Kapitel 39–41: Laplace-Transformation, Systemantworten, Frequenzbereich und Zustandsraum-Entwurf

39.1 Die Laplace-Transformation

Ziel der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik: Überführung von Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen, um Systeme im Frequenzbereich zu analysieren.
Grundprinzipien
- Für ein lineares zeitinvariantes System gilt $Y(s) = G(s) U(s)$ mit $G(s)$ als komplexe Übertragungsfunktion.
- Partielle Brüche ermöglichen die Zerlegung in einfache Residuen und Pole.
- Konjugiert komplexe Polpaare p1, p2 = p1^ liefern nach Rücktransformation sinusförmige oder kosinusförmige Zeitverläufe: $\tilde{r}1 e^{p1 t} + \tilde{r}2 e^{p2 t}$ mit $\tilde{r}2 = \tilde{r}_1^$ .
Repräsentationen konjugiert komplexer Pole
- Alternative Form (39.77): $\frac{\tilde{r}1}{s-p1} + \frac{ ilde{r}2}{s-p2}$ mit Residuen $\tilde{r}1, \tilde{r}2 = \tilde{r}_1^*$ .
- Nach Rücktransformation: $\tilde{r}1 e^{p1 t} + \tilde{r}2 e^{p2 t}$ .
Beispiel: Kosinus-Funktion aus Partialbruchzerlegung
- $s/(s^2+1)$ → Zerlegung in komplexe Brüche: $\frac{1}{2} \frac{s-j}{s^2+1} + \frac{1}{2} \frac{s+j}{s^2+1}$ → $y(t) = \cos t$ (Rücktransformationsregeln beachten).
Zentrale Zeitbereichsverläufe aus dem Zeitfenster
- Lage der Pole bestimmt den Typ der Zeitfunktion (abklingend, konstant, aufklingend, oszillierend).
Zustandsdarstellung und Transferfunktion
- Zustandsglg.: $\dot{x}(t) = A x(t) + b u(t), y(t) = c^T x(t)$ .
- Laplace-Transform: $s X(s) - x(0) = A X(s) + b U(s)$ ; $Y(s) = c^T X(s)$ .
- Lösung für $X(s)$ : $X(s) = (sI - A)^{-1} b U(s) + (sI - A)^{-1} x(0)$ .
- Übertragungsfunktion: $G(s) = Y(s)/U(s) = c^T (sI - A)^{-1} b$ .
- Symbolische Darstellung der Inversen: $(sI - A)^{-1} = \text{Ad}(sI - A)/\text{det}(sI - A)$ .
- Pol-Null-Stellen-Beziehung: Alle Pole von $G(s)$ sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\text{det}(sI - A) = 0$ ; Pole sind Eigenwerte von $A$ ; Kürzungen (Zählernullstellen) können auftreten, wodurch Pole wegfallen können.
Beispiel zur Bestimmung von $G(s)$ und Stabilität
- Gegebene Matrix $A$ , Vektor $b$ , $c^T$ ; Berechnung von $\text{det}(sI - A)$ und $(sI - A)^{-1}$ ; $G(s) = c^T (sI - A)^{-1} b$ .
- Bei Kürzungen (Durch $c^T$ und $b$ ) kann es zu Kürzungen kommen, z. B. eine Kürzung der Linearfaktoren $(s \pm 2)$ durch spezielle $c$ oder $b$ .
Matrix-Exponentials und Zeitverlauf
- $e^{A t}$ definiert durch die Potenzreihe: $e^{A t} = I + \frac{A t}{1!} + \frac{A^2 t^2}{2!} + \dots$ , Transitionsmatrix genannt.
- Wichtige Regeln: $e^{A t1} e^{A t2} = e^{A(t1+t2)}$ ; $\frac{d}{dt} e^{A t} = A e^{A t} = e^{A t} A$ .
Verifikation der Lösung im Zeitbereich
- Mit $x(t) = \int_0^t e^{A(t-\tau)} b u(\tau) d\tau + e^{A t} x(0)$ lässt sich $Ax(t) + bu(t)$ durch Differentiation nachweisen (39.114).
Impuls- und Sprungantwort im Zustandsmodell
- Impulsantwort $g(t) = c^T e^{A t} b$ .
- Sprungantwort $h(t) = \int_0^t g(\tau) d\tau$ , bzw. $y(t) = h(t)$ bei $u(t) = \sigma(t)$ .
- Endwert der Sprungantwort für stabile Systeme: $h(\infty) = G(0)$ (Endwertsatz).
- Anfangsverhalten: $h(t\to0^+) = G(\infty)$ (für beschränkte Ordnung der Partialbrüche).
Beispiel: Impulsantwort eines 2x2-Zustandsraummodells
- Beispiel-A Matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -2 \end{bmatrix}$ (dieses Beispiel dient der Illustration); $g(t) = c^T e^{A t} b$ ; $e^{A t}$ ist hier diagonal: $\text{diag}(e^{t}, e^{-2t})$ .
Zusammenfassung der Kernpunkte
- $G(s)$ fester Zusammenhang: $G(s) = c^T (sI - A)^{-1} b$ .
- Polstellen der Übertragungsfunktion stimmen mit Eigenwerten von $A$ überein; nicht alle Eigenwerte müssen Pol von $G(s)$ sein, je nach Zähler.
- Die Laplace-Transformation bietet eine Brücke zwischen Zeit- und Frequenzverhalten und ist Grundlage für Impuls- und Sprungantwort, Faltung, sowie die Bestimmung von Übertragungsfunktionen.

