Kapitel 5: Zweidimensionale Verteilungen

Zweidimensionale Verteilungen

Einleitung

• Merkmale an statistischen Einheiten können komplexe Zusammenhänge aufweisen.
• Univariate Statistik analysiert ein einzelnes Merkmal, während die zweidimensionale Statistik zwei Merkmale betrachtet.

1. Gemeinsame Häufigkeitsverteilung

• Kontingenztabelle: Übersicht der gemeinsamen Verteilung zweier qualitativer Merkmale, (X, Y).
  • Absolute Häufigkeit (niij): Anzahl statistischer Einheiten mit Merkmalsausprägung (xi, yj).
  • Relative Häufigkeit (hij): Anteil der Einheiten mit Merkmalsausprägung (xi, yj) an der Gesamtheit.
• Beispiel zur Illustration anhand einer Kontingenztabelle: Merkmale "Noten in Deutsch" (X) und "Noten in Mathematik" (Y).

2. Bedingte Häufigkeitsverteilung

• Bedingte Häufigkeit von X: Anteil der statistischen Einheiten mit Merkmalsausprägung (xi, yj) bei vorgegebener Ausprägung von Y (hj).
• Bedingte Häufigkeit von Y: Anteil der Einheiten mit Merkmalsausprägung (xi, yj) bei vorgegebener Ausprägung von X (hi).
• Funktionsweise anhand des Beispiels der Notenverteilung in den Fächern Deutsch und Mathematik.

3. Zusammenhangsmaße

a. Kontingenzkoeffizient

• Ein Maß für die Stärke der Assoziation zwischen Merkmalen X und Y.
• Formeln:
  • Quadratische Kontingenz (Q) als Ausgangspunkt zur Bestimmung des Kontingenzkoeffizienten.
  • Pearson's Kontingenzkoeffizient (K): K = Q / (Q + n).
• Normierter Kontingenzkoeffizient (K): 0 ≤ K ≤ 1 zur Vergleichbarkeit von Assoziationen.
• Faustregel zur Interpretation von K*:
  • K* ≤ 0,2: schwache Assoziation
  • 0,2 < K* ≤ 0,6: mittlere Assoziation
  • 0,6 < K* ≤ 1: starke Assoziation

b. Kovarianz

• Messung der Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei kardinalskalierten Merkmalen X und Y.
• Formel: sXY = 1/n * Σ(xi - x̄)(yi - ȳ).
• Ausreißerempfindlich; Kovarianz = 0 impliziert nicht notwendigerweise Unabhängigkeit.

c. Korrelationskoeffizient

• Normiertes Maß für den linearen Zusammenhang, skaliert zwischen -1 und 1, berechnet über die Kovarianz.
• Unterscheidung zwischen verschiedenen Korrelationsebenen:
  • rXY = 1: starke positive Korrelation
  • rXY = -1: starke negative Korrelation
  • rXY = 0: keine Korrelation.

Grafische Darstellung und Anwendungen

• Streudiagramm: Verwendung zur grafischen Darstellung der zweidimensionalen Beziehung zwischen Merkmalen.

Zusammenfassende Maßzahlen

• Merkmalsaggregate wie Mittelwerte und Varianzen von Summen oder Differenzen.
• Wichtige Eigenschaften zum Schutz gegen solche Maße.

Lernergebnisse

• Kompetenz in der Analyse und Interpretation von zweidimensionalen Daten, sowohl praktisch durch Beispiele als auch theoretisch durch Formeln und Definitionen.