Matematika 2 – Konspektas

Egzamino Informacija

  • Matematikos 2 egzaminas vyks 2025 m. birželio 5 d. 12 val. 159 a.
  • Universiteto g. 10 - 159 a.
  • Nuotolinė konsultacija (per MS Teams) vyks 2025 m. birželio 4 d. 14 val.

1. Diferencialinės Lygtys

Pagrindinės sąvokos:

  • Diferencialinė lygtis – F(x, y, y', …, y^n) = 0
  • Eilė – aukščiausios lygties išvestinės eilė.

Diferencialinių lygčių tipai:

  • Paprastosios / dalinių išvestinių
  • Viena lygtis / sistema
  • Pirmos / aukštesnės eilės
  • Tiesinės / netiesinės

Pirmos eilės diferencialinės lygtys:

  • Su atskiriamaisiais kintamaisiais: \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
  • Homogeninės: y' = f(x, y), f(tx, ty) = f(x, y)
  • Tiesinės: y' + P(x)y = Q(x)
    • Sprendinys: y = e^{-\int P(x)dx} * [\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]

Modeliavimas diferencialinėmis lygtimis:

  • Populiacijos: \frac{dP}{dt} = kP \rightarrow P(t) = Ce^{kt}
  • Radioaktyvus skilimas: \frac{dA}{dt} = -kA \rightarrow A(t) = Ce^{-kt}
  • Niutono vėsimo dėsnis: \frac{dT}{dt} = k(T - A) \rightarrow T(t) = Ce^{kt} + A
  • Mišiniai: \frac{dS}{dt} = R{in} - R{out}

2. Interpoliavimas

  • Tiesinis: L1(x) = f(xi) + [\frac{f(x{i1}) - f(xi)}{x{i1} - xi}]\cdot(x - x_i)
  • Kvadratinis: L2(x) = f(xi) + f(xi,x{i1})(x - xi) + f(xi,x{i1},x{i2})(x - xi)(x - x{i1})
  • Niutono daugianaris: Ln(x) = f(x) + f(x,x1)(x - x) + … + f(x,…,x)(x - x)…(x - x_1)
  • Interpoliavimas splainais: Tikrinimas ar funkcijos yra kvadratiniai splainai.

3. Eilutės ir jų konvergavimas

Apibrėžimai:

  • Skaičių eilutė: \sum a
  • Funkcijų eilutė: \sum u(x)

Konvergavimas:

  • Absoliutus: \sum |a|
  • Reliatyvus: \sum a konverguoja, bet \sum |a| – ne

Požymiai:

  • D’Alambero: lim (\frac{a_1}{a})
  • Koši: lim (\sqrt[n]{a})
  • Leibnico (alternuojančioms)
  • Palyginimo, ribinio palyginimo požymiai

Laipsninės eilutės:

  • Forma: \sum cx^n
  • Konvergavimo spindulys: R = lim |\frac{c}{c_1}|

Teiloro / Makloreno eilutės:

  • Teiloro: f(x) = f(x0) + \frac{f'(x0)}{1!} \cdot (x - x_0) + …
  • Makloreno: f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} \cdot x + …

4. Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma:

  • z = x + iy

Trigonometrinė forma:

  • z = r(cos \varphi + i sin \varphi)

Rodiklinė forma:

  • z = re^{i\varphi}

Veiksmai:

  • Daugyba: sudedami kampai, sudauginami ilgiai
  • Dalijimas: atimami kampai, padalinami ilgiai
  • Kėlimas laipsniu: z^n = r^n(cos n\varphi + i sin n\varphi)
  • Šaknų traukimas: \omega = \sqrt[n]{r}(cos((\frac{\varphi+2\pi k}{n})) + i sin((\frac{\varphi+2\pi k}{n})))

1. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais

  • Kompleksinis skaičius: z=a+bi, kur a,b \in \mathbb{R}, o $i – menamasis vienetas (i^2 = -1).
  • Realioji dalis: Re(z) = a, menamoji dalis: Im(z) = b.
  • Suma: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
  • Skirtumas: z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i
  • Daugyba: z1 \cdot z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • Dalyba: \frac{z1}{z2} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c- di)}{c^2 + d^2}
  • Kompleksinis junginys: \bar{z} = a - bi
  • Modulis: |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

2. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

  • Forma: z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi), \quad r = |z|, \quad \varphi = arg(z)
  • Daugyba: z1 \cdot z2 = r1 r2 \left[ \cos(\varphi1 + \varphi2) + i \sin(\varphi1 + \varphi2) \right]
  • Dalyba: \frac{z1}{z2} = \frac{r1}{r2} \left[ \cos(\varphi1 - \varphi2) + i \sin(\varphi1 - \varphi2) \right]
  • Kėlimas laipsniu: z^n = r^n \left[ \cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi) \right]
  • Šaknies traukimas (n-tosios šaknys): \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left[ \cos\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) \right],\quad k = 0,1,…,n-1

3. Rodiklinė kompleksinių skaičių forma

  • Forma: z = r e^{i\varphi}, \quad \text{kur } e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \quad \text{(Eulerio formulė)}
  • Patogu kėlimui laipsniu, dalybai ir šaknų traukimui.

