Appunti sintetici – fisica e matematica (riassunto tecnico)

Notazione scientifica e unità di misura

• Notazione scientifica: forma $a \times 10^{n}$, con $1 \le |a| < 10$; $n$ è intero (n>0 per numeri grandi, n<0 per numeri piccoli).
• Esempi: $5000 = 5.0 \times 10^{3}$, $0.00042 = 4.2 \times 10^{-4}$, $3600000 = 3.6 \times 10^{6}$, $8.9 \times 10^{-9}$.
• Conversione decimale → scientifica: trova prima cifra diversa da zero, sposta la virgola, esponente positivo se sposti a sinistra, negativo se a destra.
• Conversione scientifica → normale: sposta la virgola di $n$ posizioni. Esempi: $2.3 \times 10^{3} \rightarrow 2300$; $5.9 \times 10^{-4} \rightarrow 0.00059$.
• Potenze e radicali: proprietà principali
  • $a^{m} a^{n} = a^{m+n}$, $(ab)^{m} = a^{m} b^{m}$
  • $(a^{m})^{n} = a^{mn}$, $a^{0}=1, a^{-m}=a^{-m}$
  • $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$; se $n$ è pari, $\sqrt{a}$ è definito solo per $a\ge0$; $\sqrt{a^{2}}=|a|$.
• Moltiplicazione e divisione in notazione scientifica
  • $(a \times 10^{m})(b \times 10^{n}) = (ab) \times 10^{m+n}$
  • Esempio: $(2 \times 10^{4})(3 \times 10^{2}) = 6 \times 10^{6}$.
• Somma e sottrazione in notazione scientifica
  • portare entrambi i termini alla stessa potenza di 10, poi sommare i coefficienti, riformare la forma scientifica.
  • Esempi: $3.1 \times 10^{4} + 2.5 \times 10^{3} = 3.35 \times 10^{4}$; $(5.2 \times 10^{4}) - (3.1 \times 10^{3}) = 4.89 \times 10^{4}$.

Grandezze fisiche, dimensione, misure ed unità di misura

• Fisica come scienza sperimentale; grandezze misurabili → valore numerico × unità.
• Grandezze: fondamentali (es. lunghezza, massa, tempo, temperatura Θ, corrente I, quantità di sostanza N, intensità luminosa J) e derivate (velocità, forza, energia, ecc.).
• Misura:
  • Diretta: confronto con unità di misura; ottieni quante volte l’unità è contenuta.
  • Indiretta: uso di relazioni matematiche o trasduttori.
• Forma generale: Grandezza = valore × unità; Unità conformi al SI.
• Caratteristiche della misura: Precisione, Accuratezza, Sensibilità.
• Errore di misura:
  • Errore assoluto: $\Delta x = |x<em>{\text{misurato}} - x</em>{\text{vero}}|$
  • Errore relativo: $r = \dfrac{\Delta x}{x_{\text{vero}}}$ (spesso espresso in %).
• Regole di propagazione degli errori
  • Somma/Sottrazione: $\Delta S = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$
  • Prodotto/Divisione: $\dfrac{\Delta S}{S} = \sqrt{\left(\dfrac{\Delta x}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{\Delta y}{y}\right)^2}$
  • Prodotto con incertezze assolute: $\Delta Q = \sqrt{(y\Delta x)^2 + (x\Delta y)^2}$
• Grandezze fondamentali del SI
  • Lunghezza [L] → unità m; Massa [M] → kg; Tempo [T] → s; Temperatura [Θ] → K; Corrente elettrica [I] → A; Quantità di sostanza [N] → mol; Intensità luminosa [J] → cd.
• Derivate fondamentali; esempi:
  • Velocità: [L][T]^{-1} → m/s;
  • Accelerazione: [L][T]^{-2} → m/s²;
  • Forza: [M][L][T]^{-2} → N;
  • Energia: [M][L]^2[T]^{-2} → J;
  • Pressione: [M][L]^{-1}[T]^{-2} → Pa;
  • Potenza: [M][L]^2[T]^{-3} → W;
  • Carica elettrica: [I][T] → C.
• Prefissi decimali SI (aggiornati 2022): da yotta (Y, 10^24) a yocto (y, 10^{-24}); esempi comuni: k (kilo, 10^3), m (milli, 10^{-3}), μ (micro, 10^{-6}), n (nano, 10^{-9}), etc.
• Prefissi rapidi utili in ambito laboratorio/biomedico (esempi):
  • Lunghezza: 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm; 1 cm = 10^{-2} m
  • Massa: 1 kg = 1000 g; 1 g = 1000 mg
  • Volume: 1 L = 1000 mL; 1 m³ = 1000 L
  • Tempo: 1 h = 60 min; 1 min = 60 s
  • Temperatura: TK = TC + 273.15; TF = TC × 9/5 + 32
  • Velocità: 1 m/s = 3.6 km/h
  • Energia: 1 cal = 4.184 J; 1 kWh = 3.6×10^6 J
  • Pressione: 1 atm = 101325 Pa; 1 bar = 10^5 Pa; 1 mmHg = 133.3 Pa
• Sistema CGS vs SI
  • CGS: basi cm, g, s; unità derivate: dyn (forza), erg (energia), baria (pressione), poise (viscosità).
• Analisi dimensionale
  • Principio: le equazioni fisiche devono essere dimensionalmente omogenee; si usano le dimensioni espresse come potenze delle grandezze fondamentali.
  • Forma generale: $[X] = [L]^a [M]^b [T]^c [I]^d [\Theta]^e [N]^f [J]^g$
  • Procedimento: scrivi X = k A^a B^b …, sostituisci le dimensioni, confronta con $[X]$ e risolvi sistema per gli esponenti.
• Esempio di analisi dimensionale
  • Velocità di caduta libera: supponiamo $v = k g t$; dimensioni: $[v] = [L][T]^{-1}, [g] = [L][T]^{-2}, [t] = [T]$ ⇒ $a=1, b=0, c=1$; risultato: $v = g t$.
• Stima ordine di grandezza
  • OOM = potenza di 10 più rappresentativa; due convenzioni: vicinanza (log10) vs arrotondamento per eccesso; nel corso si usa la vicinanza.