39.2 Systemantworten und Stabilität

Impulsantwort und Impulsverhalten
- Impulsantwort $g(t)$ eines LZI-Systems: $g(t) = c^T e^{A t} b$ .
- Übertragungsfunktion $G(s) = Y(s)/U(s) = c^T (sI - A)^{-1} b$ .
- Falls $G(s)$ eine R-Glied-Darstellung hat: $G(s) = \sum{i=1}^n ri/(s - pi)$ … → $g(t) = \sum ri e^{p_i t}$ .
Zusammenhang Sprungantwort/Impulsantwort
- Sprungantwort $h(t) = \int_0^t g(\tau) d\tau$ ; $g(t) = \frac{d h(t)}{d t}$ .
Dominanz von Polen
- Dominante Pole liegen nahe der imaginären Achse; verursachen langsam abklingende Beiträge; nicht dominante Pole liegen weiter links und klingen schneller ab.
Impulsantwort mit diagonaler A
- Falls $A$ diagonal, $e^{A t}$ hat Form $\text{diag}(e^{a1 t}, \dots, e^{an t})$ ; $g(t)$ erhält damit klare $e^{a_i t}$ -Beiträge.
Endwert- und Instabilitätskriterien
- Endwertsatz: $y(\infty) = \lim_{s\to0} s Y(s)$ .
- Endwert für Sprung: $h(\infty) = G(0)$ .
- Stabilitätssatz: asymptotische Stabilität (Zustandssystem $\dot{x} = A x + b u, y = c^T x$ ) ist gegeben, wenn alle Eigenwerte von $A$ in der linken Halbebene liegen (LHP).
- Übertragungsstabilität (BIBO) ist gegeben, wenn alle Pole von $G(s)$ in der linken Halbebene liegen; Pol-Null-Kürzungen können auftreten.
Beispiel zur Stabilität und Übertragungsstabilität
- $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 4 & 0 \end{bmatrix}$ , $b = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}^T$ , $c^T = (c, 1)$ .
- char. Polynom $\text{det}(sI - A) = s^2 - 4 = (s-2)(s+2)$ . Eigenwerte $\pm2$ .
- $G(s) = c^T (sI - A)^{-1} b = (s + c)/((s-2)(s+2))$ ; Pole bei $\pm2$ ; Kürzung möglich bei bestimmten $c$ (z. B. $c = 2$ oder $c = -2$ ).
Praktische Hinweise
- Die Umwandlung in den Zeitbereich (39.111–39.115) verifiziert die Lösungen durch Einsetzen in $\dot{x} = A x + bu$ .
- Die Matrix-Exponentials sind entscheidend für die Berechnung der Systemantwort im Zeitbereich.

39.3 Pole, Nullstellen, Modellreduktion und Identifikation

Pole und Nullstellen
- Pole: Nullstellen des Nennerpolynoms $\text{det}(sI - A)$ – identisch mit Eigenwerten der Matrix $A$ .
- Nullstellen: Nullstellen des Zählerpolynoms $Z(s) = c^T \text{Ad}(sI - A) b$ .
- Pol-Null-Kürzungen: Kürzungen können auftreten; bei Kürzung von Nenner-Nullstellen durch den Zähler kann sich die Systemantwort verändern.
Dominanz der Pole und Nullstellen
- Dominante Pole bestimmen maßgeblich die Gestalt der Systemantwort; Nullstellen beeinflussen die Form der Sprungantwort; Nullstellen können Blockier-Effekte (Blockiereigenschaften) erzeugen, z.B. bei bestimmten Frequenzen.
Allpass-Glieder und Wirkung rechts gelegener Nullstellen
- Allpass-Glied $G_3(s) = -(Ts - 1)/(Ts + 1)$ lässt Dauerschwingungen passieren; rechts gelegene Nullstellen beeinflussen die Sprungantwort signifikant.
Totzeitglieder und Padé-Approximation
- Totzeitglied: $y(t) = u(t - Tt)$ ; $G(s) = e^{-s Tt}$ .
- Padé-Approximationen für Totzeit: $G(s) \approx$
- PTn-Glied (Zählergrad $n$ , Nennergrad $n$ ) bzw. Padé-Approximationen der Ordnung $n$ mit Zählergrad $n$ bzw. $n-1$ , die die Verschiebungsgleichung im Zeitbereich nachbilden.
Modellreduktion
- Dominante Pole behalten; Nicht-dominante Pole entfernen, um eine einfachere Modelldarstellung zu erhalten.

