του Pascal): Αν 1 ≤ k < n τότε
  $\binom{n}{k} = \binom{n − 1}{k} + \binom{n − 1}{k − 1}$.

• Πρόταση 1.4.2 (Διωνυμικό Ανάπτυγμα): Για κάθε $a, b ∈ R \setminus {0}$ και για κάθε $n ∈ N$ ισχύει
  $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n−k}b^k$.

• Θεώρημα 1.4.3 (ύπαρξη n-οστής ρίζας): Αν ρ ∈ R, ρ > 0 και $n ∈ N$ υπάρχει μοναδικός x > 0 στο $R$ ώστε $x^n = ρ$. Ο $x$ συμβολίζεται με $\sqrt[n]{ρ}$ ή $ρ^{\frac{1}{n}}$ .

  • Απόδειξη:

    • (i) Αν ρ > 1, το σύνολο A = {y ∈ R : y > 0 \text{ και } y^n < ρ} είναι μη κενό και άνω φραγμένο. Έστω $x = sup A$. Τότε, δείχνουμε ότι είτε η υπόθεση x^n < ρ (άτοπο) είτε η υπόθεση x^n > ρ (άτοπο), οδηγούν σε αντιφάσεις. Συνεπώς, $x^n = ρ$.

1.4β' Αρχιμήδεια ιδιότητα

• Θεώρημα 1.4.4: Το σύνολο $N$ των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο υποσύνολο του $R$.

  • Απόδειξη: Αν το σύνολο N ήταν άνω φραγμένο, τότε θα είχε ελάχιστο άνω φράγμα $β = sup N$. Τότε β − 1 < β, άρα υπάρχει $n ∈ N$ με n > β − 1. Επομένως, n + 1 > β, άτοπο.

• Θεώρημα 1.4.5 (Αρχιμήδεια Ιδιότητα των Πραγματικών): ΄Εστω $ε$ και $a$ δύο πραγματικοί αριθμοί με ε > 0. Υπάρχει $n ∈ N$ ώστε nε > a.

  • Απόδειξη: Ο $\frac{a}{ε}$ δεν είναι άνω φράγμα του Ν. Οπότε, υπάρχει $n ∈ N$ ώστε n > \frac{a}{ε}. Αφού ε > 0, έπεται ότι nε > a.

• Θεώρημα 1.4.6: ΄Εστω ε > 0. Υπάρχει $n ∈ N$ ώστε 0 < \frac{1}{n} < ε.

1.4γ' Ύπαρξη ακεραίου μέρους

• Πρόταση 1.4.7: Κάθε μη κενό υποσύνολο του $Z$ που είναι κάτω φραγμένο έχει ελάχιστο στοιχείο.

  • Απόδειξη: ΄Εστω $A \ne ∅$ κάτω φραγμένο υποσύνολο του $Z$. Υπάρχει $x ∈ R$ ώστε $x ≤ a$ για κάθε $a ∈ A$. Από την Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, υπάρχει $n ∈ N$ με n > −x, δηλαδή −n < x ≤ a για κάθε $a ∈ A$. Υπάρχει δηλαδή $m ∈ Z$ που είναι κάτω φράγμα του A (πάρτε $m = −n$). Θεωρούμε το σύνολο $B = {a − m : a ∈ A} ⊆ N$. Το $B$ έχει ελάχιστο στοιχείο, το οποίο ονομάζουμε $β$. Δηλαδή, $β = a<em>0 − m$ για κάποιο $a</em>0 ∈ A$ και $β ≤ a − m$ για κάθε $a ∈ A$. Τότε, ο $a<em>0$ είναι το ελάχιστο στοιχείο του $A$, διότι $α</em>0 − m ≤ a − m$.

• Θεώρημα 1.4.8 (Ύπαρξη ακεραίου μέρους): Για κάθε $x ∈ R$ υπάρχει μοναδικός ακέραιος $m ∈ Z$ με την ιδιότητα m ≤ x < m + 1.

  • Απόδειξη: Το σύνολο A = {n ∈ Z : n > x} είναι μη κενό και κάτω φραγμένο από το $x$. Από την Πρόταση 1.4.7, το $A$ έχει ελάχιστο στοιχείο n0. Αφού $n<em>0 − 1 \notin A$, έχουμε $n0 − 1 ≤ x$. Θέτουμε $m = n</em>0 − 1$. Είδαμε ότι $m ≤ x$. Επίσης $n_0 ∈ A$, δηλαδή m + 1 > x. ΄Αρα, m ≤ x < m + 1.

• Ο ακέραιος $m$ που δίνεται από το προηγούμενο θεώρημα λέγεται ακέραιο μέρος του $x$ και συμβολίζεται με $[x]$ (π.χ. $[2.7] = 2, [−2.7] = −3$).

1.4δ' Πυκνότητα των ρητών και των αρρήτων στους πραγματικούς αριθμούς

• Θεώρημα 1.4.10: Αν $x, y ∈ R$ και x < y, τότε υπάρχει ρητός $q$ με την ιδιότητα x < q < y.

  • Απόδειξη: Επειδή y − x > 0, από την Αρχιμήδεια ιδιότητα υπάρχει φυσικός $n ∈ N$ ώστε n(y − x) > 1, \text{ δηλαδή } nx + 1 < ny. Τότε, nx < [nx] + 1 ≤ nx + 1 < ny, δηλαδή
    x < \frac{[nx] + 1}{n} < y.

