Examen 4.3 ESMA

Reglas de Probabilidad

Objetivo

• Comprender y aplicar las reglas de probabilidad.

Introducción

• La probabilidad se utiliza para medir la posibilidad de que ocurra un evento.

• En múltiples ocasiones, se busca determinar la probabilidad de eventos compuestos a partir de las probabilidades de eventos simples.

• Los eventos compuestos son combinaciones de más de un evento simple.

Conceptos Fundamentales

Probabilidad de que no ocurra un evento (“NO A”)

• La probabilidad de que un evento no ocurra se representa como P(A¯), donde A¯ es el complemento del evento A.

• Eventos complementarios:

  • Dado un evento A, su complemento, denotado como A¯, incluye todos los puntos muestrales en el espacio que no pertenecen a A.

• Ejemplos de eventos complementarios:

  • El complemento de “éxito” es “fracaso”.

  • El complemento de “votante seleccionado es republicano” es “votante seleccionado no es republicano”.

  • El complemento de “no caras” en 10 lanzamientos de moneda es “al menos una cara”.

Regla del complemento

• La relación entre la probabilidad de un evento y su complemento es:

  • $P(A) + P(A¯) = 1$

  • Por lo tanto:

  • $P(A¯) = 1 - P(A)$

• Esto es útil para calcular la probabilidad de “al menos uno” de un evento.

Ejemplo de probabilidad usando el complemento:

• Lanzamiento de dos dados:

  • Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea al menos 3?

  • Se puede calcular primero la probabilidad de que la suma sea 2, para luego usar la regla del complemento:

  • $P(A) = P(Suma = 2) = rac{1}{36}$

  • $P(Suma ext{ es al menos } 3) = 1 - P(A) = 1 - rac{1}{36} = rac{35}{36}$

Regla de la adición

• Dada la probabilidad de que ocurran dos eventos A y B:

  • $P(A ext{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A ext{ y } B)$

  • Otra notación:

  • P(A igcup B) = P(A) + P(B) - P(A igcap B)

Ejemplo de nueva encuesta:

• Encuesta a 800 votantes:

  • Total votantes:

  • Republicanos: 224

  • Demócratas: 526

  • Otros: 50

  • Total a favor: 464

  • Total en contra: 336

• Para un votante seleccionado al azar:

  • Calcular:

  • $P(a favor)$

  • $P(republicano)$

  • $P(a favor ext{ o } republicano)$

  • $P(a favor ext{ y } republicano)$

• Demostración de la regla de la adición:

  • $P(a favor ext{ o } republicano) = P(a favor) + P(republicano) - P(a favor ext{ y } republicano)$

Regla general de la multiplicación

• La probabilidad de que ocurren dos eventos A y B es:

  • $P(A ext{ y } B) = P(A) imes P(B|A)$

  • O también se puede escribir:

  • $P(B) imes P(A|B)$

  • P(A igcap B) = P(A) imes P(B|A)

  • P(B igcap A) = P(B) imes P(A|B)

Ejemplo de promesas de premios:

• Un jugador saca canicas de una caja con 2 canicas rojas y 4 azules:

  • Premios: $2 si las dos primeras son rojas, $5 si las tres son azules.

  • Calcular probabilidades:

  • $P(Ganar ext{ } 2) = P(R1) imes P(R2|R1) = rac{2}{6} imes rac{1}{5} = rac{1}{15} ext{ o aproximadamente } 0.067$

  • $P(Ganar ext{ } 5)$ debe calcularse de forma similar.

Resumen Importante

• La comprensión de las reglas de complemento, adición y multiplicación es fundamental para resolver problemas de probabilidad.

• Las probabilidades pueden ser calculadas de forma efectiva usando eventos complementarios para simplificar la solución.