39.4 Frequenzgang und Bode-Diagramm

Harmonische Anregung und Frequenzgang
- Bei $u(t) = \sin(\omega t)$ ist $Y(s) = G(s) U(s)$ ; für $U(s) = \omega/(s^2+\omega^2)$ folgt eine Impuls-/Dauerschwingungs-Ansammlung.
- Partialbruchzerlegung von $Y(s)$ führt zu $y(t) = yG(t) + yD(t)$ , wobei $yG(t)$ die Zeitkomponente von Polen des $G(s)$ darstellt und $yD(t)$ eine Dauerschwingung aufgrund der imaginären Pole von $U(s)$ ist.
Ergebnis der harmonischen Regelung
- Die Dauerschwingung bei $\omega$ wird durch $yD(t)$ bestimmt, während $yG(t)$ abklingt, wenn $G(s)$ stabil ist.
- Zusammenhang in kompakter Form: $y(t) = \text{Re}{G(j\omega) |G(j\omega)| e^{j(\omega t+\angle G(j\omega))}} + \text{abklingen}$ , wobei $G(j\omega) = |G(j\omega)| e^{j \angle G(j\omega)}$ .
Typische Übertragungsglieder und deren Frequenzverhalten
- PT1-Glied: $G(s) = K/(1+Ts)$ ; Amplitude $|G(j\omega)| = K/\sqrt{1+(\omega T)^2}$ ; Phasenverschiebung $\angle G(j\omega) = -\arctan(\omega T)$ .
- PT2-Glied: $G(s) = K/(1+2dTs+T^2 s^2)$ ; Frequenzgang komplex; Eckfrequenz $\omega0 = 1/T$ ; Dämpfung $d$ bestimmt Resonanz $\omegar$ und Eigenfrequenz $\omega_e$ .
- Totzeit ( $e^{-sTt}$ ) hat Betrag $1$ über alle $\omega$ ; Phase $-\omega Tt$ .
- PD-, PI-, PID-Regler: Bode-Diagramme zeigen, wie Reglerparameter Phasen- und Amplitudenreserven beeinflussen.
Bode-Diagramm und Kenngrößen
- Betragskennlinie $|G(j\omega)|$ in dB: $20 \log_{10} |G(j\omega)|$ ; Phasenkennlinie $\angle G(j\omega)$ .
- Eckfrequenz $\omega0$ markiert Übergang von passiven zu dynamischen Eigenschaften; Resonanz $\omegar$ und Eigenfrequenz $\omega_e$ beschreiben Unterschied zwischen Maximalauslenkung und schwingendem Verhalten.
- Zusammenhang der Frequenzganganalyse mit Modellidentifikation und -entwurf (Rausch- und Rauschverhalten berücksichtigen).
Wichtige lineare Übertragungsglieder (Kurzüberblick)
- Proportionalglied P: $y = K u$ .
- Integralglied I: $y = K \int u dt$ ; $G(s) = K/s$ ; Phasenverschiebung $90^{\circ}$ .
- Differenzierglied D: $y = K du/dt$ ; $G(s) = Ks$ ; Phasenverschiebung $90^{\circ}$ .
- Totzeitglied: $Y(s) = e^{-sT_t} G(s) U(s)$ .
- PT1-, PT2-Glieder; Allpass-Glieder; PD-, PID-Regler; Lead/Lag-Korrekturen.
Wesentliche Aussagen zum Frequenzverhalten
- Tiefpass-Charakter vieler Übertragungsglieder (PT1, PT2) – $|G(j\omega)|$ fällt bei hohen $\omega$ .
- Hochpass-Charakter (D-Glied, Totzeit) – Phasenveränderungen und Richtungen beachten.
Wichtige Formel-Hinweise
- $G(j\omega)$ und $\varphi(\omega)$ geben Amplitude und Phasenverschiebung an; der Zusammenhang $G(j\omega) = |G(j\omega)| e^{j \angle G(j\omega)}$ wird genutzt, um Dauerschwingungseigenschaften zu beschreiben.
- Phasenreserve $\phir$ und Amplitudenreserve $Ar$ sind Kennwerte der Robustheit der Stabilität.

