Appunti sintetici – fisica e matematica (riassunto tecnico)

Notazione scientifica e unità di misura

  • Notazione scientifica: forma a \times 10^{n}, con 1 \le |a| < 10; n è intero (n>0 per numeri grandi, n<0 per numeri piccoli).
  • Esempi: 5000 = 5.0 \times 10^{3}, 0.00042 = 4.2 \times 10^{-4}, 3600000 = 3.6 \times 10^{6}, 8.9 \times 10^{-9}.
  • Conversione decimale → scientifica: trova prima cifra diversa da zero, sposta la virgola, esponente positivo se sposti a sinistra, negativo se a destra.
  • Conversione scientifica → normale: sposta la virgola di n posizioni. Esempi: 2.3 \times 10^{3} \rightarrow 2300; 5.9 \times 10^{-4} \rightarrow 0.00059.
  • Potenze e radicali: proprietà principali
    • a^{m} a^{n} = a^{m+n}, (ab)^{m} = a^{m} b^{m}
    • (a^{m})^{n} = a^{mn} , a^{0}=1, a^{-m}=a^{-m}
    • \sqrt[n]{a}=a^{1/n}; se n è pari, \sqrt{a} è definito solo per a\ge0; \sqrt{a^{2}}=|a|.
  • Moltiplicazione e divisione in notazione scientifica
    • (a \times 10^{m})(b \times 10^{n}) = (ab) \times 10^{m+n}
    • Esempio: $(2 \times 10^{4})(3 \times 10^{2}) = 6 \times 10^{6}$.
  • Somma e sottrazione in notazione scientifica
    • portare entrambi i termini alla stessa potenza di 10, poi sommare i coefficienti, riformare la forma scientifica.
    • Esempi: 3.1 \times 10^{4} + 2.5 \times 10^{3} = 3.35 \times 10^{4}; (5.2 \times 10^{4}) - (3.1 \times 10^{3}) = 4.89 \times 10^{4} .

Grandezze fisiche, dimensione, misure ed unità di misura

  • Fisica come scienza sperimentale; grandezze misurabili → valore numerico × unità.
  • Grandezze: fondamentali (es. lunghezza, massa, tempo, temperatura Θ, corrente I, quantità di sostanza N, intensità luminosa J) e derivate (velocità, forza, energia, ecc.).
  • Misura:
    • Diretta: confronto con unità di misura; ottieni quante volte l’unità è contenuta.
    • Indiretta: uso di relazioni matematiche o trasduttori.
  • Forma generale: Grandezza = valore × unità; Unità conformi al SI.
  • Caratteristiche della misura: Precisione, Accuratezza, Sensibilità.
  • Errore di misura:
    • Errore assoluto: \Delta x = |x{\text{misurato}} - x{\text{vero}}|
    • Errore relativo: r = \dfrac{\Delta x}{x_{\text{vero}}} (spesso espresso in %).
  • Regole di propagazione degli errori
    • Somma/Sottrazione: \Delta S = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}
    • Prodotto/Divisione: \dfrac{\Delta S}{S} = \sqrt{\left(\dfrac{\Delta x}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{\Delta y}{y}\right)^2}
    • Prodotto con incertezze assolute: \Delta Q = \sqrt{(y\Delta x)^2 + (x\Delta y)^2}
  • Grandezze fondamentali del SI
    • Lunghezza [L] → unità m; Massa [M] → kg; Tempo [T] → s; Temperatura [Θ] → K; Corrente elettrica [I] → A; Quantità di sostanza [N] → mol; Intensità luminosa [J] → cd.
  • Derivate fondamentali; esempi:
    • Velocità: [L][T]^{-1} → m/s;
    • Accelerazione: [L][T]^{-2} → m/s²;
    • Forza: [M][L][T]^{-2} → N;
    • Energia: [M][L]^2[T]^{-2} → J;
    • Pressione: [M][L]^{-1}[T]^{-2} → Pa;
    • Potenza: [M][L]^2[T]^{-3} → W;
    • Carica elettrica: [I][T] → C.
  • Prefissi decimali SI (aggiornati 2022): da yotta (Y, 10^24) a yocto (y, 10^{-24}); esempi comuni: k (kilo, 10^3), m (milli, 10^{-3}), μ (micro, 10^{-6}), n (nano, 10^{-9}), etc.
  • Prefissi rapidi utili in ambito laboratorio/biomedico (esempi):
    • Lunghezza: 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm; 1 cm = 10^{-2} m
    • Massa: 1 kg = 1000 g; 1 g = 1000 mg
    • Volume: 1 L = 1000 mL; 1 m³ = 1000 L
    • Tempo: 1 h = 60 min; 1 min = 60 s
    • Temperatura: TK = TC + 273.15; TF = TC × 9/5 + 32
    • Velocità: 1 m/s = 3.6 km/h
    • Energia: 1 cal = 4.184 J; 1 kWh = 3.6×10^6 J
    • Pressione: 1 atm = 101325 Pa; 1 bar = 10^5 Pa; 1 mmHg = 133.3 Pa
  • Sistema CGS vs SI
    • CGS: basi cm, g, s; unità derivate: dyn (forza), erg (energia), baria (pressione), poise (viscosità).
  • Analisi dimensionale
    • Principio: le equazioni fisiche devono essere dimensionalmente omogenee; si usano le dimensioni espresse come potenze delle grandezze fondamentali.
    • Forma generale: [X] = [L]^a [M]^b [T]^c [I]^d [\Theta]^e [N]^f [J]^g
    • Procedimento: scrivi X = k A^a B^b …, sostituisci le dimensioni, confronta con [X] e risolvi sistema per gli esponenti.
  • Esempio di analisi dimensionale
    • Velocità di caduta libera: supponiamo v = k g t; dimensioni: [v] = [L][T]^{-1}, [g] = [L][T]^{-2}, [t] = [T] ⇒ a=1, b=0, c=1; risultato: v = g t.
  • Stima ordine di grandezza
    • OOM = potenza di 10 più rappresentativa; due convenzioni: vicinanza (log10) vs arrotondamento per eccesso; nel corso si usa la vicinanza.