4. Eilutės ir jos sumos sąvokos. Konverguojančiųjų eilučių savybės

  • Eilutė (suma): \sum{n=1}^{\infty} an
  • Konvergavimas: jei dalinė suma Sn = a1 + a2 + \dots + an artėja prie ribos $S, kai n \to \infty.
  • Savybės:
    • Lineariškumas: jei \sum an ir \sum bn konverguoja, tai ir \sum (\alpha an + \beta bn) konverguoja.
    • Poveikis nariams: jei tik baigtinis narių skaičius keičiamas – konvergavimas nesikeičia.

5. Eilučių konvergavimo požymiai

Būtinasis požymis:

  • Jei \sum an konverguoja, tada \lim an = 0. Priešingai – diverguoja.

Pakankamieji požymiai:

  • Palyginimo požymis: jei 0 \leq an \leq bn ir \sum bn konverguoja, tai ir \sum an konverguoja.
  • Ribinis palyginimo požymis: \lim \frac{an}{bn} = L > 0 \Rightarrow \text{abu vienodai konverguoja ar diverguoja}
  • D‘Alambero požymis: \lim \left| \frac{a{n+1}}{an} \right| = q: \begin{cases} q < 1 \Rightarrow \text{konverguoja} \ q > 1 \Rightarrow \text{diverguoja} \ q = 1 \Rightarrow \text{neaišku} \end{cases}
  • Koši (radikalinis) požymis: \lim \sqrt[n]{|a_n|} = q \Rightarrow \text{ta pati interpretacija kaip D‘Alambero}

6. Alternuojančios eilutės. Leibnico požymis. Absoliutus ir reliatyvus konvergavimas

  • Alternuojanti eilutė: keičiantis ženklams, pvz. \sum (-1)^n a_n
  • Leibnico kriterijus: jei an \searrow ir \lim an = 0, tuomet eilutė konverguoja.
  • Absoliutus konvergavimas: \sum |an| konverguoja \Rightarrow ir \sum an konverguoja.
  • Reliatyvus konvergavimas: \sum an konverguoja, bet \sum |an| – ne.

7. Funkcijų eilutės. Tolygusis funkcijų eilučių konvergavimas

  • Funkcijų eilutė: \sum f_n(x)
  • Taškinis konvergavimas: kiekvienam $x, \sum f_n(x) \to f(x)
  • Tolygus konvergavimas: \forall \varepsilon > 0, \exists N: \forall n > N, \forall x \in A, \left| f_n(x) - f(x) \right| < \varepsilon

8. Laipsninės eilutės. Savybės

  • Forma: \sum an (x - x0)^n
  • Konvergavimo sritis: apskritimas |x - x_0| < R, kur $R – konvergavimo spindulys.
  • Savybės:
    • Viduje $R – konverguoja absoliučiai ir tolygiai.
    • Derinamos, integruojamos narių požiūriu.

9. Teiloro ir Makloreno eilutės

  • Teiloro eilutė: f(x) = \sum{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x0)}{n!} (x - x_0)^n
  • Makloreno eilutė: kai x_0 = 0

10. Interpoliavimas daugianariais

  • Tiesinis: per dvi taškus: L(x) = y0 + \frac{y1 - y0}{x1 - x0}(x - x0)
  • Kvadratinis: per tris taškus, dažnai naudojama Niutono forma.
  • Niutono interpoliacinis daugianaris: Pn(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x_1) + \dots

11. Interpoliavimas splainais

  • Splainas: dalinis polinomas (dažniausiai kubinis) tarp taškų, užtikrinantis glotnumą.
  • Dažniausiai naudojamas kubinis splainas, kuris yra:
    • Tęstinis.
    • Turi tęstines pirmąsias ir antrąsias išvestines.

12. Pagrindinės diferencialinių lygčių teorijos sąvokos

  • Diferencialinė lygtis: lygtys su nežinomomis funkcijomis ir jų išvestinėmis.
  • Sprendinys: funkcija, tenkinanti lygtį.
  • Bendrasis sprendinys: su konstantomis.
  • Partikuliarinis sprendinys: be konstantų (su pradinėmis sąlygomis).

13. Pirmos eilės diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

  • Forma: \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
  • Sprendimas: \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx

14. Homogeninės diferencialinės lygtys

  • Forma: \frac{dy}{dx} = F(\frac{y}{x})
  • Keičiant v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = vx, pereinama prie atskiriamų kintamųjų.

15. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

  • Forma: \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
  • Naudojamas integralus daugiklis: \mu(x) = e^{\int P(x) dx}
  • Sprendinys: y = \frac{1}{\mu(x)} \int \mu(x) Q(x) dx + C