Onde meccaniche

Unità Didattica 4

Onde Meccaniche

Contenuto dell’Unità Didattica

• Introduzione alla natura delle onde meccaniche:

  • Le onde meccaniche sono fenomeni di propagazione di energia e perturbazione attraverso un mezzo materiale.

• Concetto di oscillatore armonico:

  • Modello base di generazione di onde.

  • Definizioni:

  • Frequenza (ν): Numero di oscillazioni complete in un secondo, data da $ν = \frac{1}{T}$, misurata in hertz (Hz).

  • Periodo (T): Tempo necessario per un'oscillazione completa, dato da $T = \frac{1}{ν}$, misurato in secondi.

  • Pulsazione (ω): Relazione con la frequenza, data da $ω = 2πν = \frac{2π}{T}$.

  • Lunghezza d’onda (λ): Distanza tra due punti consecutivi dell’onda che sono in fase.

  • Velocità di propagazione delle onde: Relazione tra frequenza e lunghezza d’onda, data da $v = νλ = \frac{λ}{T}$.

• Equazione di propagazione per onde armoniche semplici:

  • Relazione fondamentale di onde armoniche.

  • Vettore d’onda ($\mathbf{k}$): Descrive la direzione e la velocità dell’onda. Il suo modulo è $k = |\mathbf{k}| = \frac{2π}{λ}$.

• Esempi di onde monodimensionali:

  • Onde trasversali su una corda.

  • Onde longitudinali, come quelle sonore nei fluidi.

• Principi di sovrapposizione e interferenza:

  • Sovrapposizione lineare di onde armoniche: Studiate in relazione alla formazione di interferenze costruttive e distruttive.

  • Onde stazionarie: Si formano in condizioni specifiche, come in tubi o corde fissate. Significato fisico di tali onde.

• Energia trasportata dalle onde:

  • Concetto di energia associata a un’onda meccanica. Per un oscillatore armonico, l'energia meccanica totale è $E_{totale} = \frac{1}{2}mA^2ω^2 = \frac{1}{2}kA^2$, dove $m$ è la massa, $A$ l'ampiezza, $ω$ la pulsazione e $k$ la costante elastica equivalente.

  • Potenza trasportata (P): Energia per unità di tempo, $P = \frac{E}{t}$, relazione con il mezzo elastico.

• Intensità dell’onda (I): Quantità fisica misurabile, correlata all'energia trasportata per unità di area e di tempo, $I = \frac{P}{S} = \frac{E}{S \cdot t}$.

• Onde acustiche:

  • Propagazione del suono nei diversi mezzi materiali, con focus sulla velocità del suono in aria e altri materiali. Per esempio, la velocità del suono nell'aria a $20°C$ è di circa $343~m/s$.

  • Relazione tra intensità acustica e percezione sonora.

• Definizione di livello di intensità sonora in decibel (L):

  • $L = 10 \log<em>{10}\left(\frac{I}{I</em>0}\right)$ dB, dove $I$ è l'intensità misurata e $I_0$ è l'intensità di riferimento (soglia uditiva, $10^{-12}~W/m^2$).

  • Concetto di soglia uditiva e limiti di udibilità dell'orecchio umano.

• Effetto Doppler:

  • Descrizione qualitativa e interpretazione del cambiamento della frequenza per osservatori in movimento.

  • Calcolo della frequenza percepita (ν'):

    • Sorgente in movimento, osservatore stazionario: $ν' = ν \left(\frac{v}{v \pm v<em>s}\right)$ (si usa $-$ se la sorgente si avvicina all'osservatore, $+$ se si allontana; $v$ è la velocità dell'onda nel mezzo, $v</em>s$ è la velocità della sorgente).

    • Osservatore in movimento, sorgente stazionaria: $ν' = ν \left(\frac{v \pm v<em>o}{v}\right)$ (si usa $+$ se l'osservatore si avvicina alla sorgente, $-$ se si allontana; $v</em>o$ è la velocità dell'osservatore).

    • Entrambi in movimento: $ν' = ν \left(\frac{v \pm v<em>o}{v \mp v</em>s}\right)$.

Fenomeni Ondulatori

Tipi di Onde

a) Onda sonora

b) Onda superficiale

c) Onda lunga corda

d) Onda molla

e) Onda sismica

f) Onda elettromagnetica

Cos’è un’Onda?