40 Entwurf im Frequenzbereich – Stabilität und gutes Einschwingen erreichen

40.1 Der Standardregelkreis

Standardaufbau: Regelstrecke $G(s)$ vor dem Störeingriff, $G1(s)$ ; hinter dem Störeinfluss $G2(s)$ ; Regler $R(s)$ so zu wählen, dass das geschlossene System gut reagiert.
Gesamter offener Kreis $Fo(s) = G(s) R(s)$ , geschlossener Kreis: $Y(s) = \frac{Fo(s)}{1+Fo(s)} W(s) + \frac{1}{1+Fo(s)} Z(s)$ .
Führungs- und Störübertragungsfunktionen
- Führungsübertragungsfunktion $T(s) = Fo(s)/(1+Fo(s))$ .
- Störübertragungsfunktion $S(s) = 1/(1+F_o(s))$ .
- Beziehung $T(s) + S(s) = 1$ .
Offener Kreis im Frequenzbereich: $F_o(s) = G(s) R(s)$ .
Grundannahme: $Fo(s)$ stabil, $\lim{s\to\infty} F_o(s) = 0$ (Nennergrad > Zählergrad).
Zielkriterium: Stabilität des geschlossenen Kreises über $F_o(s)$ und dessen Polstellen.

40.2 Regelkreisstabilität und Robustheit der Stabilität

Stabilitätseigenschaften des Standardregelkreises ( $F_o(s) = G(s) R(s)$ ):
asymptotische Stabilität, Übertragungsstabilität, Robustheit gegenüber Modelländerungen.
Stabilitätskriterien über den offenen Kreis $F_o(s)$ :
- Pol-Null-Kürzungen im $F_o(s)$ beeinflussen $S(s)$ und $T(s)$ ; diese müssen berücksichtigt werden.
- Kriterium 2a: asymptotische Stabilität des Zustandsmodells $\dot{x} = A x + b u, y = c^T x$ bedeutet, dass alle Eigenwerte von $A$ in der linken Halbebene liegen.
- Kriterium 2b: Asymptotische Stabilität übertragungsseitig: Nenner $N(s) = \text{det}(sI - A)$ ; die Pole der Übertragungsfunktion liegen in der linken Halbebene, d. h. alle $n$ Systempole müssen links liegen; hierbei darf es keine Pol-Null-Kürzungen geben.
Nyquist-Kriterium (Allgemein und Einfach): $Fo(s) + 1 = 0$ als Bedingung; Nyquist-Ortskurve $Fo(j\omega)$ wird genutzt, um Stabilität zu prüfen.
Beispiel: asymptotische vs. übertragungsstabile Fälle; Kürzung eines Residuen kann zu Übertragungsspannungen führen, die Stabilität beeinflussen.
Erweiterte Nyquist-Variante: Fahrstrahl $d$ , der die Abbildung $Fo(s) \to \tilde{F}o(s)$ verbindet; das einfache Nyquist-Kriterium ist der Spezialfall; das allgemeine Nyquist-Kriterium nutzt das Phasen-/Winkelverhalten des Fahrstrahls.
Phasen- und Amplitudenreserve ( $\phir$ und $Ar$ ) und deren Bedeutung für Robustheit und Stabilität.
Wasserbett-Regel: Verhältnis zwischen Verbesserung des Störverhaltens in bestimmten Frequenzbereichen und Verschlechterung in anderen; die integrierte Bilanz (Bode-Theorem) regelt die Gesamtverschiebung der Reglerwirkung.

40.3 Anforderungen an das Regelverhalten

Robuste Stabilität: Phasen-/Amplitudenreserve und Nyquist-Abstand vom kritischen Punkt $-1$ sind wichtig; Robustheit gegen Modellunsicherheiten.
Dynamik: schneller Einschwingvorgang, aber ausreichende Dämpfung; Zielkonflikte zwischen Robustheit und Dynamik.
Stationäre Genauigkeit: Integration von Integratoren (I-Glied), um stationäre Regelabweichung bei konstanten Störungen zu eliminieren; I-Glied erhöht jedoch Risiko von Instabilität durch Phasenführung.
Stellgrößenbegrenzungen: Berücksichtigung physikalischer Grenzen (max. Stellgrößen); oft Kompromisse nötig.
Die Nyquist-Analyse ermöglicht eine Beurteilung der Robustheit, d. h. wie nah $Fo(j\omega)$ an $-1$ kommt; Phasenreserve $\phir \ge 60^{\circ}$ und $A_r \ge 2$ gelten als Faustregeln für gute Robustheit.
Throughput: $\omegac$ (Durchtrittsfrequenz) als Kennwert für gewünschte Störunterdrückung; es gilt, dass Störungsschutz in der Regel bei niedrigen Frequenzen besser gelingt; hoher $\omegac$ erhöht Reaktionsgeschwindigkeit, aber kann Rauschempfindlichkeit erhöhen.