Stima di ordine di grandezza: esempi tipici (schede rapide)

• Esempio: Granelli di sabbia su una spiaggia 1 km × 50 m × 2 m; granello ≈ (1 mm)^3; risultato ≈ 10^{14} granelli.
• Esempio: Energia potenziale di uno zaino di 10 kg sollevato di 30 m; E ≈ m g h ≈ 10 × 10 × 30 = 3 × 10^{3} J.
• Esempio: Battiti in una vita: 70 bpm per ~80 anni → OOM ≈ 10^9 battiti.
• Esempio: Gocce in 1 L se una goccia vale 50 μL: 1 L ÷ 50×10^{-6} L ≈ 2×10^4 gocce.
• Esempio: Atomi in cubo di rame (1 cm³): N ≈ 8×10^{22}.

Vettori e Scalari

• Definizione: scalari sono grandezze completamente descritte da un valore e un’unità; vettori richiedono modulo, direzione e verso.
• Esempi: scalari: massa, temperatura; vettori: forza, velocità, spostamento.
• Notazione: vettore indicato con una freccia o in grassetto, es. \vec{a}; modulo: |\vec{a}|.
• Versori: in 2D, î = (1,0), ĵ = (0,1); in 3D, î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), k̂ = (0,0,1).
• Operazioni sui vettori:
  • Moltiplicazione per uno scalare: $\alpha\vec{a}$ mantiene direzione; modulo = $|\alpha|\,|\vec{a}|$; proprietà lineari: $(nm)\vec{a} = n(m\vec{a})$, distributiva: $(\alpha + \beta)\vec{a} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{a}$.
  • Somma di vettori: componente-wise. In 2D: $\vec{a}=(a<em>x,a</em>y), \vec{b}=(b<em>x,b</em>y) \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=(a<em>x+b</em>x,a<em>y+b</em>y)$; in 3D aggiungi z.
  • Prodotto scalare: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$; nullo se angolo è 90°, massimo se allineati; è commutativo.
  • Prodotto vettoriale: $\vec{a}\times\vec{b}$, magnitudine $|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$; direzione per regola della mano destra; non commutativo.
• Componenti e scomposizione
  • In 2D: $\vec{a} = a<em>x \hat{i} + a</em>y \hat{j}$; in 3D: $\vec{a} = a<em>x \hat{i} + a</em>y \hat{j} + a_z \hat{k}$.
  • Componenti in funzione di modulo e angolo: $a<em>x = |\vec{a}|\cos\theta, \quad a</em>y = |\vec{a}|\sin\theta.$
• Esempi utili
  • Dati due vettori, somma componenti, e calcolo del modulo: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Sistemi di coordinate e funzioni elementari

