Matematica Finanziaria: Capitalizzazione e Attualizzazione

MATEMATICA FINANZIARIA

Introduzione alla Matematica Finanziaria

  • La matematica finanziaria studia i criteri per la valutazione razionale di importi monetari la cui disponibilità non coincide con l’istante di valutazione.

  • Il “valore” di una somma di denaro si incrementa nel tempo, sia in un’operazione di investimento, sia in un’operazione di finanziamento.

Operazione Finanziaria

  • Definizione: uno scambio tra importi disponibili a tempi diversi, in cui il valore della somma di denaro che si vuol valutare coincide con l’importo scambiato oggi.

  • Esempi di operazioni finanziarie:

    • Acquisto di BOT e successiva vendita

    • Acquisto di certificati di deposito a scadenza fissa

    • Sconto di cambiale

    • Accensione di mutui

    • Acquisti a pagamento rateale

    • Contratti di leasing

  • Tipologie di operazione:

    • Semplice: due scadenze (es. sconto di cambiale).

    • Complessa: più di due scadenze (es. investimento in BTP).

  • Divisone dell’operazione in:

    • A pronti: pagamento immediato.

    • A termine: pagamento posticipato.

  • Certezza dell’operazione:

    • Certa: capitale e scadenza deterministici.

    • Aleatoria: almeno uno tra capitale o scadenza aleatori.

Montante, Interesse e Sconto

- Grafico temporale dei capitali coinvolti in un’operazione finanziaria semplice.

  • Capitale iniziale: importo investito.

  • Capitale finale: montante disponibile alla fine dell'investimento.

    • La differenza tra montante e capitale iniziale rappresenta l'interesse (I) o sconto (D).

    • Formula: I=D=M−CI = D = M - C

Leggi Finanziarie di Capitalizzazione

Legge finanziaria di capitalizzazione

  • La funzione di montante $M(t) = F(C,t)$ definisce il montante accumulato al tempo t da un capitale iniziale C.

  • Postulati:

    1. $F(C,t)$ è definita per ogni $C geq 0$ e per ogni $t$ in $[0, T)$.

    2. $F(C,0) = C$ per ogni $C geq 0$.

    3. Se $t1 < t2$, allora $F(C,t1) leq F(C,t2)$.

    4. $F(C,t) = C imes F(1,t)$ (il montante è proporzionale al capitale).

  • Proprietà:

    • $F(0,t) = 0$ per ogni $t geq 0$.

    • Se $0 < C1 < C2$, allora $F(C1,t) < F(C2,t)$.

  • Fattore di montante:

    • Definito come $f(t) = F(1,t)$, che è la funzione esprimente il montante per un capitale unitario.

  • Montante generale al tempo t:
    M(t)=Cimesf(t)M(t) = C imes f(t)

  • Tassi di interesse e sconto:
    I(t)=S(t)=M(t)−C=Cimes[f(t)−1]I(t) = S(t) = M(t) - C = C imes [f(t) - 1]

Legge Finanziaria di Attualizzazione

  • Formula: VA(t)=G(C,t)VA(t) = G(C,t)

  • Fattore di sconto:

    • $g(t) = G(1,t)$

  • Proprietà:

    1. Definito per t in $[0,T)$.

    2. g(0) = 1.

    3. Non crescente: g'(t) ≥ 0.

  • Valore attuale:
    VA(t)=Cimesg(t)VA(t) = C imes g(t)

  • Leggi finanziarie coniugate:
    g(t)=rac1f(t)g(t) = rac{1}{f(t)}

Tassi di Interesse e Sconto

  • Relazione tra i tassi di interesse e sconto con unità di valuta e tempo.

  • Tassi:

    • Mensile (i12), Trimestrale (i4), Semestrale (i2), Annuo (i), Biennale (i0.5).

  • Applicabilità:

    • La periodicità deve corrispondere all'unità di tempo prevista.

Regimi Finanziari di Capitalizzazione

  • Capitalizzazione: differimento di una disponibilità monetaria immediata.

  • Andamento del montante nel tempo si analizza per:

    • Funzioni affini

    • Funzioni esponenziali

    • Funzioni iperboliche

  • Legge di capitalizzazione:

    • Interesse semplice: I(t)=Cimesiimest=CitI(t) = C imes i imes t = Cit

    • Montante: M(t)=C(1+it)M(t) = C(1 + it)

    • Fattore di montante: f(t)=1+itf(t) = 1 + it

  • Esempio:

    • Capitalizzazione di €5000 in t0 = 0, i = 1,5% trimestrale produce $M(2) = C(1 + it) = 5000(1 + 0.015 · 2) = 5150€$.

  • Per durate frazionarie:

    • Formula: M(t)=C(1+it)M(t) = C(1 + it) e frequenza con t espressa in giorni/mese.

Capitalizzazione a Interesse Composto

  • Describe l'accumulazione degli interessi sui montanti già ottenuti.

  • Formula per montante:
    M(t)=C(1+i)nM(t) = C(1 + i)^n

  • Fattore di montante in regime composto:
    f(t)=(1+i)tf(t) = (1 + i)^t

  • Esempio: - Capitalizzazione di sei mesi a €5000 al tasso trimestrale di 1.5%:
    I(2)=5000[(1+0.015)2−1]I(2) = 5000[(1 + 0.015)^2 - 1]

Registrazioni di Investor Returns

  • Per calcolare ritorni su capitale secondo differenti tassi di interesse e per periodi variabili. Applicazione dei criteri di pianificazione finanziaria con indicatori come R.E.A., T.I.R. e T.A.N. .

Criteri di Scelta e Valutazione di Progetti Finanziari

  • Descrizione di come confrontare progetti finanziari usando R.E.A. e T.I.R. .

  • R.E.A. = Valore Attuale Netto.

  • T.I.R. = tasso che rende $VA = 0$.

  • Criteri di scelta tra progetti:

    1. Indipendenza: ogni progetto considerato separatamente, senza influenze esterne.

    2. Completeness: progetto che deve essere completo e strutturato.

  • Classificazioni:

    1. Ammissibili

    2. Alternative

    3. Indipendenti

  • T.A.N. e T.A.E.G. forniscono un quadro sul costo reale di finanziamenti.

Conclusione

  • Applicabilità delle leggi finanziarie di capitalizzazione e attualizzazione consente di prendere decisioni informate sulla salute finanziaria e sull' efficacia di investimenti.