40.4 Grundtypen linearer Regler

P-Regler: $u(t) = K_R e(t)$ ; einfache Implementierung; volles stationäres Verhalten nicht garantiert, sofern $G(s)$ kein integrierendes Glied enthält.
I-Regler: $u(t) = KI \int e(\tau) d\tau$ ; $G(s) = KI/s$ ; erhöht stationäre Genauigkeit, kann jedoch die Dynamik verschlechtern.
PI-Regler: $R(s) = KI s + KR$ ; oder $R(s) = KR (1 + 1/(TR s))$ ; robuster Kompromiss zwischen Dynamik und stationärer Genauigkeit.
D-Regler: PD-Regler $R(s) = KD s + KP$ ; idealer D-Anteil führt zu hohen Frequenzen; reale Umsetzung oft mit $TN$ zur Reduktion der Hochfrequenzempfindlichkeit: $R(s) = (KP + KD s)/(1 + TN s)$ .
PID-Regler: $R(s) = KI s (1 + T{R1} s)(1 + T{R2} s) / (1 + TN s)$ ; Kombination aus P-, I-, D-Anteilen; hohe Dynamik, aber potenzielle Störverstärkung.
Lead-Lag-Korrekturen (Phasenführung/Phasenabsenkung) zur Optimierung von Phasenreserve und Durchtrittsfrequenz.
Typische Entwurfsphasen: Bestimmung von $TR, TN, KP, KI, KD$ basierend auf Zielgrößen wie $\omegac, \phir, Ar$ ; Balance zwischen Störunterdrückung und Robustheit.
Beispiel-Setups: Reglerentwürfe für Positionier- oder Geschwindigkeitsregelkreise; Einsatz von Lead-Gliedern, Lag-Gliedern, oder kombinierte PID-Strukturen; Zwei-Freiheitsgrade-Regelung (Steuerung und Führungsgröße) zur getrennten Optimierung von Reglerverhalten und Führungsverhalten.

40.5 Regelungsentwurf im Bode-Diagramm

Nutzung des Bode-Diagramms zur grafischen Entwurfunterstützung.
Lead-Glied (Phasenhub): $R{\text{korr}}(s) = (1 + TD s)/(1 + TV s)$ mit TD > T_V; phasenanhebend, erhöht Durchtrittsfrequenz, aber erhöht Stellgrößenauslastung.
Lag-Glied (Phasenabsenkung) $R{\text{korr}}(s) = (1 + TD s)/(1 + TV s)$ mit TD < T_V; phasenabsenkend, Erhöhung der niedrigen Frequenzverstärkung, ohne Phasenreserve stark zu verringern.
Beispiel-Design: zwei PI-Regler; Lead-/Lag-Korrekturen einsetzen, um $\phir$ auf ca. $60^{\circ}$ zu erhöhen und $\omegac$ zu verschieben; Balancierung von $A_r$ .
Praktische Hinweise: bei dominanten Polen der Strecke sollten Reglerparameter so gewählt werden, dass $Fo(j\omega)$ die Durchtrittsfrequenz $\omegac$ optimal beeinflusst, ohne die Robustheit zu gefährden.

40.6 Gütekriterien und optimale Regelung

Integralkriterien (Regelgüte-Parameter):
- IAE: $\int |e(t)| dt$ ;
- ITAE: $\int t |e(t)| dt$ ;
- ISE: $\int e(t)^2 dt$ .
Quadratische Gütemaße (LQR, Riccati-Regelung): Minimierung eines gewichteten Quadrats von Zuständen und Stellgrößen; robuste Zustandsschätzung (z. B. Kalman-Filter) möglich.
H∞-Entwurf: Maximierung der Robustheit durch Frequenzbereichsoptimierung; Ziel: Minimierung von Worst-Case-Güten über Frequenzen; Nutzen von $W(j\omega)S(j\omega) \le 1$ Bedingungen.
Zweckmäßige Güte-Standards: Stabilität, Robustheit, angemessene Stellgröße, minimale Überschwingweite, kurzes Einschwingverhalten; oft wird eine Kombination aus zeit- und frequenzbereichsbasierten Kriterien verwendet.