• Ορισμός 1.4.11: Κάθε πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος.

• Θεώρημα 1.4.12: Οι άρρητοι είναι πυκνοί στο R: αν $x, y ∈ R$ και x < y, τότε υπάρχει $α$ άρρητος με x < α < y.

  • Απόδειξη: Έχουμε x < y, άρα x − \sqrt{2} < y − \sqrt{2}. Από το Θεώρημα 1.4.10, υπάρχει ρητός $q$ με x − \sqrt{2} < q < y − \sqrt{2}. ΄Επεται ότι ο $α := q + \sqrt{2}$ είναι άρρητος και x < α = q + \sqrt{2} < y.

1.5 Ορισμοί και συμβολισμός

1.5α'

1.5 Ορισμοί και συμβολισμός

1.5α' Ορισμοί

• Πραγματικός αριθμός: Ένας αριθμός που ανήκει στο σύνολο $R$. Συνήθως μπορεί να εκφραστεί ως οριακή τιμή ή ως αντιπροσωπευτικό σημείο σε μια γραμμή.

• Ρητός αριθμός: Οποιοσδήποτε αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακεραίων, $q = \frac{m}{n}$ με $m \ ext{και} \ n <br>\ne 0$.

• Άρρητος αριθμός: Ένας πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός, π.χ., $\sqrt{2}$.

• Επίπεδο: Μια γεωμετρική διάταξη του κόσμου, όπου οι αριθμοί μπορούν να εκπροσωπούνται σε δύο διαστάσεις στη φυσική ή μαθηματική απεικόνιση.

• Διατεταγμένο σώμα: Ένα σώμα που έχει καθορισμένους αριθμούς με τη δυνατότητα να συγκρίνονται με τον τελεστή <.

• Σύνολο: Μια συλλογή αριθμών ή αντικειμένων που μοιράζονται ένα κοινό χαρακτηριστικό. Μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο.

1.5β' Συμβολισμός

• Σύμβολο της ένταξης: $x \in A$ σημαίνει ότι το $x$ ανήκει στο σύνολο $A$.

• Σύμβολο μη ένταξης: $x \notin A$ σημαίνει ότι το $x$ δεν ανήκει στο σύνολο $A$.

• Ένωση συνόλων: $A \cup B$ είναι το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν είτε στο $A$ είτε στο $B$.

• Τομή συνόλων: $A \cap B$ είναι το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν και στα δύο σύνολα $A$ και $B$.

• Διαφορά συνόλων: $A \setminus B$ είναι το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν στο $A$ αλλά όχι στο $B$.

• Δηλωτική αναπαράσταση: Χρησιμοποιούμε ισότητες και ανισότητες για να δηλώσουμε χαρακτηριστικά σχέσεων ή αριθμών που σχετίζονται με κάθε παρατήρηση.

• Προβολές: Χρησιμοποιείται για την οπτική απεικόνιση των αριθμών σε γραφήματα, όπου ο άξονας X και Y αντιπροσωπεύουν διαφορετικές μεταβλητές.

1.5 Ορισμοί και συμβολισμός

1.5α' Ορισμοί

• Πραγματικός αριθμός: Ένας αριθμός που ανήκει στο σύνολο $R$. Συνήθως μπορεί να εκφραστεί ως οριακή τιμή ή ως αντιπροσωπευτικό σημείο σε μια γραμμή.

• Ρητός αριθμός: Οποιοσδήποτε αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακεραίων, $q = \frac{m}{n}$ με $m \ ext{και} \ n <br>\ne 0$.

• Άρρητος αριθμός: Ένας πραγματικός αριθμός που δεν είναι ρητός, π.χ., $\sqrt{2}$.

• Επίπεδο: Μια γεωμετρική διάταξη του κόσμου, όπου οι αριθμοί μπορούν να εκπροσωπούνται σε δύο διαστάσεις στη φυσική ή μαθηματική απεικόνιση.

• Διατεταγμένο σώμα: Ένα σώμα που έχει καθορισμένους αριθμούς με τη δυνατότητα να συγκρίνονται με τον τελεστή <.

• Σύνολο: Μια συλλογή αριθμών ή αντικειμένων που μοιράζονται ένα κοινό χαρακτηριστικό. Μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο.

1.5β' Συμβολισμός

• Σύμβολο της ένταξης: $x \in A$ σημαίνει ότι το $x$ ανήκει στο σύνολο $A$.

• Σύμβολο μη ένταξης: $x \notin A$ σημαίνει ότι το $x$ δεν ανήκει στο σύνολο $A$.

• Ένωση συνόλων: $A \cup B$ είναι το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν είτε στο $A$ είτε στο $B$.

• Τομή συνόλων: $A \cap B$ είναι το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν και στα δύο σύνολα $A$ και $B$.

• Διαφορά συνόλων: $A \setminus B$ είναι το σύνολο όλων των στοιχείων που ανήκουν στο $A$ αλλά όχι στο $B$.

• Δηλωτική αναπαράσταση: Χρησιμοποιούμε ισότητες και ανισότητες για να δηλώσουμε χαρακτηριστικά σχέσεων ή αριθμών που σχετίζονται με κάθε παρατήρηση.

• Προβολές: Χρησιμοποιείται για την οπτική απεικόνιση των αριθμών σε γραφήματα, όπου ο άξονας X και Y αντιπροσωπεύουν διαφορετικές μεταβλητές.