Stima di ordine di grandezza: esempi tipici (schede rapide)

  • Esempio: Granelli di sabbia su una spiaggia 1 km × 50 m × 2 m; granello ≈ (1 mm)^3; risultato ≈ 10^{14} granelli.
  • Esempio: Energia potenziale di uno zaino di 10 kg sollevato di 30 m; E ≈ m g h ≈ 10 × 10 × 30 = 3 × 10^{3} J.
  • Esempio: Battiti in una vita: 70 bpm per ~80 anni → OOM ≈ 10^9 battiti.
  • Esempio: Gocce in 1 L se una goccia vale 50 μL: 1 L ÷ 50×10^{-6} L ≈ 2×10^4 gocce.
  • Esempio: Atomi in cubo di rame (1 cm³): N ≈ 8×10^{22}.

Vettori e Scalari

  • Definizione: scalari sono grandezze completamente descritte da un valore e un’unità; vettori richiedono modulo, direzione e verso.
  • Esempi: scalari: massa, temperatura; vettori: forza, velocità, spostamento.
  • Notazione: vettore indicato con una freccia o in grassetto, es. \vec{a}; modulo: |\vec{a}|.
  • Versori: in 2D, î = (1,0), ĵ = (0,1); in 3D, î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), k̂ = (0,0,1).
  • Operazioni sui vettori:
    • Moltiplicazione per uno scalare: \alpha\vec{a} mantiene direzione; modulo = |\alpha|\,|\vec{a}|; proprietà lineari: (nm)\vec{a} = n(m\vec{a}) , distributiva: (\alpha + \beta)\vec{a} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{a} .
    • Somma di vettori: componente-wise. In 2D: \vec{a}=(ax,ay), \vec{b}=(bx,by) \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=(ax+bx,ay+by); in 3D aggiungi z.
    • Prodotto scalare: \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta; nullo se angolo è 90°, massimo se allineati; è commutativo.
    • Prodotto vettoriale: \vec{a}\times\vec{b}, magnitudine |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta; direzione per regola della mano destra; non commutativo.
  • Componenti e scomposizione
    • In 2D: \vec{a} = ax \hat{i} + ay \hat{j}; in 3D: \vec{a} = ax \hat{i} + ay \hat{j} + a_z \hat{k}.
    • Componenti in funzione di modulo e angolo: ax = |\vec{a}|\cos\theta, \quad ay = |\vec{a}|\sin\theta.
  • Esempi utili
    • Dati due vettori, somma componenti, e calcolo del modulo: |\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}.