40.7 Erweiterte Regelungsstrukturen

Störgrößenaufschaltung (Feed-forward zur Störung): z. B. $z(t)$ vor der Strecke; Idealfall: $FA(s) = -1/G1(s)$ ; realisierungsnah mit PTn-Glied.
Vorsteuerung (Feed-forward) zur Führungsnachführung: $V(s)$ als Vorsteuerglied; $y_{\text{soll}}(t) \approx w(t)$ durch geeignete Vorsteuerung generieren.
Zwei-Freiheitsgrade-Regelung (G'-Struktur): Führungsmöglichkeiten durch Vorsteuerung, während der Standardregelkreis Störverhalten reduziert; kombinierte Struktur ermöglicht bessere Reproduzierbarkeit von Führungs- und Störverhalten.
Kaskadenregelung: innere Schleife wird geregelt, äußere Schleife nutzt innere Ergebnisse; ermöglicht robustere Störunterdrückung und Führungsverhalten.
Dynamische Vorsteuerung (Verwendung eines Modells der Strecke) zur Regelung des Führungsverhaltens unabhängig vom Störverhalten.

41 Entwurf im Zustandsraum – alle Systemgrößen einbeziehen

41.1 Konstante Zustandsrückführung und Vorsteuerung

Ausgangspunkt: Zustandsgleichung $\dot{x} = A x + b u, y = c^T x$ ; Vorsteuerung $u(t) = r^T e(t) + \mu w(t)$ mit $e(t) = x{\text{soll}}(t) - x(t)$ und $x{\text{soll}} = m_x w(t)$ .
Annahmen: $m_x$ ist ein ( $n\times1$ )-Vektor, $r^T$ ein ( $1\times n$ )-Vektor, $\mu$ eine Konstante.
Stationäre Forderungen (bei $w(t)$ konstant): $y = w$ , $x = x_{\text{soll}}$ ; daraus resultieren zwei Gleichungen, um $y = w$ zu lösen
- $c^T m_x = 1$ ;
- $(A x{\text{soll}} + b \mu w = 0)$ → $A x{\text{soll}} + b \mu w = 0$ .
Dynamische Anforderung: $\dot{x} = (A - b r^T) x + b \mu w$ ; Stabilität erfordert, dass die Eigenwerte von $A - b r^T$ in der linken Halbebene liegen.
Koeffizientenvergleich zur Festlegung von $r^T$
- Das Polynom $\text{det}(sI - A + b r^T) = s^n + c{n-1}(r) s^{n-1} + \dots + c0(r)$
- Vergleich mit Zielpolynom $P(s) = (s - p1)\dots(s - pn) = s^n + a{n-1} s^{n-1} + \dots + a0$
- $ci(r) = ai$ für $i = 0,\dots, n-1$ ; so erhält man $n$ Gleichungen für $r1,\dots, rn$ .
Beispiel: $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 4 & 0 \end{bmatrix}$ , $b = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}^T$ , $c^T = (c, 1)$
- Lösung für $r1, r2, m_x, \mu$ ; Vorsteuerung führt zu einer gewünschten geschlossenen Kreisstruktur.
Führungsübertragungsfunktion $G{wy}(s) = Y(s)/W(s) = c^T (sI - Ar)^{-1} br$ , wobei $Ar = A - b r^T$ und $br = b (r^T mx + \mu)$
Vorteil: vollständige Kontrolle über Dynamik durch Vorgabe der Systempole; stationäre Genauigkeit oft durch Führungszustände erzeugbar.

41.2 Zustandsbeobachtung

Falls nicht alle Zustände gemessen werden: Einsatz eines Luenberger-Beobachters
- Beobachtergleichung: $\dot{\hat{x}} = A \hat{x} + b u + k (y - \hat{y}), \hat{y} = c^T \hat{x}$ .
- Schätzfehler $\tilde{x} = x - \hat{x}$ folgt der Linear-Differentialgleichung $\dot{\tilde{x}} = (A - k c^T) \tilde{x}$ ; Stabilität hängt von der Platzierung der Beobachterpole (Matrix $k$ ) ab.
Koeffizientenvergleich zur Platzierung der Beobachterpole
- $\text{det}(sI - A + k c^T) = s^n + c{n-1}(k) s^{n-1} + \dots + c0(k) = P(s) = \prod (s - p_i)$
- Bestimmte Werte von $k$ setzen, dass die gewünschten Beobachtereigenwerte $p_i$ real oder komplex sind.
Arbeiten mit Zustandsrückführung + Beobachter
- Kombination aus $r^T$ und Beobachter liefert zwei Sätze von Polen; Gesamtsystem hat $2n$ Pole; Beobachter verhindert das Wegfallen der Beobachterparameter aus dem Gesamtsystem.