• Sistemi di coordinate:
  • Cartesian 2D: punto P(x,y); distanza: $d=\sqrt{(x<em>2-x</em>1)^2+(y<em>2-y</em>1)^2}$
  • Coordinate polari: $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta;\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\ \theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$
  • Coordinate cilindriche: $(r,\theta,z)$ con $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z$
  • Coordinate sferiche: $(\rho,\theta,\varphi)$ con $x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi$
• Funzioni elementari
  • Lineare: $y=mx+q$; parabola: $y=ax^2+bx+c$; valore assoluto: $y=|x|$.
  • Esponenziale: $y=a^x$; logaritmica: $y=\log<em>a x$; relazione tra basi: $\log</em>a x = \frac{\ln x}{\ln a}$.
  • Seno, coseno, tangente; valori notevoli; tangente ha periodo $\pi$; asintoti verticali x = $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$.
  • Angoli e radianti: $2\pi\text{ rad} = 360^{\circ}$; $1^{\circ}= \frac{\pi}{180} \text{ rad}$; steradiante (sr): angolo solido; $\Omega = \frac{A}{r^2}$ su una sfera di raggio r; 1 sr ≈ 3282.8°^2.
• Trigonometria su cerchio unitario: punto (cos θ, sin θ) sul cerchio di raggio 1.

Derivata e Integrale

• Derivata
  • Definizione: $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$; pendenza della tangente nel punto $x$.
  • Regole di base:
  • $\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$; $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$; $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$; $\frac{d}{dx}e^x = e^x$; $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$
  • Regole operative: linearità, prodotto, composizione (catena).
  • Applicazioni classiche: velocità $v(t)=\frac{ds}{dt}$; accelerazione $a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 s}{dt^2}$.
• Integrale
  • Definizione: definito su $[a,b]$, $\int<em>a^b f(x)\,dx = \lim</em>{n\to\infty} \sum<em>{i=1}^n f(x^*</em>i)\Delta x,\ \Delta x=(b-a)/n$; interpretazione: area sotto la curva con segno.
  • Teorema Fondamentale del Calcolo (FTC):
  • Se $F'(x)=f(x)$, allora $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$.
  • Se $F' = f$ e $F$ è una primitiva di $f$, allora $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$.
  • Esempi rapidi:
  • $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2$;
  • $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$;
  • $\int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = \ln e - \ln 1 = 1$.
  • Tecniche di integrazione: sostituzione, integrazione per parti, ecc.

Equazioni fisiche e loro forma

• Equazioni fisiche legano grandezze misurabili; omogeneità dimensionale: tutti i termini hanno le stesse dimensioni.
• Ruolo delle costanti e proporzionalità: costanti rendono quantitativa una legge di proporzionalità e hanno dimensioni per mantenere l’omogeneità.
• Tipi di proporzionalità: diretta, inversa, quadratica, radice.
• Esempi comuni:
  • Legge di Hooke: F = kx; unità di k: N m^{-1}.
  • Gas ideali: pV = nRT; R ha dimensioni appropriate.
  • Gravità universale: F = G m1 m2 / r^2.

Funzioni trigonometriche elementari e derivate

• Cerchio goniometrico e definizioni: cos θ = xP, sin θ = yP; tan θ = sin θ / cos θ (quando cos θ ≠ 0).
• Derivate di base: d/dx sin x = cos x; d/dx cos x = - sin x; d/dx tan x = sec^2 x.
• Inverse delle funzioni trigonometriche: arcsin, arccos, arctan e rispettivi domini/codomini.
• Relazioni utili: arcsin x + arccos x = π/2; derivate di arcsin, arccos, arctan.

Coordinate, grafici e funzioni elementari

• Grafici: assi, etichette, unità; scale lineari o logaritmiche; titoli/legenda.
• Grafici di base: lineare, quadratico, assoluto, esponenziale, logaritmica.
• Angoli: conversione fra radianti e gradi; valori notevoli; relativi aspetti di approssimazione (solo in radianti vale sin x ≈ x per piccole angolazioni).