• Definizione: Perturbazione che si propaga in un mezzo.

• Caratteristica dell’onda: La propagazione della perturbazione avviene senza spostare il mezzo.

Tipi di Onde

• Onde meccaniche: Esempi includono onde sonore e sismiche.

• Onde elettromagnetiche: non richiedono un mezzo per propagarsi.

Vibrazioni Elastiche

• La vibrazione elastica si propaga in un un mezzo come una sbarra metallica, dove tutte le sezioni della sbarra vibrano in tempi successivi. Questa perturbazione può essere di tipo longitudinale o trasversale.

Onde Trasversali e Longitudinali

• Vibrazione Trasversale: Le particelle si muovono perpendicolari alla direzione di propagazione.

• Vibrazione Longitudinale: Le particelle si muovono parallelamente alla direzione della propagazione.

Funzioni Periodiche

• Quando forze di tipo elastico agiscono su un corpo (solido, liquido, gassoso), le particelle vibrano in un moto periodico.

• Le grandezze cinematiche, come spostamento, velocità e accelerazione, sono funzioni periodiche nel tempo e sono espresse da:

  • Spostamento: $x(t) = A \sin \left(\frac{2π}{T}t + φ\right)$

  • Velocità: $v(t) = \frac{dx}{dt} = Aω \cos \left(\frac{2π}{T}t + φ\right)$

  • Accelerazione: $a(t) = \frac{dv}{dt} = -Aω^2 \sin \left(\frac{2π}{T}t + φ\right)$

Moto Armonico e Oscillatore Armonico

• Oscillazione Armonica: L’oscillazione associata a onde meccaniche, si ha quando lo spostamento delle particelle è sinusoidale.

• Parametri:

  • $A$: ampiezza massima.

  • $φ$: angolo di fase iniziale.

  • $ω$: pulsazione angolare, connessa a $T$ da $ω = \frac{2π}{T}$.

• Unità di misura della frequenza nel SI: Ciclo/secondo, in hertz (Hz).

Energia Trasportata da un’Onda

• L’energia meccanica totale di un oscillatore armonico è proporzionale al quadrato dell’ampiezza massima del moto: $E_{totale} = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mω^2A^2$.

Oscillazioni Smorzate e Forzate

• Oscillazione Smorzata: Se soggetta a forze dissipative, come l'attrito (con forza di resistenza proporzionale alla velocità, $\mathbf{F}_d = -b\mathbf{v}$), l'ampiezza $A$ diminuisce nel tempo e il moto è smorzato.

• Oscillazione Forzata: L'apporto periodico di energia (es. una forza esterna $\mathbf{F}(t) = F<em>0 \cos(ω</em>f t)$ può incrementare l'ampiezza dell'oscillatore. Esempio: spinta su un'altalena.

Effetto di Risonanza

• Si verifica quando l'apporto di energia è alla stessa frequenza propria del sistema ($ω<em>f = ω</em>0 = \sqrt{k/m}$), portando a enormi incrementi dell'ampiezza dell'oscillatore.

Leggi di Propagazione delle Onde

• Equazione di propagazione: Generalizzazione della legge di vibrazione della sorgente. La forma d'onda $S(x,t)$ è una soluzione dell'equazione delle onde: $\frac{\partial^2 S}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 S}{\partial t^2}$ per onde monodimensionali.

Intensità di un’Onda

• L'intensità dell'onda è la energia per unità di tempo attraverso unità di superficie:
  $I = \frac{P}{S}$.

Equazione di Propagazione di Onde Armoniche Semplici

• Un’onda armonica in una dimensione può essere descritta mediante:

  • $S(x,t) = A \sin(ωt - kx + φ)$

• Dove:

  • $A$: ampiezza,

  • $k = \frac{2π}{λ}$: numero d'onda angolare (o semplicemente numero d'onda),

  • $ω = 2πν$: pulsazione angolare (o semplicemente pulsazione),

  • $x$: posizione,

  • $t$: tempo.

  • La velocità di fase dell'onda è data da $v = \frac{ω}{k}$.