Sistemi di coordinate e funzioni elementari

  • Sistemi di coordinate:
    • Cartesian 2D: punto P(x,y); distanza: d=\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}
    • Coordinate polari: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta;\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\ \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)
    • Coordinate cilindriche: $(r,\theta,z)$ con x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z
    • Coordinate sferiche: $(\rho,\theta,\varphi)$ con x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi
  • Funzioni elementari
    • Lineare: y=mx+q; parabola: y=ax^2+bx+c; valore assoluto: y=|x|.
    • Esponenziale: y=a^x; logaritmica: y=\loga x; relazione tra basi: \loga x = \frac{\ln x}{\ln a}.
    • Seno, coseno, tangente; valori notevoli; tangente ha periodo \pi; asintoti verticali x = \tfrac{\pi}{2}+k\pi.
    • Angoli e radianti: 2\pi\text{ rad} = 360^{\circ}; 1^{\circ}= \frac{\pi}{180} \text{ rad}; steradiante (sr): angolo solido; \Omega = \frac{A}{r^2} su una sfera di raggio r; 1 sr ≈ 3282.8°^2.
  • Trigonometria su cerchio unitario: punto (cos θ, sin θ) sul cerchio di raggio 1.

Derivata e Integrale

  • Derivata
    • Definizione: f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}; pendenza della tangente nel punto $x$.
    • Regole di base:
    • \frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}; \frac{d}{dx}\sin x = \cos x; \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x; \frac{d}{dx}e^x = e^x; \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}
    • Regole operative: linearità, prodotto, composizione (catena).
    • Applicazioni classiche: velocità v(t)=\frac{ds}{dt}; accelerazione a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 s}{dt^2}.
  • Integrale
    • Definizione: definito su [a,b], \inta^b f(x)\,dx = \lim{n\to\infty} \sum{i=1}^n f(x^*i)\Delta x,\ \Delta x=(b-a)/n; interpretazione: area sotto la curva con segno.
    • Teorema Fondamentale del Calcolo (FTC):
    • Se F'(x)=f(x), allora \frac{d}{dx}F(x)=f(x).
    • Se F' = f e F è una primitiva di f, allora \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a).
    • Esempi rapidi:
    • \int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2;
    • \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C;
    • \int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = \ln e - \ln 1 = 1.
    • Tecniche di integrazione: sostituzione, integrazione per parti, ecc.

Equazioni fisiche e loro forma

  • Equazioni fisiche legano grandezze misurabili; omogeneità dimensionale: tutti i termini hanno le stesse dimensioni.
  • Ruolo delle costanti e proporzionalità: costanti rendono quantitativa una legge di proporzionalità e hanno dimensioni per mantenere l’omogeneità.
  • Tipi di proporzionalità: diretta, inversa, quadratica, radice.
  • Esempi comuni:
    • Legge di Hooke: F = kx; unità di k: N m^{-1}.
    • Gas ideali: pV = nRT; R ha dimensioni appropriate.
    • Gravità universale: F = G m1 m2 / r^2.

Funzioni trigonometriche elementari e derivate

  • Cerchio goniometrico e definizioni: cos θ = xP, sin θ = yP; tan θ = sin θ / cos θ (quando cos θ ≠ 0).
  • Derivate di base: d/dx sin x = cos x; d/dx cos x = - sin x; d/dx tan x = sec^2 x.
  • Inverse delle funzioni trigonometriche: arcsin, arccos, arctan e rispettivi domini/codomini.
  • Relazioni utili: arcsin x + arccos x = π/2; derivate di arcsin, arccos, arctan.

Coordinate, grafici e funzioni elementari

  • Grafici: assi, etichette, unità; scale lineari o logaritmiche; titoli/legenda.
  • Grafici di base: lineare, quadratico, assoluto, esponenziale, logaritmica.
  • Angoli: conversione fra radianti e gradi; valori notevoli; relativi aspetti di approssimazione (solo in radianti vale sin x ≈ x per piccole angolazioni).