Conversioni tra unità di misura

• Motivo delle conversioni: esprimere grandezze nella stessa unità per confronto/calcolo.
• Metodo generale: stabilire ugualianza (1 unità = 1 unità) e moltiplicare per una frazione che vale 1.
• Esempi rapidi:
  • Lunghezza: 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm; 1 in = 2.54 cm.
  • Massa: 1 kg = 1000 g; 1 g = 1000 mg.
  • Volume: 1 L = 1000 mL; 1 m³ = 1000 L; 1 gal US = 3.785 L.
  • Tempo: 1 h = 60 min; 1 min = 60 s.
  • Temperatura: TK = TC + 273.15; TF = TC × 9/5 + 32.
  • Velocità: 1 m/s = 3.6 km/h.
  • Energia: 1 cal = 4.184 J; 1 kWh = 3.6×10^6 J.
  • Pressione: 1 atm = 101325 Pa; 1 bar = 10^5 Pa; 1 mmHg = 133.3 Pa.
• Conversioni principali rapide (riassunto):
  • Lunghezza: 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm; 1 in = 2.54 cm.
  • Massa: 1 kg = 1000 g; 1 g = 1000 mg.
  • Volume: 1 L = 1000 mL; 1 m³ = 1000 L; 1 gal US = 3.785 L.
  • Tempo: 1 h = 60 min; 1 min = 60 s.
  • Temperatura: TK = TC + 273.15; TF = TC × 9/5 + 32.
  • Velocità: 1 m/s = 3.6 km/h.
  • Energia: 1 cal = 4.184 J; 1 kWh = 3.6×10^6 J.
  • Pressione: 1 atm = 101325 Pa; 1 bar = 10^5 Pa; 1 mmHg = 133.3 Pa.

Standard di misura SI e CGS

• Definizioni basate su costanti fisiche: moderne definizioni del SI legate a costanti fondamentali (c, h, e, k_B, NA, ecc.).
• Base del SI: lunghezza (m), massa (kg), tempo (s), temperatura (K), corrente elettrica (A), quantità di sostanza (mol), intensità luminosa (cd).
• CGS: centimetro, grammo, secondo; unità derivate tipiche: dyne, erg, poise, baria.
• Prefissi decimali SI: elenco completo da yotta (10^{24}) a yocto (10^{-24}).
• Esempi di conversione rapidi tra sistemi sono disponibili (vedi schede).

Analisi dimensionale

• Principio: le equazioni fisiche devono essere dimensionalmente omogenee; le dimensioni si esprimono con potenze delle grandezze fondamentali.
• Forma generale: $[X] = [L]^a [M]^b [T]^c [I]^d [\Theta]^e [N]^f [J]^g$
• Procedimento:
  1) Scrivi la relazione $X = k A^a B^b \dots$
  2) Sostituisci le dimensioni delle grandezze
  3) Confronta con $[X]$ e risolvi il sistema per gli esponenti.
• Esempi semplici:
  • Velocità: $[v] = [L][T]^{-1},\ [g] = [L][T]^{-2},\ [t] = [T] \Rightarrow v = g t$.
  • Energia cinetica: $[E]=[M][L]^2[T]^{-2},\ [m]=[M],\ [v]=[L][T]^{-1} \Rightarrow E = m v^2$.

Stima ordine di grandezza (OOM) e problemi di Fermio (Fermi)

• Definizione: OOM è la potenza di 10 più rappresentativa di un numero.
• Convenzioni: vicina (log10) versus arrotondamento per eccesso; nel corso si usa la vicina.
• Esempi tipici: calcolo rapido di ordini di grandezza per grandi numeri o piccole quantità.

Esercizi flash sugli integrali (sanità numerica)

• Esempi:
  • (\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2)
  • (\int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2} e^{2x} + C)
  • (\int_{1}^{e} \dfrac{dx}{x} = 1)

Note finali

• Le unità SI e CGS hanno usi differenti; per confronto e calcolo si preferisce SI.
• Le grandezze intensive/esclusive non tutte le grandezze si classificano come una di esse; alcune sono non omogenee rispetto a scala.
• Le nozioni di derivata e integrale sono fondamentali per descrivere dinamica, movimento, lavoro, energia e quantità fisiche.