Traitement du Signal - Pr. Mustapha El Alaoui

Cette série de flashcards couvre les concepts fondamentaux du traitement du signal, incluant la classification des signaux, l'analyse de Fourier, l'échantillonnage, la quantification, et la synthèse des filtres analogiques et numériques.

Traitement du signal

Discipline fondamentale visant à élaborer et interpréter des signaux porteurs d'informations pour en extraire le maximum d'informations utiles d'un signal perturbé par du bruit.

Signal

Représentation de l'information relative à une grandeur physique qui évolue dans le temps (ex: signaux électriques, acoustiques, biomédicaux, visuels).

Bruit

Toute interférence indésirable ou phénomène perturbant la perception ou l'interprétation d'un signal, pouvant masquer l'information transportée.

Capteur ou Transducteur

Dispositif qui convertit une grandeur physique (lumière, température, pression) en un signal électrique proportionnel à cette variation.

Signal Analogique

Signal défini pour n'importe quel instant $t$ dont la valeur peut varier continûment dans un intervalle spécifique, généralement entre $-V_{\text{max}}$ et $+V_{\text{max}}$.

Rapport Signal/Bruit (SNR)

Mesure de la qualité d'un signal calculée par le rapport des puissances du signal utile $P_s$ et du bruit $P_b$, exprimée par $\text{SNR}_{\text{dB}} = 10 \times \text{log}(\frac{P_s}{P_b})$.

Signal Monodimensionnel (1D)

Signal qui ne dépend qu'un seul paramètre, comme la tension électrique $v(t)$ en fonction du temps.

Signal Déterministe

Signal dont l'amplitude peut être déterminée pour chaque valeur du temps grâce à une description mathématique ou graphique.

Signal Aléatoire

Signal dont l'évolution est imprévisible et dont l'amplitude à un temps donné ne peut pas être prédite, seules ses propriétés statistiques (moyenne, écart-type) sont connues.

Signal à Énergie Finie

Signal ayant une puissance moyenne nulle, généralement observé pour une grandeur physique avec un support borné.

Signal à Énergie Infinie

Signal ayant une puissance moyenne finie, typiquement le cas des signaux périodiques.

Classification Morphologique

Classification distinguant les signaux selon la continuité ou la discrétisation du temps et de l'amplitude (analogiques, quantifiés, échantillonnés, numériques).

Fonction Paire

Une fonction réelle est paire si, pour tout $t \text{ } \boldsymbol{\rm \tiny \text{R}}$, on a $f(-t) = f(t)$.

Fonction de Heaviside (Échelon)

Primitive de l'impulsion de Dirac, notée $u(t)$, définie par $u(t) = 0$ pour $t < 0$ et $u(t) = 1$ pour $t > 0$.

Fonction rampe

Primitive de l'échelon unitaire, définie par $r(t) = t \times u(t)$, représentant une grandeur qui augmente de manière linéaire pour $t \text{ } \boldsymbol{\rm \tiny \text{ ≥ } } 0$.

Fonction sinus cardinal

Fonction définie par l'expression $\text{sinc}(t) = \frac{\text{sin}(\text{π}t)}{\text{π}t}$, qui converge vers $1$ lorsque $t$ tend vers $0$.

Impulsion de Dirac

Fonction porte $\text{δ}(t)$ dont la largeur $T$ tend vers $0$ et dont l'aire totale est égale à $1$.

Peigne de Dirac

Succession périodique d'impulsions de Dirac de période $T$, utilisé principalement comme fonction d'échantillonnage.

Fréquence

Inverse de la période ($f = \frac{1}{T}$), elle représente le nombre de répétitions d'un phénomène périodique par seconde, mesurée en hertz ($Hz$).

Décomposition en Série de Fourier (DSF)

Technique permettant d'exprimer un signal périodique sous la forme d'une combinaison linéaire de signaux sinusoïdaux (sinus et cosinus).

Transformée de Fourier (TF)

Outil mathématique pour les signaux non périodiques qui fournit les informations fréquentielles via une fonction complexe $X(f)$ composée d'un spectre d'amplitude et de phase.

Théorème de Parseval

Loi stipulant que la transformée de Fourier conserve l'énergie du signal entre le domaine temporel et le domaine fréquentiel.

Bruit blanc

Signal aléatoire théorique contenant toutes les fréquences avec une représentation fréquentielle plate, ce qui impliquerait une énergie infinie.

Autocorrélation

Opération réalisant une comparaison entre un signal $x(t)$ et ses copies retardées pour mesurer la similitude de forme et de position.

Produit de convolution

Opération mathématique ($f(t) \times g(t)$) reliant la sortie d'un système à son entrée et à sa réponse impulsionnelle, définie par \text{y}(t) = \text{∫}_{-\text{∞}}^{+\text{∞}} \text{x}(\text{τ}) \text{h}(t - \text{τ})d\text{τ}.

Système stable

Un système est stable si sa réponse impulsionnelle est intégrable, garantissant une sortie bornée pour une entrée bornée.

Bande passante (BP)

Intervalle de fréquences où un filtre laisse passer les signaux avec un gain $G(f)$ supérieur à une référence donnée, par exemple $-3\text{ dB}$.

Filtre de Butterworth

Type de filtre conçu pour avoir une réponse en fréquence aussi plate que possible dans la bande passante, avec une atténuation de $-20n\text{ dB/décade}$.

Théorème de Shannon

Condition nécessaire et suffisante pour échantillonner un signal sans perte d'information : la fréquence d'échantillonnage $F_e$ doit étre au moins deux fois la fréquence maximale du signal $F_{\text{max}}$ ($F_e \text{ ≥ } 2 \times F_{\text{max}}$).

Fréquence de Nyquist

Fréquence égale à la moitié de la fréquence d'échantillonnage ($\frac{F_e}{2}$), représentant la limite maximale pour éviter le repliement de spectre.

Repliement de spectre (Aliasing)

Phénomène de chevauchement des motifs du spectre fréquentiel se produisant lorsque la condition de Shannon n'est pas respectée ($F_e < 2 \times F_{\text{max}}$).

Quantification

Action d'approximer chaque valeur d'un signal échantillonné par un multiple entier d'une quantité élémentaire $q$ appelée pas de quantification ou quantum.

Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Approximation de la Transformée de Fourier à Temps Discret (TFTD) calculée sur un nombre fini de points temporels et fréquentiels.

Transformée de Fourier Rapide (FFT)

Algorithme optimisé permettant de calculer la TFD avec une complexité réduite, passant de $N^2$ à $\text{Nlog}_2(\text{N})$ opérations.

Transformée en Z

Outil crucial pour l'analyse des systèmes numériques, équivalent discret de la transformée de Laplace, définie par X(z) = \text{∑} x(n) z^{-n}.

Région de Convergence (RDC)

Ensemble des valeurs de la variable complexe $z$ pour lesquelles la série de la transformée en $z$ converge.

Filtre RIF

Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie, caractérisé par une stabilité inconditionnelle (pas de pôles) et la possibilité d'une phase linéaire.

Filtre RII

Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie, utilisant une structure récursive (mémorisation des sorties), plus efficace que le RIF mais pouvant être instable.

Transformation bilinéaire

Méthode de synthèse de filtres RII permettant de passer du domaine analogique ($s$) au domaine numérique ($z$) tout en préservant la stabilité.