41.3 Dynamische Vorsteuerung

Dynamische Vorsteuerung baut auf einem Modell der Strecke auf (mit Zustandsrückführung) und erzeugt eine Sollgröße $\hat{y}_{\text{soll}}(t)$ . Das Führungsverhalten wird über das Modell bestimmt, unabhängig vom Störverhalten.
Vorteile: Führungsvorsteuerung unabhängiger gestalten; beim Einsatz eines Modells der Strecke kann $\hat{y}_{\text{soll}}(t)$ nahezu voreilig dem Führungsverhalten entsprechen.

41.4 Konstante und dynamische Störgrößenaufschaltung

Falls Störung $z(t)$ gemessen werden kann, kann deren Einfluss über eine Störgrößenaufschaltung gemindert werden.
Störgrößenaufschaltung im Zustandsraum: $u(t)$ wird zusätzlich durch eine Störgrößenaufschaltung beeinflusst; das Systemverhalten hängt von Zählern und Nenner der jeweiligen Blöcke ab; $G_{z\bar{y}}(s) = c^T (sI - A)^{-1} \bar{e} Z(s)$ ist entscheidend.
Dynamische Störgrößenaufschaltung: Modell der Strecke inklusive Störungen als Teil eines Vorsteuerungs- bzw. Regler-Systems; Ziel: Störgrößenwirkung minimieren; Einsatz von Beobachtern, um Störsignale abzuleiten.

41.5 Ausblick und Beispiele

Zustandsregelung mit Beobachter ist in Industrie- und Forschungsanwendungen weit verbreitet; Vorteile: gezielte Kontrolle über Systemdynamik; robuste Stabilität abhängig von Polplatzierung.
Nichtlineare Erweiterungen: Zustandsregelung kann auf nichtlineare Systeme übertragen werden (Ein-/Ausgangslinearisierung, LQR, H∞).
Digitale Realisierung: Diskretisierung von Zustandsmodellen; Übergangs- oder Transitionsmatrix $\Phi = e^{A T}$ ; Diskretisierung mittels Euler- oder Tustin-Transformation; der diskrete Regler kann rekursiv implementiert werden.

41.6 Nichtlineare Zustandsregelung durch Ein-/Ausgangslinearisierung

Motiviert durch Pendelbeispiel: Nichtlineare Zustandsgleichungen mit Sinusgliedern werden durch ein Reglergesetz so modifiziert, dass eine lineare Ein-/Ausgangsbeziehung entsteht.
Vorgehen (allgemein): gegebene Streckenbeschreibung $\dot{x} = a(x) + b(x) u, y = c(x)$ ; $y$ wird mehrfach abgeleitet bis $u$ erscheint; Vergleich mit einer gewünschten Differentialgleichung führt auf $u = \frac{ -cq(x) - a{q-1} c{q-1}(x) - \dots - a0 y + a0 w }{ bq(x) }$ .
Ergebnis: linearisiertes Führungsverhalten $y \leftrightarrow w$ ; der relative Grad $q$ ist typischerweise $\le n$ (Ordnung). Interne Dynamik bleibt nichtlinear; bei $q = n$ (vollständige Ein-/Ausgangslinearisierung) ist oft stabile Regelung möglich.

41.7 Digitale Realisierung

Digitale Regler realisieren zeitdiskrete Algorithmen; der Abtastzeitraum $T$ muss klein gewählt werden; der Reglerläufer wird periodisch durch A/D-Wandler (AD) erfasst und durch D/A-Wandler (DA) ausgegeben.
Übergang von kontinuierlicher zu diskreter Zeit: der Transitions- oder Übergangsoperator $e^{A T}$ wird eingesetzt; rekursiver Zustandstransfer $x{k+1} = \Phi xk + \beta u_k$ ;
- $\Phi = e^{A T}$ , $\beta = \int_0^T e^{A (T - \tau)} b d\tau$ .
Diskrete Zustandsdarstellung eignet sich hervorragend als Basis für Reglerentwürfe im Zeitbereich (Riccati, LQR) oder im Frequenzbereich (Nyquist, H∞) in diskreter Form.

