Conceptos Generales

مفاهیم عمومی
1. مجموعه‌ها (Conjuntos)

  • تعریف و نمادگذاری:

    • نمادها:

      • ∩\cap: اجتماع

      • ∪\cup: اتحاد

      • ∈\in: عنصر

      • ∣∣A∣∣||A||: تعداد عناصر

      • AcA^c: متمم

    • تعریف: یک مجموعه، گردآوری از عناصر است.

    • مثال: اگر A={1,2,3}A=\{1,2,3\} و B={2,3,4}B=\{2,3,4\}، آنگاه:

      • A∪B={1,2,3,4}A\cup B=\{1,2,3,4\}

      • A∩B={2,3}A\cap B=\{2,3\}

2. دسته‌بندی اعداد (Sistemas)

  • انواع اعداد:

    • N\mathbb{N} : طبیعی

    • Z\mathbb{Z} : صحیح

    • Q\mathbb{Q} : گویا

    • R\mathbb{R} : حقیقی

    • C\mathbb{C} : مختلط

  • در راستای حقیقی، هر عدد دارای یک موقعیت خاص است.

3. مقدار مطلق و فاصله (Valor absoluto y distancia)

  • تعریف مقدار مطلق:

    • ∣∣x∣∣=x اگر x بزرگتر یا برابر با 0||x|| = x \text{ اگر } x \text{ بزرگتر یا برابر با } 0

    • ∣∣x∣∣=−x اگر x<0||x|| = -x \text{ اگر } x < 0

  • فاصله بین دو عدد:

    • فاصله بین xx و yy: ∣∣x−y∣∣||x - y||

    • مقدار مطلق به معنی فاصله عدد xx از 0 است.

4. ترتیب انجام عمل‌ها (Operaciones de Orden)

  • قانون ترتیب عمل‌ها:

    1. پرانتز

    2. توان/ریشه

    3. ضرب/تقسیم

    4. جمع/تفریق

  • قاعده توزیع:

    • a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac

5. لگاریتم، ریشه، و توان (Potencias, raíces y logaritmos)

  • قوانین توان:

    • am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}

    • (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}

    • a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

  • تعریف لگاریتم:

    • log⁡<em>a(xy)=log⁡</em>ax+log⁡ay\log<em>a(xy) = \log</em>a x + \log_a y

    • log⁡a(x)=y معادل ay=x\log_a(x) = y \text{ معادل } a^y = x

    • log⁡<em>a(xk)=k×log⁡</em>ax\log<em>a(x^k) = k \times \log</em>a x

6. توابع: دامنه، تصویر، نمودار (Funciones: dominio, imagen, gráfica)

  • تعریف:

    • Dom f=D\text{Dom } f = D: دامنه

    • Im f=f(x)∣x در D\text{Im } f = {f(x) \mid x \text{ در }D}: تصویر

    • Grf=(x,f(x))∣x در DGr f = { (x, f(x)) \mid x \text{ در } D }: نمودار

  • تابع واقعی:

    • f:D→Rf: D \rightarrow \mathbb{R}

7. انواع رایج توابع (Tipos comunes de funciones)

  • انواع توابع:

    • خطی: ax+bax + b

    • درجه دو: ax2+bx+cax^2 + bx + c

    • نمایی: a×bxa \times b^x

    • لگاریتمی: a×log⁡bxa \times \log_b x

8. معادلات و نامعادلات (Desigualdades y Ecuaciones)

  • معادله درجه دو:

    • ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

    • x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

  • معادله خطی:

    • ax+b=0 اگر a≠0⇒x=−baax + b = 0 \text{ اگر } a \neq 0 \Rightarrow x = \frac{-b}{a}

  • نامعادله:

    • هنگام ضرب/تقسیم بر عدد منفی، جهت نامساوی تغییر می‌کند.