Generalizzazione nello Spazio Tridimensionale

• Vettore d’onda ($\mathbf{k}$):

  • Indica la direzione di propagazione dell’onda, con modulo proporzionale all’inverso della lunghezza d’onda: $|\mathbf{k}| = k = \frac{2π}{λ}$.

• Equazione generale (3D):

  • $S(\mathbf{r},t) = A \sin(ωt - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + φ)$

  • dove $\mathbf{r} = (x, y, z)$ è il vettore posizione.

Esercizi

• Esercizio di calcolo:

  • Un'onda percorre su una corda una distanza di $8~m$ in $0.05~s$:

  1. Calcolare la velocità: $v = \frac{x}{t} = \frac{8~m}{0.05~s} = 160~m/s$.

  2. Frequenza (se la lunghezza d'onda $λ = 0.6~m$): $ν = \frac{v}{λ} = \frac{160~m/s}{0.6~m} = 266.7~Hz$.

Onde Piane e Onde Sferiche

• Rappresentazione grafica dell'onda e principi di Huygens.

  • Per un'onda piana, $S(\mathbf{r},t) = A \sin(ωt - k<em>x x - k</em>y y - k<em>z z + φ)$, dove $\mathbf{k} = (k</em>x, k<em>y, k</em>z)$.

  • Per un'onda sferica, l'ampiezza diminuisce con la distanza dalla sorgente ($1/r$), e $S(r,t) = \frac{A_0}{r} \sin(ωt - kr + φ)$.

Principi Fondamentali nella Propagazione delle Onde

Principio di Malus

• I raggi rappresentano il cammino di propagazione dell’energia senza trasportare energia in direzioni tangenti. Questo principio afferma che i raggi sono sempre perpendicolari alle superfici d'onda di un'onda piana in mezzi isotropi.

Principio di Huygens

• Qualsiasi punto raggiunto da una superficie d’onda diventa sorgente di vibrazioni elementari (onde secondarie) che si propagano nel mezzo. La nuova superficie d'onda è l'inviluppo di queste onde secondarie.

Principio di Sovrapposizione delle Onde

• La somma vettoriale degli stati di vibrazione di più onde che si propagano simultaneamente in un mezzo. Per due onde $S<em>1$ e $S</em>2$, l'onda risultante è $S<em>{tot} = S</em>1 + S_2$. Questo principio è valido per la maggior parte delle onde in mezzi lineari.

Fenomeni di Riflessione e Rifrazione

• Riflessione: Si verifica quando un’onda incontra una superficie di separazione tra due mezzi.

• Leggi della Riflessione: L'angolo di incidenza ($\theta<em>i$) è uguale all'angolo di riflessione ($\theta</em>r$), cioè $\theta<em>i = \theta</em>r$. La riflessione avviene in un piano contenente il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie.

• Rifrazione: Quando un'onda passa da un mezzo a un altro, la sua velocità e la sua direzione cambiano. Descritto dalla Legge di Snell: $n<em>1 \sin \theta</em>1 = n<em>2 \sin \theta</em>2$, dove $n<em>1, n</em>2$ sono gli indici di rifrazione dei mezzi e $\theta<em>1, \theta</em>2$ sono gli angoli di incidenza e rifrazione rispetto alla normale.

• Riflessione totale: Si verifica quando un raggio incontrando un mezzo con un indice di rifrazione minore (n1 > n2) e con un angolo di incidenza maggiore dell'angolo critico ($\sin \theta<em>c = n</em>2/n_1$) riflette completamente.

Fenomeno di Interferenza

• Quando due o più onde coerenti interagiscono, portano a interferenze costruttive o distruttive.

  • Interferenza Costruttiva: Si verifica quando le onde sono in fase ($Δφ = 2mπ$), con ampiezza risultante massima.

  • Interferenza Distruttiva: Si verifica quando le onde sono in opposizione di fase ($Δφ = (2m+1)π$), con ampiezza risultante minima o nulla.

• Battimenti e Onde Stazionarie: Varie forme di interferenza che portano a nuove configurazioni ondulatorie.

Effetto Doppler

• Modificazione della frequenza percepita a causa del movimento della sorgente o dell'osservatore (come dettagliato nella sezione precedente).

• Frequenze percepite come eguali a quella della sorgente amplificate o ridotte a seconda del movimento relativo.

Riepilogo delle Grandezze Fisiche e Unitá di Misura