Wichtige Konzepte und Formeln (Kompakt)

Übertragungsfunktion im Zustandsspace:
$\quad G(s) = c^T (sI - A)^{-1} b.$
Charakteristisches Polynom und Eigenwerte:
$\quad \text{det}(sI - A) = 0 \text{ (Charakteristische Gleichung)} \implies \text{Eigenwerte von A}.$
Matrixexponential und Transitionsmatrix:
$\quad e^{A t} = I + \frac{A t}{1!} + \frac{A^2 t^2}{2!} + \frac{A^3 t^3}{3!} + \dots \\quad e^{A t1} e^{A t2} = e^{A (t1 + t2)}.$
Impulsantwort und Sprungantwort:
$\quad g(t) = c^T e^{A t} b, \quad h(t) = \int_0^t g(\tau) d\tau, \quad g(t) = \frac{d}{dt} h(t).$
Endwertsatz (Steady-state):
$\quad y(t \to \infty) = h(t \to \infty) = G(0).$
Nyquist-Kriterium (einfach): $Fo(j\omega)$ kreist um $-1$ ; Stabilität ergibt sich, wenn $-1$ links der Nyquist-Ortskurve $Fo(j\omega)$ liegt.
Allgemeines Nyquist-Kriterium (Fahrstrahl): Winkeländerung $\Delta$ des Fahrstrahls muss über $\omega$ von $0$ nach $\infty$ bestimmte Werte treffen, abhängig von $qa$ und $qr$ .
Stör- und Führungsverhalten im Frequenzbereich: $T(s) = Fo/(1+Fo)$ , $S(s) = 1/(1+F_o)$ ;
Reglerklassen – Grundkonzepte (P, PI, PD, PID) und Lead/Lag-Korrekturen
Zwei-Freiheitsgrade-Regelung: Führungs- und Störverhalten getrennt gestalten; Vorsteuerung; inner-/äußere Schleife.
Zustandsregelung: $\dot{x} = A x + b u$; $y = c^T x$ ; $u = r^T e + \mu w$ ; $e = x_{\text{soll}} - x$ ; Pole des geschlossenen Regelkreises durch $A - b r^T$ platziert.
Koeffizientenvergleich zur Platzierung der Eigenwerte eines Reglers $r^T$ :
$\text{det}(sI - (A - b r^T)) = s^n + c{n-1} s^{n-1} + \dots + c0$
; Koeffizientenvergleich mit Zielpolynom $P(s) = \prod (s - pi)$ liefert die $ri$ .
Zustandsbeobachter (Luenberger): $\dot{\hat{x}} = A \hat{x} + b u + k (y - \hat{y})$ ; $\hat{y} = c^T \hat{x}$ ; $\dot{\tilde{x}} = (A - k c^T) \tilde{x}$ ; Platzierung der Beobachterpole.
Diskrete Realisierung: Transition Matrix $\Phi = e^{A T}$ , diskreter Eingangsvektor $\beta$ ; $x{k+1} = \Phi xk + \beta uk$ ; $yk = c^T x_k$ .

Hinweis zur Nutzung der Formeln: In den Notizen wurden zentrale Gleichungen aus dem Transcript übertragen, um den Kern der Lehrinhalte zu erfassen. Detaillierte Rechenwege zu jedem gezeigten Beispiel (insbesondere längere Partialbruchzerlegungen, Explizit-Implementation von Lead/Lag-Gliedern und konkrete Parameterwerte) finden sich im Originaltext.

Verweise auf weiterführende Themen (Ausblick): Nichtlineare Zustandsregelung (41.6), digitale Realisierung (41.7), und Erweiterte Regelungsstrukturen (40.x, 41.x) bieten eine Brücke zu fortgeschrittenen Modellierungs- und Identifikationsaufgaben, inklusive H∞-Entwurf, Kalman-Filter, und moderne Regelungsarchitekturen in Industrieanwendungen.
Relevanz und Realwelt-Bezug: Die vorgestellten Konzepte (Laplace-Transformation, Dominanz der Pole, Nyquist- und Bode-Analysen, Zustandsregelung, Vorsteuerung, Beobachter) bilden die Grundlage für Stabilitäts- und Leistungsnachweise in mechanischen, elektrischen, mechatronischen Systemen, etwa in Regelkreisen von Fahrzeugen, Robotik, Luft- und Raumfahrt, und industriellen Automatisierungssystemen.
Ethik/Philosophische Implikationen: Die Wahl von Reglerparametern spiegelt technologische Entscheidungen wider, die Sicherheit, Robustheit und Zuverlässigkeit beeinflussen; robuste Designs mindern Risiken, aber verlangen oft Kompromisse zwischen Geschwindigkeit, Genauigkeit und Kosten. In der Praxis müssen Modelle regelmäßig validiert und gegen reale Umweltbedingungen getestet werden.