Conversioni tra unità di misura

  • Motivo delle conversioni: esprimere grandezze nella stessa unità per confronto/calcolo.
  • Metodo generale: stabilire ugualianza (1 unità = 1 unità) e moltiplicare per una frazione che vale 1.
  • Esempi rapidi:
    • Lunghezza: 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm; 1 in = 2.54 cm.
    • Massa: 1 kg = 1000 g; 1 g = 1000 mg.
    • Volume: 1 L = 1000 mL; 1 m³ = 1000 L; 1 gal US = 3.785 L.
    • Tempo: 1 h = 60 min; 1 min = 60 s.
    • Temperatura: TK = TC + 273.15; TF = TC × 9/5 + 32.
    • Velocità: 1 m/s = 3.6 km/h.
    • Energia: 1 cal = 4.184 J; 1 kWh = 3.6×10^6 J.
    • Pressione: 1 atm = 101325 Pa; 1 bar = 10^5 Pa; 1 mmHg = 133.3 Pa.
  • Conversioni principali rapide (riassunto):
    • Lunghezza: 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm; 1 in = 2.54 cm.
    • Massa: 1 kg = 1000 g; 1 g = 1000 mg.
    • Volume: 1 L = 1000 mL; 1 m³ = 1000 L; 1 gal US = 3.785 L.
    • Tempo: 1 h = 60 min; 1 min = 60 s.
    • Temperatura: TK = TC + 273.15; TF = TC × 9/5 + 32.
    • Velocità: 1 m/s = 3.6 km/h.
    • Energia: 1 cal = 4.184 J; 1 kWh = 3.6×10^6 J.
    • Pressione: 1 atm = 101325 Pa; 1 bar = 10^5 Pa; 1 mmHg = 133.3 Pa.

Standard di misura SI e CGS

  • Definizioni basate su costanti fisiche: moderne definizioni del SI legate a costanti fondamentali (c, h, e, k_B, NA, ecc.).
  • Base del SI: lunghezza (m), massa (kg), tempo (s), temperatura (K), corrente elettrica (A), quantità di sostanza (mol), intensità luminosa (cd).
  • CGS: centimetro, grammo, secondo; unità derivate tipiche: dyne, erg, poise, baria.
  • Prefissi decimali SI: elenco completo da yotta (10^{24}) a yocto (10^{-24}).
  • Esempi di conversione rapidi tra sistemi sono disponibili (vedi schede).

Analisi dimensionale

  • Principio: le equazioni fisiche devono essere dimensionalmente omogenee; le dimensioni si esprimono con potenze delle grandezze fondamentali.
  • Forma generale: [X] = [L]^a [M]^b [T]^c [I]^d [\Theta]^e [N]^f [J]^g
  • Procedimento:
    1) Scrivi la relazione X = k A^a B^b \dots
    2) Sostituisci le dimensioni delle grandezze
    3) Confronta con [X] e risolvi il sistema per gli esponenti.
  • Esempi semplici:
    • Velocità: [v] = [L][T]^{-1},\ [g] = [L][T]^{-2},\ [t] = [T] \Rightarrow v = g t.
    • Energia cinetica: [E]=[M][L]^2[T]^{-2},\ [m]=[M],\ [v]=[L][T]^{-1} \Rightarrow E = m v^2.

Stima ordine di grandezza (OOM) e problemi di Fermio (Fermi)

  • Definizione: OOM è la potenza di 10 più rappresentativa di un numero.
  • Convenzioni: vicina (log10) versus arrotondamento per eccesso; nel corso si usa la vicina.
  • Esempi tipici: calcolo rapido di ordini di grandezza per grandi numeri o piccole quantità.

Esercizi flash sugli integrali (sanità numerica)

  • Esempi:
    • (\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2)
    • (\int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2} e^{2x} + C)
    • (\int_{1}^{e} \dfrac{dx}{x} = 1)

Note finali

  • Le unità SI e CGS hanno usi differenti; per confronto e calcolo si preferisce SI.
  • Le grandezze intensive/esclusive non tutte le grandezze si classificano come una di esse; alcune sono non omogenee rispetto a scala.
  • Le nozioni di derivata e integrale sono fondamentali per descrivere dinamica, movimento, lavoro, energia e quantità fisiche.