9. درصد و تناسب (Proporción y Porcentaje)

  • تعریف تناسب:

    • dc=ba\frac{d}{c} = \frac{b}{a}

  • پاسخ درصد:

    • اگر 20=250×0.08 وقتی که 250 درصد باشد = 8%20 = 250 \times 0.08 \text{ وقتی که } 250 \text{ درصد باشد = 8\%}

  • تعریف درصد:

    • "از صد": درصد یعنی "در هر 100"

10. صفحه مختصات و شیب (Plano cartesiano y pendiente)

  • معادله خط:

    • y=mx+by = mx + b

  • شیب:

    • m=ΔyΔxm = \frac{\Delta y}{\Delta x}

11. ماتریس و بردار (Vectores y matrices)

  • ماتریس:

    • آرایه‌ای از اعداد

  • بردار:

    • دارای اندازه و جهت

  • سیستم خطی:

    • A×x=bA \times x = b

12. پوشا، یک‌به‌یک و دوسویه (Inyectiva/Suprayectiva/Biyectiva)

  • پوشا:

    • Im f=E\text{Im } f = E

  • یک‌به‌یک:

    • اگر x<em>1≠x</em>2⇒f(x<em>1)≠f(x</em>2)x<em>1 \neq x</em>2 \Rightarrow f(x<em>1) \neq f(x</em>2)

  • دوسویه:

    • هم پوشا و هم یک‌به‌یک.

13. عملیات بر روی توابع، ترکیب و معکوس (Operaciones con funciones, composición e inversa)

  • تعریف ترکیب:

    • g(f(x))g(f(x))

  • تعریف معکوس:

    • تنها اگر تابع یک‌به‌یک باشد.

14. کرانداری (Acotación)

  • تعریف کرانداری:

    • ∀K:∣∣f(x)∣∣≤K\forall K: ||f(x)|| \leq K

  • کرانداری دوسویه:

    • اگر ∀m باشد که دقیقا m از پایین \forall m \text{ باشد که دقیقا } m \text{ از پایین }

    • و ∀M باشد که M از بالا\forall M \text{ باشد که } M \text{ از بالا}

15. یکنوایی (Monotonía)

  • تعریف یکنوایی:

    • نزولی:

    • اگر x<em>1<x</em>2⇒f(x<em>1)≥f(x</em>2)x<em>1 < x</em>2 \Rightarrow f(x<em>1) \geq f(x</em>2)

    • صعودی:

    • اگر x<em>1<x</em>2⇒f(x<em>1)≤f(x</em>2)x<em>1 < x</em>2 \Rightarrow f(x<em>1) \leq f(x</em>2)

16. تحدب و تقعر (Concavidad / Convexidad)

  • تعریف تحدب:

    • f(λx<em>1+(1−λ)x</em>2)≤λf(x<em>1)+(1−λ)f(x</em>2) اگر محدبf(\lambda x<em>1+(1-\lambda)x</em>2) \leq \lambda f(x<em>1)+(1-\lambda)f(x</em>2) \text{ اگر محدب}

  • تعریف تقعر:

    • f(λx<em>1+(1−λ)x</em>2)≥λf(x<em>1)+(1−λ)f(x</em>2)f(\lambda x<em>1+(1-\lambda)x</em>2) \geq \lambda f(x<em>1)+(1-\lambda)f(x</em>2)

17. اکسترمم‌های محلی و سراسری (Extremos locales/globales)

  • اکسترمم محلی:

    • بهترین یا بدترین در یک همسایگی کوچک.

    • دقت: اگر اکسترمم سراسری باشد، یگانه است.

  • اکسترمم سراسری:

    • در کل دامنه.

18. نقطه عطف (Punto de inflexión)

  • تعریف:

    • جایی که تابع بین مقعر و محدب تغییر علامت می‌کند.

19. تمرین‌ها و پاسخ‌ها (Práctica con respuestas)

  • مثال:

    • دامنه تابع f(x)=−3x+1f(x) = -3x + 1 را بیابید.

    • پاسخ: Dom f=(−∞,3)∪(3,∞)\text{Dom } f = (-\infty,3) \cup (3, \infty)

  • سایر تمرینات:

    • حل معادله و نامعادله‌ها

    • محاسبات شیب خط

    • شناسایی توابع محدب و مقعر

  • ملاحظات نهایی:

    • متن به صورت بهینه‌سازی شده برای چاپ است: زمینه سفید، خطوط کمرنگ، بدون سایه‌های HTML